Lineare Algebra: Ein Lehrbuch über die Theorie mit Blick auf die Praxis (Bachelorkurs Mathematik) (German Edition)

Eine Einführung, welche die Lineare Algebra aus Anwendungsproblemen motiviert und eine Basis- und Matrizenorientierte Darstellung mit der abstrakten mathematischen Theorie kombiniert. Die Bedeutung der Linearen Algebra für die Entwicklung moderner numerischer Verfahren sowie als grundlegendes Werkzeug im Bereich der reinen Mathematik wird verdeutlicht. Das Buch ist stark modularisiert und für unterschiedliche Typen von Lehrveranstaltungen geeignet. 0 1 1 1 Vorwort 5 Inhaltsverzeichnis 7 2 10 1 Lineare Algebra im Alltag 10 1.1 Google und die Wichtigkeit von Internetseiten 10 1.2 Schadensfreiheitsklassen in der Kraftfahrzeug-Versicherung 12 1.3 Produktionsplanung in einem verarbeitenden Betrieb 13 1.4 Lineare Regression 15 1.5 Schaltkreissimulation 16 3 18 2 Mathematische Grundbegriffe 18 2.1 Mengen und Aussagen 18 2.2 Abbildungen 23 2.3 Relationen 26 Aufgaben 29 4 30 3 Algebraische Strukturen 30 3.1 Gruppen 30 3.2 Ringe und Körper 32 Aufgaben 38 5 41 4 Matrizen 41 4.1 Grundlegende Definitionen und Operationen 41 4.2 Matrizengruppen und -ringe 47 Aufgaben 54 6 57 5 Die Treppennormalform und der Rang von Matrizen 57 5.1 Elementarmatrizen 57 5.2 Die Treppennormalform und der Gauß'sche Algorithmus 59 5.3 Rang und Äquivalenz von Matrizen 68 Aufgaben 73 7 75 6 Lineare Gleichungssysteme 75 Aufgaben 80 8 82 7 Determinanten von Matrizen 82 7.1 Definition der Determinante 82 7.2 Einige Eigenschaften der Determinante 86 7.3 Minoren und die Laplace-Entwicklung 92 Aufgaben 96 9 99 8 Das charakteristische Polynom und Eigenwerte von Matrizen 99 8.1 Das charakteristische Polynom und der Satz von Cayley-Hamilton 99 8.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 104 8.3 Eigenvektoren stochastischer Matrizen 106 Aufgaben 108 10 110 9 Vektorräume 110 9.1 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften von Vektorräumen 110 9.2 Basen und Dimension von Vektorräumen 113 9.3 Koordinaten und Basisübergang 119 9.4 Beziehungen zwischen Vektorräumen und ihren Dimensionen 123 Aufgaben 125 11 127 10 Lineare Abbildungen 127 10.1 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften von linearen Abbildungen 127 10.2 Lineare Abbildungen und Matrizen 133 Aufgaben 141 12 144 11 Linearformen und Bilinearformen 144 11.1 Linearformen und Dualräume 144 11.2 Bilinearformen 148 11.3 Sesquilinearformen 152 Aufgaben 154 13 156 12 Euklidische und unitäre Vektorräume 156 12.1 Skalarprodukte und Normen 156 12.2 Orthogonalität 160 12.3 Das Vektor-Produkt im R3 170 Aufgaben 172 14 174 13 Adjungierte lineare Abbildungen 174 13.1 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften 174 13.2 Adjungierte Endomorphismen und Matrizen 180 Aufgaben 183 15 185 14 Eigenwerte von Endomorphismen 185 14.1 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften 185 14.2 Diagonalisierbarkeit 189 14.3 Triangulierung und der Satz von Schur 192 Aufgaben 196 16 198 15 Polynome und der Fundamentalsatz der Algebra 198 15.1 Polynome 198 15.2 Der Fundamentalsatz der Algebra 203 Aufgaben 209 17 211 16 Zyklische Unterräume, Dualität und die Jordan-Normalform 211 16.1 Zyklische f-invariante Unterräume und Dualität 211 16.2 Die Jordan-Normalform 217 16.3 Berechnung der Jordan-Normalform 226 Aufgaben 232 18 235 17 Matrix-Funktionen und Differenzialgleichungssysteme 235 17.1 Matrix-Funktionen und die Matrix-Exponentialfunktion 235 17.2 Systeme linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen 241 Aufgaben 249 19 250 18 Spezielle Klassen von Endomorphismen 250 18.1 Normale Endomorphismen 250 18.2 Unitäre und orthogonale Endomorphismen 256 18.3 Selbstadjungierte Endomorphismen 261 Aufgaben 269 20 272 19 Die Singulärwertzerlegung 272 Aufgaben 279 21 280 20 Das Kroneckerprodukt und lineare Matrixgleichungen 280 Aufgaben 287 22 288 Anhang A MATLAB Kurzeinführung 288 Literaturverzeichnis 292 Lehrbücher zur Linearen Algebra (Auswahl) 292 Weiterführende Literatur 292 Ausgewählte historische Arbeiten zur Linearen Algebra 293 Sachverzeichnis 296 Das Werk liefert Studienanfängern der Mathematik sowie Studierenden ingenieur- und naturwissenschaftlicher Studiengänge die innerhalb der Grundvorlesung behandelten Inhalte der linearen Algebra. Die matrizenorientierte Darstellung verdeutlicht dabei die unmittelbare praktische Relevanz der Theorie, erleichtert nicht nur die spätere Anwendung theoretischer Resultate und ihre Umsetzung in praxisrelevante Algorithmen, sondern bietet ferner einen guten Zugang zu den abstrakten Konzepten und Strukturen der lineare Algebra. Über den Standardstoff hinausgehende Kapitel zu Matrix-Funktionen, zur Singulärwertzerlegung und zum Kroneckerprodukt vermitteln Kompetenzen, die von grosser Anwendungsrelevanz sind. Die Theorie ist mathematisch stringent und sauber dargestellt. Zahlreiche Beispiele verdeutlichen Sachverhalte, Aufgaben (ohne Lösungen) ermöglichen eine aktive Erarbeitung des Stoffes und kurze Anmerkungen zur Verwendung der Mathematik-Software MATLAB sind der Veranschaulichung wichtiger Resultate und Konzepte dienlich. Der Zielgruppe etwa neben Gerd Fischer (ID 50/08; ID-B 8/11) empfohlen. (3) Front Matter....Pages I-IX Lineare Algebra im Alltag....Pages 1-8 Mathematische Grundbegriffe....Pages 9-20 Algebraische Strukturen....Pages 21-31 Matrizen....Pages 33-48 Die Treppennormalform und der Rang von Matrizen....Pages 49-66 Lineare Gleichungssysteme....Pages 67-73 Determinanten von Matrizen....Pages 75-91 Das charakteristische Polynom und Eigenwerte von Matrizen....Pages 93-103 Vektorräume....Pages 105-121 Lineare Abbildungen....Pages 123-139 Linearformen und Bilinearformen....Pages 141-152 Euklidische und unitäre Vektorräume....Pages 153-170 Adjungierte lineare Abbildungen....Pages 171-181 Eigenwerte von Endomorphismen....Pages 183-195 Polynome und der Fundamentalsatz der Algebra....Pages 197-209 Zyklische Unterräume, Dualität und die Jordan-Normalform....Pages 211-234 Matrix-Funktionen und Differenzialgleichungssysteme....Pages 235-249 Spezielle Klassen von Endomorphismen....Pages 251-272 Die Singulärwertzerlegung....Pages 273-280 Das Kroneckerprodukt und lineare Matrixgleichungen....Pages 281-288 Back Matter....Pages 289-301