Лекции по математике.Т. 16: Теория множеств: От Kaнтора до Коэна

М.: Книжный дом «Либроком», 2011. — 208 с. Настоящий том «Лекций» посвящен теории множеств в диапазоне от наивной трактовки проблематики до ее современного (аксиоматического) состояния. Наряду с простейшими понятиями и результатами о манипулировании бесконечностями рассматриваются довольно тонкие феномены: парадокс Банаха-Тарского, кардинальная и ординальная арифметика, базисы Гамеля. Излагаются и обсуждаются также элементы матлогики, теории моделей и их связь с аксиоматическим подходом к теории множеств. Изложение отличается краткостью и прозрачностъю. Для студентов, преподаватедей, инженеров и научных работников. Предисловие к «Лекциям» Предисловие к шестнадцатому тому Справочная Теоретико-множественные операции Алгебраические мотивы Упорядоченность и эквивалентность Логические инструменты Кантор и бесконечность Откуда берутся множества Феномен мощности Канторово множество и гипотеза континуума Манипулирование бесконечностями Реализованная бесконечность Губительна ли наивность Аксиоматика Цермело-Френкеля Отступление Проблема аксиоматизации вообще Система ZFC Взаимодействие с логикой Натуральный ряд и арифметика Пеано Универсумы фон Неймана и Гёделя Аксиома выбора Концепция Всевидящего Ока Теорема Цермело и трансфинитная индукция Парадокс Банаха-Тарского Вопросы правдоподобия Аксиома детерминированности Ординалы и кардиналы Статус-кво Кардинальная арифметика Ординалы Ординальная арифметика Лемма Цорна и как она работает Базисы Гамеля Теорема Гудстейна Вычислимость и доказуемость Вычислимые функции Перечислимые и разрешимые множества Диофантовы множества Неполнота арифметики Феномен неаксиоматизируемости Непротиворечивость аксиоматики Проблема арифметичности Универсальные функции Теорема Райса Когда ложь так же хороша, как правда Модели и теории Логика первого порядка Теории и модели Семантика и формализм Исчисление предикатов Полнота исчисления предикатов Полные и неполные теории Теоремы компактности Теоремы Лёвенгейма-Сколема «Парадоксы» и сюрпризы Универсумы ZF и форсинг Имеет ли ZF модель Конструктивный универсум Гёделя Метатеоретические трансформации Аксиома конструктивности Пермутационные модели Расширение моделей Форсинг и теоремы Коэна Булевозначный анализ Метафизическая Вселенная как модель Феномен познания Бесконечное Приложения Вещественные числа Гипотеза Суслина Алгебраические поля Булевы алгебры Конструктивизм Мера Лебега Измеримые функции Множества Витали и Бернштейна Категории Бэра Сокращения и обозначения Литература Предметный указатель