Lineare Algebra 1: Grundlagen für Studierende der Mathematik und Physik

Im vorliegenden Lehrbuch werden die Grundlagen der Linearen Algebra im Detail vorgestellt: Nachdem die grundlegenden Strukturen der Mathematik – die Gruppen, Ringe und Körper – eingeführt sind, werden Vektorräume und lineare Abbildungen zwischen ihnen ausführlich vorgestellt. Wichtige Normalformen werden ebenso diskutiert wie die Determinante und das Problem der Diagonalisierung. Abschließend werden die Theorien der euklidischen und unitären Vektorräume parallel entwickelt. Dieses Buch ist der erste von zwei Bänden zur Linearen Algebra. Der Zugang der beiden Bände ist einerseits eher klassisch: Die formalen Aspekte der wissenschaftlichen Mathematik werden stark betont. Andererseits wird gerade aus den Anwendungen in der mathematischen Physik wichtige Motivation für das Vorgehen gewonnen. Auf diese Weise ist das Lehrbuch für Studierende der Mathematik und der Physik geeignet. Mehr als 260 umfangreiche Übungen erleichtern das Selbststudium. Vorwort 6 Vorwort zur zweiten Auflage 11 Symbolverzeichnis 12 Inhaltsverzeichnis 16 Elementare Geometrie im Anschauungsraum R3 18 Vektoren im Anschauungsraum 18 Geraden und Ebenen 21 Abstände und Winkel 27 Das Kreuzprodukt 32 Übungen 37 Intermezzo 42 Von Gruppen, Ringen und Körpern 46 Algebraische Strukturen und Morphismen 47 Invertierbarkeit und Gruppen 52 Ringe und Polynome 60 Körper und die komplexen Zahlen 68 Nochmals Polynome 78 Übungen 83 Lineare Gleichungssysteme und Vektorräume 96 Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus 96 Vektorräume 102 Untervektorräume 106 Lineare Unabhängigkeit und Basen 113 Direkte Summen und Produkte 124 Übungen 132 Lineare Abbildungen und Matrizen 143 Definition und erste Beispiele 143 Eigenschaften von linearen Abbildungen 147 Klassifikation von Vektorräumen 157 Basisdarstellung und Matrizen 160 Spezielle Matrizen und Normalformen 171 Dualraum 182 Übungen 187 Determinanten und Eigenwerte 211 Die symmetrische Gruppe Sn 211 Existenz und Eindeutigkeit der Determinante 215 Eigenschaften der Determinante 227 Eigenwerte und Diagonalisierung 242 Das charakteristische Polynom 248 Das Minimalpolynom und der Spektralsatz 256 Die Jordan-Normalform 273 Übungen 282 Euklidische und unitäre Vektorräume 300 Innere Produkte 300 Skalarprodukte 305 Norm und Orthogonalität 312 Orthonormalbasen 321 Isometrien und Klassifikation 325 Selbstadjungierte und normale Abbildungen 332 Der Spektralsatz für normale Abbildungen 342 Positivität 356 Die Polarzerlegung und ihre Varianten 368 Die Operatornorm und die Approximationszahlen 382 Übungen 393 Grundbegriffe der Logik 413 Aussagen und Junktoren 413 Beweisstrategien 415 Quantoren 417 Vollständige Induktion 418 Übungen 419 Mengen und Abbildungen 421 Der Begriff der Menge 421 Operationen mit Mengen 425 Relationen 429 Abbildungen 432 Verkettungen von Abbildungen 437 Mächtigkeit von Mengen 441 Übungen 443 Literaturverzeichnis 447 Sachverzeichnis 449 Ein Anhang gibt einen Ausblick auf die Theorie der Kategorien und Funktoren.Wie schon im ersten Band ist der Zugang dieses Lehrbuchs eher klassisch: Die formalen Aspekte der wissenschaftlichen Mathematik werden stark betont.