Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия: Учеб, пособие для вузов

Постников Μ. Μ. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия: Учеб, пособие для вузов.—Μ.; Наука. Гл. ред. фнз\*- мат. лит., 1987,—480 с. Является непосредственным продолжением пособий того же автора «Лекции по геометрии. Семестр I. Аналитическая геометрия» и «Семестр II, Линейная алгебра». Семестр III посвящен гладким многообразиям. В него включены также сведения из общей топологии. Подробно разъясняется понятие подмногообразия, доказываются теоремы Сарда и Уитни, излагается теория дифференциальных форм и их интегрирования, а также элементарная дифференциальная геометрия-теория кривых (формулы Френе) и теория поверхностей (вплоть до теоремы о сохранении полной кривизны прн изгибаниях). Может служить учебным пособием по обязательному курсу геометрии и топология в университетах и пединститутах. Для студентов Предисловие ЛЕКЦИЯ 1 (Простые линии на плоскости.—Задание линий уравнением.—Теорема Уити и.—Жордановы кривые.—Гладкие и регулярные кривые.—Параметризованные кривые.— Натуральный параметр.) ЛЕКЦИЯ 2 (Кривые на плоскости.—Формулы Френе для пространственной кривой.—Проекции кривой на координатные плоскости сопровождающего репера.—Формулы Френе для кривой в n-мериом пространстве.— Существование и единственность кривой с данными кривизнами.) ЛЕКЦИЯ 3 (Элементарные поверхности и их параметризации.— Примеры поверхностей. — Касательная плоскость и касательное подпространство.— Гладкие отображения поверхностей и их дифференциалы.—Диффеоморфизмы поверхностей.—Первая квадратичная форма поверхности.—Изометрии.—Первый дифференциальный параметр Бельт-рами.— Примеры вычисления первых квадратичных форм.—Развертывающиеся поверхности.) ЛЕКЦИЯ 4 (Вектор нормали.— Поверхность как график функции.— Нормальные сечеиия.— Вторая квадратичная форма поверхности.— Индикатриса Дюпена.— Главные, полная и средняя кривизны.— Вторая квадратичная форма графика.—Линейчатые поверхности нулевой кривизны.—Поверхности вращения.) ЛЕКЦИЯ 5 (Деривационные формулы Вейнгартена.— Коэффициенты связности.— Теорема Гаусса.— Явная формула для гауссовой кривизны.— Необходимые и достаточные условия изометрнчиостн.— Поверхности постоянной кривизны.) ЛЕКЦИЯ 6 (Вводные замечания.—Открытые подмножества пространства Rw и их диффеоморфизмы.-Карты и атласы.—Максимальные атласы.— Гладкие многообразия.—Примеры гладких многообразий.) ЛГКЦНЯ 7 (Топология гладкого многообразия.— Открытые подмногообразия,-Окрестности н внутренние точки.— Гомеоморфизмы.— Первая аксиома счетности и локальная евклндовость.— Вторая аксиома счетно-i'iH.- Нехаусдорфовы многообразия.— Гладкости на топологическом пространстве.—Топологические многообразия.— Нульмерные многообразия.— Категория ТОР.—Категория DIFF.— Перенесение ладности.) ЛЕКЦИЯ 8 (Топологическая инвариантность размерности многообразий.— Размерность по покрытиям.— Компактные пространства.—Лемма Лебега.—Оценка сверху размерности компактных подмножеств пространства R".—Свойство монотонности размерности.— Замкнутые множества.—Монотонность размерности по замкнутым множествам.— Прямое произведение топологических пространств.— Компактность прямого произведения компактных пространств.) ЛЕКЦИЯ 9 (Теорема о барабане.— Теорема Брауэра о неподвижной точке.— Теорема о перегородках п кубе.— Нормальные и вполне нормальные пространства.— Продолжение перегородок.— Теорема Лебега о покрытиях куба.—Оценка размерности куба снизу.) ЛЕКЦИЯ 10 (Порядковые числа.— Интервальная топология в множествах порядковых чисел.— Нульмерные пространства.— Пример Тихонова.— Тихоновское произведение топсло!ичсскнх пространств.—Фильтры.— Центрированные множества множеств.— Ультрафильтры.— Критерий компактности.—Теорема Тихонова.) ЛЕКЦИЯ 11 (Гладкость на аффинном пространстве.—Многообразие матриц данного ранга — Многообразия Штнфеля.— Ряды матриц.—Экспоненциал матрицы.—Логарифм матрицы.—Ортогональные и /-ортогональные матрицы.—Матричные группы Ли.— Группы /-ортогональных матриц.— Унитарные и J-уннтарные матрицы.— Комплексные матричные 1руплы Лн.— Комплексно аналитические многообразия.— Линейно связные пространства.—Связные пространства.—Совпадение связности и линейной связности для многообразий.— Гладкие и кусочно гладкие пути.—Связные многообразия, неудовлетворяющие второй аксиоме счетности.) ЛЕКЦИЯ 12 (Векторы, касательные к гладкому многообразию.—Производные голоморфных функций.- Касательные векторы комплексно аналитических многообразий.—Дифференциал гладкого отображения.— Цепное правило.— Градиент гладкой функции.— Теорема об этальных отображениях.— Теорема о замене локальных координат.— Локально плоские отображения.) ЛЕКЦИЯ 13 (Доказательство теоремы о локально плоских отображениях.— Погружения и субмерсин.— Подмногообразия гладкого многообразия.— Подпространство, касательное к подмногообразию.— Локальное задание подмногообразия.— Единственность структуры подмногообразия.— Случай вложенных подмногообразий.— Теорема о прообразе регулярного значения.— Решения систем уравнений.— Группа SL(n) как подмногообразие.) ЛЕКЦИЯ 14 (Теорема вложения.— Еще о компактных множествах.—Функции У рысона.—Доказательство теоремы вложении.—Многообразия, удовлетворяющие второй аксиоме счетности.— Разреженные и тощие множества.— Нуль-множества.) ЛЕКЦИЯ (Теорема Сарда.— Аналитическая часть доказательства теоремы Сарда.— Прямое произведение многообразий.— Многообразие касательных векторов.—Доказательство теоремы вложения Уитни.) ЛЕКЦИЯ 16 (Тензоры.— Тензорные поля.— Векторные поля и дифференцировании.—Алгебра Ли векторных нолей.) ЛЕКЦИЯ 17 (Ишегральйые кривые векторных полей.— Векторные поля и потоки.— Перенос тензорных полей с помощью диффеоморфизмов.— Производная Ли тензорного поля.) ЛЕКЦИЯ 18 (Линейные дифференциальные формы.—Дифференциальные формы произвольной степени.—Дифференциальные формы как функционалы от Векторных полей.— Внутреннее произведение векторного ноля н дифференциальной формы.— Перенос дифференциальной формы посредством гладкого отображения.) ЛЕКЦИЯ 19 (Внешний дифференциал дифференциальной формы.— Производная Ли дифференциальной формы.) ЛЕКЦИЯ 20 (Комплекс де Рама и группы когомологий гладкого многообразия.— Группа H0φ1⁄87.-Лемма Пуанкаре.—Группа APS’.—Группа HlS,.-Вычисление группы ∕PSl с помощью интегралов.—Группа /У’$2.— Группы Hi3,t при н ≥ 2.— Группы Hm1⁄8ll, щ < Группы HftSft.) ЛЕКЦИЯ 21 (Симплициальные схемы н их геометрические реализации.— Группы когомологий симплицнальных схем.—Двойкой комплекс покрытия.—Группы когомологий двойного комплекса.—Окаймленные двойные комплексы.—Краевые гомоморфизмы.— Ациклические комплексы.— Ацикличность по строкам при р = 0.) ЛЕКЦИЯ 22 (Ацикличность по строкам двойного комплекса нумерируемого покрытия.— Ацикличность по столбцам двойного комплекса покрытия Лере.—Теорема де Рама-Лере.—Обобщение.—Группы Eζ, ? — Группы Λ,A7* — Группа, присоединенная к градуированной группе с фильтрацией.) ЛЕКЦИЯ 23 (Группы Е?*