Лекции по высшей алгебре (Курс лекций по высшей алгебре). Часть 1

Обозначения и условные знаки 4 Основная задача алгебры 10 Вспомогательные результаты 11 §1. Метод математической индукции 11 §2. Элементы комбинаторики 12 Перестановки 12 Сочетания 13 Глава 1. Начала теории целых чисел 15 §1. Бином Ньютона 15 Треугольник Паскаля 16 §2. Наибольший общий делитель 17 Алгоритм Евклида 18 §3. Делимость чисел 25 Взаимно простые числа 25 Простые числа 27 Каноническое разложение числа 30 Признаки делимости 33 Факторизация 36 §4. Функция Эйлера 39 §5. Сравнения 42 Основные понятия 43 Алгоритм «квадрирования—умножения» для вычисления A^B (mod М) 48 Классы вычетов 49 Теоремы Ферма и Эйлера 51 §6. Решение линейных сравнений с одним неизвестным 59 Алгоритм нахождения числа, обратного A относительно умножения по модулю M 64 Глава 2. Комплексные числа 74 §1. Определение 75 §2. Тригонометрическая форма комплексного числа 81 Тригонометрическая форма. Формула Муавра 82 Неравенства для модуля 88 Выведение тригонометрических формул 89 §3. Извлечение корня из комплексного числа 94 Квадратный корень 94 Общий случай 96 Корни из единицы 101 Глава 3. Полиномы и рациональные функции 105 §1. Определения 105 §2. Основная теорема высшей алгебры. Формулы Виета 112 §3. Решение уравнений в радикалах 125 Решение уравнения третьей степени 126 Решение уравнения четвертой 129 Анализ формулы Кардано для полиномов с вещественными коэффициентами 136 Уравнения высших степеней 139 §4. Делимость полиномов 144 Наибольший общий делитель 147 Взаимно простые полиномы 151 §5. Формула Тейлора 158 §6. Выделение кратных корней 165 Установление кратности корня 165 Решение уравнений, имеющих кратные корни 169 §7. Корни полинома с вещественными коэффициентами 173 Приводимость 173 Границы расположения корней 176 Геометрия корней 179 Правило знаков Декарта 184 §8. Приводимость полийомрв в Q 191 §9. Численные методы нахождения корней полинома 197 Метод Руффини—Хорнера 198 Метод Лагранжа (непрерывных дробей) 199 Метод Ньютона (касательных) 203 Геометрический смысл метода Ньютона 206 Комментарии к методу Ньютона, фракталы 208 §10. Рациональные дроби 214 Определения 214 Разложение дроби на простейшие над A 216 Разложение дроби на простейшие над C 221 Разложение дроби на простейшие над R 224 §11. Полиномы от нескольких переменных 225 Основные определения 225 Способы представления полинома 233 Алгебраические уравнения 238 Подсказки и ответы к упражнениям 242 Литература 244 Предметный указатель 246