Лекции по алгебраической топологии. Основы теории гомотопий

Предисловие ЛЕКЦИЯ 0 (Задачи распространения и ретракции,—Задачи поднятия и сечения.— Предмет и метод алгебраической топологии.— Пример: теорема о барабане и теорема Брауера о неподвижной точке.—Пример: комплекснаи проективная плоскость и отображение Хопфа.— Редукция задачи распространении к задаче ретракции.— Векторные поля на сферах.—Гомотопии, пары Борсука и эффективность метода алгебраической топологии.—Гомотопическая категория.) ДОПОЛНЕНИЕ (Основные понятия общей топологии.— Экспоненциальный закон для множеств отображений.—Экспоненциальный закон для пространств отображений.) ЛЕКЦИЯ 1 (Гомотопии и пути.— Корасслоения и пары Борсука.— Амальгамы.— Амальгамы и коипдуцированные корасслоения.— Цилиндр отображения.— Характеризация корасслоений и пар Борсука.—Произведение пар Борсука.— Расслоения.— Коамальгамы и индуцированные расслоения.— Коцилиндр отображения и аксиома о накрывающем пути.—Расслоения пространств отображений.) ДОПОЛНЕНИЕ (Аксиома о мягком распространении накрывающей гомотопии.— Мягкие отображения.— Две леммы о мягких отображениях.— Лемма о покрытиях пространства X ×∕.-Теорема Дольда.—Локально тривиальные расслоения.) ЛЕКЦИЯ 2 (Гомотопические эквивалентности.— Редукция произвольного отображения к корасслоению.— Деформационные ретракты.—Стягиваемые пространства и конусы,—Относительные гомотопии и строгие деформационные ретракты.—Гомотопическая инвариантность операции приклеивания.— Окрестностные деформационные ретракты и пары Борсука,—Строгие деформационные ретракты и гомотопические эквивалентности,— Еще две аксиомы, характеризующие расслоения (аксиома о распространении накрывающего отображения и аксиома о распространении накрывающей гомотопии).— Прообраз пары Борсука.— Редукция произвольного отображения к расслоению.) ДОПОЛНЕНИЕ (Категория ТОР# — Гомотопии, корасслоения и расслоения категории ТОРд0.—Гомотопические расслоения.— Гомотопические эквивалентности в сравнении с послойными гомотопическими эквивалентностями,— Коллапсирующие отображения.— Теорема Дольда о послойных гомотопических эквивалентностях.— Индуцированные гомотопические расслоения.— Расслоения, индуцированные гомотопными отображениями.— Отображения, являющиеся гомотопическими эквивалентностями на слоях.) ЛЕКЦИЯ 3 (Гомотопически инвариантные функторы.— Функтор ∏o∙-Представимые функторы,— Группы категории,— Н-группы, Н-моноиды и Н-унитоиды (Н-простраиства).—Ко-группы категории.— Категория TOP,.— Категория (TOP,].- Н-когруппы, Н’комоноиды и Н-коуиитоиды.— Надстройки.— Приведенные надстройки.— Пространства петель,— Сопряженность фун кторов S∙ и Ω.-Топологический моноид муровских петель,—Пространство петель является Н-группой.) ДОПОЛНЕНИЕ (Н-моноиды, являющиеся Н-группами,—Левые и правые сдвиги в Н-моноидах.) ЛЕКЦИЯ 4 (Экспоненциальный закон для пунктированных отображений,—Расслоения и корасслоения категории ТОР*.— Лемма о приклеивании вибриссы,—Цилиндры и коци-линдры в категории ТОР*.— Стягиваемые пунктированные пространства.— Приведенные конусы.— Серровские расслоения.—Пунктированные гомотопические эквивалентности.— Отображение игнорирования отмеченных точек,— Фундаментальная группа пунктированного пространства.—Действие группы πty па множестве Пунктированные Н-пространства.— Н-пространства с настоящими единицами.— Кослон и относительные гомеоморфизмы.— Кослои по стягиваемым подпространствам.— Заключительные замечания о надстройках и пространствах петель.) ДОПОЛНЕНИЕ (Лемма о произведении эпиоморфизмов.— Смеш гомотопических классов.— Ассоциативность смеш-умножения хаусдорфовых локально компактных пространств.— Гомотопическая ассоциативность смеш-умножения гладко пунктированных пространств.— Инвариант cat X,— Нильпотентность группы [X, К]’.— Абелевость группы [L, К]*.— Группы [S«X, Qwyj) ЛЕКЦИЯ 5 (Гомотопическне группы.— Альтернативное определение гомотопических групп.— Индуктивное определение гомотопических групп.—Действие группы π1X иа группах ямХ. — Абелевы пространства.— Абелевость гомотопических групп при n≥s 2.—Ансамбль гомотопических групп.— Гомотопические группы абелевых пространств.—Асферичные пространства.—Гомотопическая последовательность расслоения,—Алгебраические свойства точных последовательностей.— Гомотопические группгл накрывающих пространств.— Расслоение Хопфа.— Функтора алы юсть гомотопической последовательности расслоения.— Аксиоматическое описание гомотопических групп.) ДОПОЛНЕНИЕ (Точные последовательности пунктированных пространств.— Короткие точные последовательности Н-групп.— Короткие точные последовательности t Н-когрупп.— Гомотопические слои пунктированных отображений.—Точная последовательность Пуппе.— Удлиненная последовательность Пуппе классифицированного расслоения.— Конусы отображений и коточные последовательности Пуппе.) ЛЕКЦИЯ 6 (Задача поднятия для иакрытий.—Накрытия и подгруппы фундаментальной группы.— Автоморфизмы накрытий.— Вполне разрывные действия групп.— Фундаментальная группа букета окружностей-— Единственность умножения в группе λ∣λ.- Универсальные накрытия,— Фундаментальные группы топологических групп и их фактор-пространств.) ДОПОЛНЕНИЕ (Пределы диаграмм над произвольной категорией,—Пределы диаграмм над категорией групп.— Их копредстав-леиия.— Структура свободного произведения групп.— Теорема Зейферта—ван Кампена.— Следствия теоремы Зейферта—ван Кампена.— Графы.— Деревья.—Вычисление фундаментальной группы графа.) ЛЕКЦИЯ 7 (Гладкие отображения и гладкие гомотопии.—Теорема Сарда.— Группа πmSnпри tn