Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия

Предисловие ЛЕКЦИЯ I (Линейные пространства. — Подпространства. — Пересечение подпространств. — Линейные оболочки. — Сумма подпространств. — Размерность подпространства. — Размерность суммы подпространств. — Размерность линейной оболочки.) ЛЕКЦИЯ 2 (Теорема о ранге матрицы. — Ранг произведения матриц. — Теорема Кронекера — Капелли. — Решение систем линейных уравнений.) ЛЕКЦИЯ 3 (Прямые суммы подпространств. — Разложение пространства в прямую сумму подпространств. — Факторпространства. — Гомоморфизмы линейных пространств. — Прямые суммы пространств.) ЛЕКЦИЯ 4 (Сопряженное пространство. — Двойственные пространства. — Второе сопряженное пространство. — Преобразование сопряженного базиса и координат ковекторов. — Аннуляторы. — Пространство решений системы однородных линейных уравнений.) ЛЕКЦИЯ 5 (Аннулятор аннулятора и аннуляторы прямых слагаемых. — Билинейные функционалы и билинейные формы. — Билинейные функционалы в сопряженном пространстве. — Смешанные билинейные функционалы. — Тензоры.) ЛЕКЦИЯ 6 (Умножение тензоров. — Базис пространства тензоров. — Свертка тензоров. — Ранговое пространство полилинейного функционала.) ЛЕКЦИЯ 7 (Ранг полилинейного функционала. — Функционалы и подстановки. — Альтернирование.) ЛЕКЦИЯ 8 (Кососимметрическое полилинейные функционалы. Внешнее умножение.— Алгебра Грассмана. — Внешние произведения ковекторов.— Разложение кососимметрических функционалов по внешним произведениям ковекторов базиса.) ЛЕКЦИЯ 9 (Базис пространства кососимметрических функционалов. — Формулы преобразования базиса этого пространства. — Поливекторы. — Внешний ранг кососимметрического функционала. — Теорема о ранге поливектора. — Условия равенства поливекторов.) ЛЕКЦИЯ 10 (Теорема Картана о делимости. — Соотношения Плюккера. — Плюкке ровы координаты подпространств. — Плоскости в аффинном пространстве. — Плоскости в проективном пространствен их координаты.) ЛЕКЦИЯ 11 (Симметрические и кососимметрические билинейные функционалы. — Матрица симметрического билинейного функционала. — Ранг билинейного функционала. — Квадратичные функционалы и квадратичные формы. — Теорема Лагранжа.) ЛЕКЦИЯ 12 (Теорема Якоби. — Квадратичные формы над полями комплексных и вещественных чисел. — Закон инерции. — Положительно определенные квадратичные функционалы и формы.) ЛЕКЦИЯ 13 (Гиперповерхности второго порядка n-мерного проективного пространства. — Гиперповерхности второго порядка комплексного и вещественно-комплексного проективного пространства. — Гиперповерхности второго порядка n-мерного аффинного пространства. — Гиперповерхности второго порядка комплексного и вещественно-комплексного аффинного пространства.) ЛЕКЦИЯ 14 (Алгебра линейных операторов. — Операторы и смешанные билинейные функционалы. — Линейные операторы и матрицы. — Обратимые операторы. — Сопряженный оператор. — Альтернатива Фредгольма. — Инвариантные подпространства и индуцированные операторы.) ЛЕКЦИЯ 15 Собственные значения.— Характеристические корни.— Диагонализируемые операторы. — Операторы с простым спектром. — Существование базиса, в котором матрица оператора треугольна. — Нильпотентные операторы.) ЛЕКЦИЯ 16 (Разложение нильпотентного оператора в прямую сумму циклических операторов. — Корневые подпространства. — Жорданова нормальная форма. — Теорема Гамильтона — Кэли.) ЛЕКЦИЯ 17 (Комплексификация линейного оператора. — Собственные подпространства, принадлежащие характеристическим корням. — Операторы, ком-плексификация которых диагонализируема.) ЛЕКЦИЯ 18 (Евклидовы и унитарные пространства,—Ортогональные дополнения.— Отождествление векторов и ковекторов. — Аннуляторы и ортогональные дополнения. — Билинейные функционалы и линейные операторы. — Устранение произвола в отождествлении тензоров различных типов. — Метрический тензор. — Спуск и подъем индексов.) ЛЕКЦИЯ 19 (Сопряженные операторы. — Самосопряженные операторы. — Кососимметрические и косоэрмитовы операторы. — Аналогия между эрмитовыми операторами и вещественными числами. — Спектральные свойства самосопряженных операторов. — Ортогональная диагонализируе-мость самосопряженных операторов.) ЛЕКЦИЯ 20 (Приведение квадратичных форм к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных. — Гиперповерхности второго порядка в евклидовом точечном пространстве. — Минимаксное свойство собственных значений самосопряженных операторов. — Ортогонально диагонализируемые операторы.) ЛЕКЦИЯ 21 (Положительные операторы.—Изометрические операторы. — Унитарные матрицы. — Полярное разложение обратимых операторов. — Геометрическая интерпретация полярного разложения. — Параллельные переносы и центроаффинные преобразования. — Приведение унитарного оператора к диагональному виду.— Разложение вращения и-мерного евклидова пространства в композицию вращений в двумерных плоскостях.) ЛЕКЦИЯ 22 (Гладкие функции. — Гладкие гиперповерхности. — Градиент. — Производные по вектору. — Векторные поля. — Особые точки векторного поля. — Модуль векторных полей. — Потенциальные и безвихревые векторные поля. — Вихрь векторного поля. — Расходимость векторного поля. — Векторный анализ. — Символический вектор Гамильтона. — Формулы для произведений. — Композиции операторов.) ЛЕКЦИЯ 23 (Непрерывные, гладкие и регулярные кривые. — Эквивалентные кривые. — Регулярные кривые на плоскости и графики функций. — Касательная гиперплоскость гиперповерхности.—Длина кривой. — Кривые на плоскости. — Кривые в трехмерном пространстве.) ЛЕКЦИЯ 24 (Проекции кривой на координатные плоскости сопровождающего репера. — Формулы Френе для кривой в п-мерном пространстве. — Задание кривой ее кривизнами. — Регулярные поверхности.—Примеры поверхностей.) ЛЕКЦИЯ 25 (Первая квадратичная форма поверхности. — Индуцированные квадратичные формы. — Изометричные поверхности. — Поверхности с идентичными первыми квадратичными формами. — Примеры первых квадратичных форм поверхностей — Развертывающиеся поверхности.) ЛЕКЦИЯ 26 (Касательные векторы. — Первая квадратичная форма как метрическая форма линеала касательных векторов. — Касательная плоскость и вектор нормали. — Кривизна нормального сечения. — Вторая квадратичная форма поверхности. — Индикатриса Дюпена. — Главные кривизны. — Вторая квадратичная форма графика. — Линейчатые поверхности нулевой кривизны. — Поверхности вращения.) ЛЕКЦИЯ 27 (Деривационные формулы Вейнгартена. — Коэффициенты связности. — Теорема Гауса. — Необходимые и достаточные условия изометричности.) Предметный указатель