Lineaarialgebra

Vektorit ja yhtälöt......Page 10 Geometrinen näkökulma......Page 12 Vektoreilla laskemisesta n-ulotteisessa avaruudessa......Page 15 Ratkaisuja tehtäviin......Page 16 Yhtälö ja yhtälöryhmä......Page 18 Lineaariset yhtälöryhmät......Page 19 Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen......Page 27 Ratkaisuja tehtäviin......Page 36 Karteesinen tulo ja matriisi......Page 40 Matriisioperaatioita ja nimityksiä......Page 41 Laskusääntöjä......Page 45 Yhtälöryhmä matriisimuodossa......Page 53 Ratkaisuja tehtäviin......Page 56 Suorat tasossa......Page 60 Tasot avaruudessa......Page 62 Ratkaisuja tehtäviin......Page 66 Käänteismatriisin määrittely......Page 70 Laskusääntöjä......Page 72 Alkeisoperaatiot ja alkeismatriisit......Page 73 Yhtälöryhmän ratkaisuista......Page 80 Eliminointimenetelmä......Page 82 Alimatriisit ja lohkotulot......Page 84 Ratkaisuja tehtäviin......Page 90 Determinantin määritelmä......Page 92 Determinantin kehittäminen......Page 95 Determinanttien laskusääntöjä......Page 97 Alkeismatriisien determinantit......Page 100 Determinantti ja säännöllisyys......Page 101 Tulon determinantti......Page 102 Eliminointimenetelmä......Page 103 Laskutoimitusten määristä......Page 104 *Lohkomatriisien determinanteista......Page 106 Ratkaisuja tehtäviin......Page 108 Kofaktori- ja liittomatriisi......Page 110 Käänteismatriisin laskeminen liittomatriisin avulla......Page 111 Yhtälöryhmän ratkaisu Cramerin säännöllä......Page 113 Ratkaisuja tehtäviin......Page 116 Lineaarisista malleista......Page 118 Lineaarinen yhtälöryhmä mallina......Page 119 Kysyntä–tarjonta -malleja......Page 122 Matriiseilla mallintamisesta......Page 124 Käänteismatriisin käyttöä......Page 126 Ratkaisuja tehtäviin......Page 128 Joukon sisäinen laskutoimitus......Page 132 Skaalaus eli ulkoinen laskutoimitus......Page 134 Lineaariavaruuden määritelmä......Page 135 Määritelmän seurauksia......Page 138 Omituisempia esimerkkejä......Page 141 Ratkaisuja tehtäviin......Page 144 Aliavaruuden määrittely......Page 150 Polynomi- ja funktioavaruuksia......Page 152 Aliavaruuksien summa......Page 153 Vektorijoukon virittämä aliavaruus......Page 155 Virittävän joukon sieventämisestä......Page 157 Ratkaisuja tehtäviin......Page 159 Riippumattomuuden määritelmä......Page 162 Ominaisuuksia......Page 164 Lineaarinen riippumattomuus ja singulaarisuus......Page 166 Funktioiden lineaarinen riippuvuus......Page 167 Suora summa......Page 169 Analyyttistä geometriaa – tason yhtälö......Page 170 Ratkaisuja tehtäviin......Page 173 Kanta ja koordinaatit......Page 176 Kantavektorien lukumäärä......Page 177 Kannan olemassaolo......Page 179 Dimensio......Page 180 Aliavaruuksien dimensioista......Page 182 Kannaksi täydentäminen......Page 183 Ratkaisuja tehtäviin......Page 184 Matriisin nolla-avaruus......Page 186 Rivi- ja sarakeavaruudet......Page 187 Lineaarisista yhtälöryhmistä – dimensiolause......Page 191 Ratkaisuja tehtäviin......Page 193 Lineaarikuvauksen määrittely......Page 194 Tason lineaarikuvauksia......Page 196 Lineaarikuvauksia Rn Rm......Page 198 Muita esimerkkejä......Page 200 Ratkaisuja tehtäviin......Page 202 Aliavaruuksien säilyminen......Page 204 Bijektiiviset lineaarikuvaukset......Page 206 Dimensiolause......Page 209 Dimension säilyminen......Page 212 Isomorfisuus......Page 214 Ratkaisuja tehtäviin......Page 216 Kuvaukset Rn Rm (luonnolliset kannat)......Page 218 Yleinen tapaus......Page 220 Erikoistapaus Rn Rm......Page 226 Ytimet ja kuva-avaruudet......Page 228 Lineaarikuvausten yhdistäminen......Page 229 Yhtälöryhmän A x = b ratkaisujen määristä......Page 230 Ratkaisuja tehtäviin......Page 232 Yleinen tapaus......Page 236 Kannanvaihto avaruudessa Rn......Page 240 Ratkaisuja tehtäviin......Page 242 Sisätulon määritelmä......Page 244 Normi ja metriikka......Page 247 Metrinen avaruus ja normiavaruus......Page 251 Ratkaisuja tehtäviin......Page 252 Kulman määrittely......Page 254 Ortogonaalinen joukko – ortonormaalisuus......Page 257 Projektiot......Page 258 Projektiot aliavaruuksiin......Page 260 Gram-Schmidtin ortonormitusmenetelmä......Page 261 Sovellutuksia – pisteen etäisyys .........Page 264 Ratkaisuja tehtäviin......Page 266 Ortonormaali kanta......Page 270 Ortogonaalinen matriisi......Page 272 Isometrinen lineaarikuvaus......Page 273 Ratkaisuja tehtäviin......Page 274 Ortogonaalinen komplementti......Page 276 Matriisin määräämät ortogonaaliset avaruudet......Page 279 Pienimmän neliösumman ratkaisu......Page 280 Normaaliyhtälö......Page 282 PNS ja 32-yhtälöryhmän geometrinen tulkinta......Page 283 PNS ja yhtälöryhmät yleensä......Page 285 Ratkaisuja tehtäviin......Page 286 Interpolaatio – ekstrapolaatio......Page 290 Polynomin sovittaminen pistejoukkoon......Page 291 Ratkaisuja tehtäviin......Page 296 Lineaarikuvauksen ominaisarvot ja ominaisvektorit......Page 298 Matriisin ominaisarvot ja -vektorit......Page 301 Karakteristinen yhtälö......Page 303 Ratkaisuja tehtäviin......Page 310 Ominaisarvot ja lineaarinen riippumattomuus......Page 312 Diagonalisoituvuus......Page 313 Ratkaisuja tehtäviin......Page 318 Symmetrisen matriisin ominaisarvoista......Page 320 Spektraalilause symmetrisille reaalimatriiseille......Page 321 Symmetristen matriisien luokittelu......Page 322 Ratkaisuja tehtäviin......Page 324 Neliömuoto......Page 326 Neliömuotojen luokittelu......Page 327 Pääakseliongelma......Page 330 Ratkaisuja tehtäviin......Page 334 Ryhmä......Page 336 Kunta......Page 338