Лекции по геометрии. Семестр V. Группы и алгебры Ли

Предисловие ЛЕКЦИЯ 1 (Гладкие и топологические группы. — Ослабление условий, определяющих группы Ли. — Примеры групп Ли. — Преобразование Кэли. — Дальнейшие примеры групп Ли. — Связные и линейно связные пространства и группы. — Редукция любых гладких rpv?? к связным. — Примеры связиых групп Ли.) ЛЕКЦИЯ 2 (Левоинвариаитные векторные поля. — Параллелизуемость групп Ли. — Интегральные кривые левоиивариантных векторных полей и однопараметрические подгруппы. — Функтор Ли. — Пример: группа обратимых элементов ассоциативной алгебры. — Функции со значениями в ассоциативной алгебре. — Одной ара метрические подгруппы группы G(v2t).) ЛЕКЦИЯ 3 (Матричные группы Ли, допускающие конструкцию Кэли. — Обобщение конструкции Кэли. — Группы, обладающие 1п-образамн. — Алгебры Ли.—Примеры алгебр Ли. — Алгебра Ли векторных полей — Алгебра Ли группы Ли. — Пример: алгебра Ли группы обратимых элементов ассоциативной алгебры. — Локально изоморфные группы Ли. — Групускулы Ли. — Функтор Ли на категории групускул Ли.) ЛЕКЦИЯ 4 (Экспонента линейного дифференциального оператора. — Формула для значений гладких функций в нормальной окрестности единицы группы Ли. — Формула для значений гладких функций на произведении двух элементов. — Ряд Кемпбелла — Хаусдорфа и многочлены Дынкина. — Сходимость ряда Кэмпбелла — Хаусдорфа. — Восстановление групускулы Ли по ее алгебре Ли. — Операции ? алгебре Ли группы Ли и однопараметрические подгруппы. — Дифференциалы внутренних автоморфизмов. — Дифференциал экспоненциального отображения. — Канонические координаты. — Единственность структуры группы Ли. — Группы без малых подгрупп н пятая проблема Гильберта.) ЛЕКЦИЯ 5 (Свободные ассоциативные алгебры. — Свободные алгебры Ля. — Основная лемма. — Универсальная обертывающая алгебра. — Вложение алгебры Ли в ее универсальную, обертывающую алгебру. — Доказательство того, что алгебра I свободна. —Теорема Пуанкаре — Биркгофа — Зктта. — Тензорные произведении линеалов и алгебр. — Алгебры Хопфа.) ЛЕКЦИЯ 6 (Теорема Фридрихса. — Доказательство утверждения В из лекции 4. — Теорема Дынкина. — Линейная часть ряда Кемпбелла — Хаусдорфа. — Сходимость ряда Кемпбелла —Хаусдорфа. — Гругш-алгебры Ли. — Эквивалентность категорий групускул и грулпал-гебр Ли. — Изоморфизм категорий групп алгебр и алгебр Ла. — Третья теорема Ли.) ЛЕКЦИЯ 7 (Подгрупускулы и подалгебры. — Инвариантные подгрупускулы и идеалы. — Факторгрупускулы и факторалгебры. — Сведение гладких групускул к аналитическим. — Системы Пфаффа. — Подрасслоения касательных расслоений. — Интегрируемые под расе доения. — Графики систем Пфаффа. — Инволютивные подрасслоения. — Полная унивалентность функтора Ли. — Ииволютнвность интегрируемых подрасслоений. — Вполне интегрируемые подрасслоения.) ЛЕКЦИЯ 8 (Накрытия. — Сечения накрытий. — Пунктированные накрытия. — Коамальгамы. — Одиосвязные пространства. — Морфизмы накрытий. — Отношение квазипорядка в категории пунктированных накрытий.— Существование односвязных накрытий.Вопросы обоснования. — Функтор на л ьиость универсального накрытия.) ЛЕКЦИЯ 9 (Гладкие накрытия. — Изоморфизм категорий гладких и топологических иакрытий. — Существование универсальных гладких накрытий. — Накрытия гладких и топологических групп. — Универсальные накрытия групп Ли. — Леммы о топологических группах.— Локальные изоморфизмы н накрытия. — Описание локально изоморфных групп Ли.) ЛЕКЦИЯ 10 (Локальные изоморфизмы и изоморфизмы локализаций. — Теорема Картана. — Окончательная диаграмма категорий и функторов. — Редукция теоремы Картана. — Глобализуемость вложнмых групускул. — Сведение теоремы Картана к теореме Адо.) ЛЕКЦИЯ 11 (Подмногообразия гладких многообразий. — Подгруппы групп Ли. — Интегральные многообразия интегрируемых подрасслоений. — Максимальные интегральные многообразия. — Идея доказательства теоремы 1. — Локальное строение подмногообразий. — Единственность структуры локально выпрямляемого подмногообразия со счетной базой. — Подмногообразия многообразий со счетной базой. — Связные группы Ли имеют счетную базу. — Локальная вы-прямляемость максимальных интегральных многообразий. — Доказательство теоремы L) ЛЕКЦИЯ 12 (Альтернативные определения понятия подгруппы группы Ли. — Топологические подгруппы групп Ли. — Замкнутые подгруппы групп Ли. — Алгебраические группы. — Группы автоморфизмов алгебр. — Группы автоморфизмов групп Ли. — Идеалы и инвариантные подгруппы. — Фактор многообразия групп Ли. — Факторгруппы групп Ли. — Вычисление фундаментальных групп. — Односвязность групп SU(n) и Sp(п). — Фундаментальная группа группы U(n).) ЛЕКЦИЯ 13 (Алгебра Клиффорда квадратичного функционала.— 2г-градуиров-ка алгебры Клиффорда. — Еще о тензорном умножении линеалов и алгебр. — Разложение алгебр Клиффорда в косое тензорное произведение. — Базис алгебры Клиффорда. — Сопряжение в алгебре Клиффорда. — Центр алгебры Клиффорда. — Группа Ли Spin (я). — Фундаментальная группа группы SO(n). — Группы Spin(n) при n?4. — Гомоморфизм ?. — Группа Spi?(6). — Группа Spin(5). — Матричные представления алгебр Клиффорда. — Матричные представления групп Spi?(n). — Матричные группы. в которых представлены группы Spin(ra).—Редуцированные представления групп Spi?(n). — Дополнительные сведения из линейной алгебры.) ЛЕКЦИЯ 14 (Удвоение алгебр. — Метрические алгебры. — Нормированные алгебры. — Автоморфизмы и дифференцирования метрических алгебр. — Дифференцирования удвоенной алгебры. — Дифференцирования и автоморфизмы алгебры Н —- Алгебра октав. — Алгебра Ли.— Структурные константы алгебры Ли Задание алгебры Ли образующими и соотношениями.) ЛЕКЦИЯ 15 (Тождества в алгебре октав Са. — Подалгебры алгебры октав Са. — Группа Ли G2. — Принцип тройственности для группы Spin(8). — Аналог принципа тройственности для группы Spi?(9).— Алгебра Алберта А1. — Октавная проективная плоскость.) ЛЕКЦИЯ 16 (Скалярные произведения в алгебре AL — Автоморфизмы и дифференцироваиия алгебры А1. — Присоединенные дифференцировав ння алгебры А1.— Теорема Фрейденталя.—Следствия теоремы Фрейденталя.— Группа Ли Fi.— Алгебра Ли f