Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия: Учеб, пособие для вузов

Постников Μ. Μ. Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия: Учеб, пособие для вузов.—Μ.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.—496 с.— ISBN 5-02-013741-1. Является непосредственным продолжением пособий того же автора «Лекции по геометрии. Семестр L Аналитическая геометрия», «Семестр II. Линейная алгебра» н «Семестр III. Гладкие многообразия». Семестр IV посвящен в основном теории связностей в векторных расслоениях. Рассматриваются также топологические вопросы — фундаментальная группа, накрытия и элементы теории /С-групп. Заканчивается книга экскурсом в теорию гомотопических групп. Для студентов математических специальностей вузов. Предисловие ЛЕКЦИЯ 1 (Расслоения и их морфизмы.— Фактортопология и факторпрост-раиство.—Действия групп.—Топологические и гладкие группы и их действия.—Главные расслоения.— Расслоения со структурной группой.— Сечения расслоений.— Локально тривиальные расслоения.) ЛЕКЦИЯ 2 (Накрытия — Примеры накрытий.— Замечания о накрытиях.— Теорема о накрывающем пути.— Уточнение этой теоремы.— Расслоения в смысле Гуревича.) ЛЕКЦИЯ 3 (Гомотопические классы путей.—Фундаментальная группа топологического пространства.— Односвязность стягиваемых пространств.— Односвязность сферы.— Фундаментальная группа окружности.) ЛЕКЦИЯ 4 (Независимость фундаментальной группы от выбора начальной точки.—Гомоморфизм фундаментальных групп, индуцированный непрерывным отображением.— Точная гомотопическая последовательность накрытия.—Свойства гомотопической последовательности накрытия.- Односвязные накрытия.— Существование и единственность поднятий.— Удобные пространства.) ЛЕКЦИЯ 5 (Полулокальио односвязиые пространства.— Существование одно-связных накрытий.- Условие изоморфности двух накрытий.-Универсальные накрытия.- Вспомогательная лемма.—Теорема классификации накрытий.—Группа автоморфизмов накрытия.-Регулярные накрытия.— Введение плоскости.) ЛЕКЦИЯ 6 (Векторные расслоения.—Сечения векторных расслоений.—Морфизмы векторных расслоений.— Комплексные н кватернионные структуры на вещественном расслоении.—Примерм векторных расслоений.—Расслоения ассоциированные с главными GL (п: К)-расслоениями.— Склеивающие коциклы векторных расслоений.— Векторные расслоения'н классы когомологий матричных коциклов.) ЛЕКЦИЯ 7 (Векторные 9-расслоения.— Линейные 9-пространства.— Кватернионы.- Группа t/M («).— Векторные расслоения типа У,-Их связь с главными 9-расслоениями.— Условие редуцируемо-сти.— Ориентируемые векторные расслоения.— Метризуемые векторные расслоения.) ЛЕКЦИЯ 8 (Квазикомплексные многообразия.—Многообразие кососимметрических ортогональных матриц.— Условие квазикомплекспфнци-руемости.— Квазикомплекснфицируемые сферы.— Алгебра октав.— Квазикомплекснфицнруемссть сферы S∙.- Квазнкомплек-сифнцируемые многообразия размерности 6.— Параллелизуемость квазигрупп.— Вещественные алгебры с делением.) ЛЕКЦИЯ 9 (Геометрии Клейна.— Расслоения типа (tf, JF) — Сравнение (9, jΓ)-расслоеннЙ с расслоениями ξ [У].— Редукция (?, ^-расслоений.— Редукция главных расслоений.— Двулистное накрытие не-ориентируемого многообразия.) ЛЕКЦИЯ 10 (Прообраз векторного расслоения.— Гладкие векторные расслоения.—Поля горизонтальных подпространств.—Связности и их формы.— Прообраз связности.— Связности иа комплексном расслоемин и на его овеществлении.—Диагонализация связности.) ЛЕКЦИЯ 11 (Горизонтальные кривые.— Ковариантные производные сечений.— Ковариантное дифференцирование вдоль кривой.— Связности как ковариантные дифференцирования.— Линейные отображе ния модулей сечений.— Связности на метризованных расслоениях.) ЛЕКЦИЯ 12 (£-тензорные поля.— Полилинейные функционалы и ^-тензорные поля.— Ковариантное дифференцирование £-тензорных полей.— Случай ξ-κoaeκτopHbix полей.— Общий случай,- Кронекерово произведение матриц и тензорное произведение линейных операторов.— Функторы.—Тензорное произведение векторных расслоений.—Обобщение.— Тензорное произведение сечений.) ЛЕКЦИЯ 13 (Коварнзитный дифференциал.— Сравнение различных определений связности.—Группы Ли.—Примеры групп Ли,-Ал!ебра Ли группы Лн,- Касательное пространство в единице.— Формула для коммутатора.) ЛЕКЦИЯ 14 (Однопараметрнческие подгруппы, —Экспоненциальное отображение и нормальные координаты.— Выражение умножения в группе Лн через умножение в ее алгебре Ли.—Дифференциал присоединенного представления.—Операции п алгебре Лн группы Ли и однопараметрлческис подгруппы.— Подгруппы Ли группы Ли.— Распределения и их интегральные подмногообразия.—Теорема Фробениуса.—Подмногообразия многообразий, удовлетворяющих второй аксиоме счетности.— Единственность структуры подалгебры Ли.) ЛЕКЦИЯ 16 (Замкнутые подгруппы группы Ли.— Теорема Картана.—Алгебраические группы.—Карты, согласованные с подгруппой Ли.—Слабейшая гладкость на подгруппе Ли.—Теорема Фрейденталя,-Теорема Адо н третья теорема Ли.— Локально изоморфные группы Ли.—Групповые накрытия.—Существование универсального группового накрытия.) ЛЕКЦИЯ 16 (Связности на расслоении реперов.—Сравнение со связностями на векторных расслоениях.—Явное построение связности на векторном расслоении.—Гладкие главные расслоения.— Фуидаментальные вертикальные поля.— Горизонтальные формы.— Векторнозначные дифференциальные формы.) ЛЕКЦИЯ 17 (Фундаментальные формы и поля горизонтальных подпространств.— Связности на гладком главном расслоении.—Проекторы, индуцированные связностями.—Горизонтальные векторные поля.—Связности на ассоциированных расслоениях.— Связности на ассоциированных векторных расслоениях.) ЛЕКЦИЯ 18 (Параллельный перенос вдоль кривой.— Группа голономии и ее компонента единицы.— Лемма о разложении гомотопных нулю петель в произведение малых лассо.— Доказательство связности суженной группы голономни.— Изоморфизм групп голономии в различных точках.— Счетность фундаментальной группы.— Теорема редуицни.— Доказательство существования связности и у ни« версально трнвнализирующнх покрытий.—Аффинное пространство связностей.) ЛЕКЦИЯ 19 (Вычисление параллельного переноса вдоль петли.— Оператор кряанзны в данной точке.— Перенесение вектора по бесконечно малому параллелограмму.— Тензор кривизны.— Формула преобразования компонент тензора кривизны.- Выражение оператора кривизны через ковариантные производные.—Структурное уравнение Картана.— Тождество Бианки.) ЛЕКЦИЯ 20 (Тензор кривизны и группа голономии.—Выражение алгебры голономин через тензор кривизны.—Случай плоской связности.— Ковариаитно постоянные тризн ал нзацин.— Связности, обладающие абсолютным параллелизмом.—Переход к главным расслоениям.— Параллельный перенос н группа голономии для главных расслоений.—Теорема редукции для главных расслоений.— Форма кривизны связности на главном расслоении.—Теорема Амброза —Сингера.—Применение теоремы Амброза —Сингера к векторным расслоениям.) ЛЕКЦИЯ 21 (Лемма о касательном пространстве прямого произведения и ее следствия.—Об одном дифференциальном уравнении.—Существование горизонтальных накрытий для главных расслоений — Альтернативное определение формы кривизны.- Тождество Бианки для формы кривизны главного расслоения.—Структурное уравнение К а ртанз.— Эквивариантные горизонтальные формы,-Мнимые кватернионы.— Формы F) ЛЕКЦИЯ 22 (Уравнения Максвелла электромагнитного поля.—Операторная интерпретация.- Калибровочные поля.— Инстантоны.— Формула для топологического заряда.— Функционал Янга—Мнллса.— Инвариантные многочлены на пространстве матриц.— Характеристические классы векторных расслоений.) ЛЕКЦИЯ 23 (Характеристические классы Чженя и Понтригнна.— Характеристические числа Чженя и Понтрягина.—Свойства классов Чжеия н Понтрягина.— Полные классы Чженя и Понтрягина,- Характеры Чженя н Понтрягина.— Характеристический класс Эйлера.—К-функтор.— Расслоения и пространства конечного типа.) ЛЕКЦИЯ 24 (К-функтор.—Сравнение К- и К-функторов.—Операции λ*.-Операции Адамс«.— Группы KβSn.- Инвариант Хопфа. — Конструкция Хопфа.— Ряд элементарных импликаций.—Теореме о равносильности.) ЛЕКЦИЯ 25 (Главные расслоения над сферами.— Характеристическое отображение дли расслоения т$п 4 t.- Характеристическое отображение для расслоении Т$^ +,.— Непараллелизуемость сфер S4* + 1.-Гомотопические группы пунктироианиых пространств.— Альтернативное определение гомотопических групп.— Гомотопические группы и классы отображений сфер, — Гомотопические группы абелевых пространств.) ЛЕКЦИЯ 26 (Гомотопическая последовательность расслоения.— Группы λ∏Sct при n < in.— Стабилизацияя групп π∏ SO (т).— Классификация отображений многообразий в сферы.— Теоремы Урысона и Титце.—Связность группы Γ)iffθ'Rrt.— Доказательство теоремы Хопфа о продолжении.) ЛЕКЦИЯ 27 (Группа ЛП$«.-Теорема о характеристическом классе.— Ее обобщение.— Гомотопические группы накрывающего пространства.— Расслоение Хопфа и группа πrιS2.- Группы ∏rt + lfin.-Операция о в гомотопических группах сфер — Вычисление гомотопического класса отображения р& о г —Связь с К^-груп-пами.) ДОПОЛНЕНИЕ при корректуре (Построение (АГ. Sp (и))-инстантонов.— Описание (АГ. Sp(π))-инстантонов.-— Пространство модулей (/V, 5р(п))-инстантонов,-7V-инстантоны.— Случай N t≈ 1Случай Λf≡=2,-Случай N≈3.) ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ