LEHRBUCH - Mathematik II - Analysis und Numerik

Das Lehrbuch Das Buch behandelt wesentliche Themen aus den mathematischen Teilgebieten der Analysis, garniert mit numerischen Aspekten. Es richtet sich an Studierende all jener Fächer, die in den ersten Semestern mathematische Einführungen aus diesen Themenfeldern hören. Da sind die Mathematik, die Informatik, die Physik aber auch andere Natur-, die Wirtschafts- und Ingenieurwissenschaften zu nennen. Das Werk ist bewusst als Lehrbuch konzipiert. Seine Darstellung ist ausführlich und mit vielen Kommentaren, Beispielen und Erläuterungen versehen. Zusammenfassungen helfen, den gelernten Stoff im Lesefluss zu rekapitulieren. Dabei versteht es sich als Fortsetzung des Lehrbuchs „Mathematik für die Informatik I - Lineare Algebra und Diskrete Mathematik" Notation und Grundlagen werden übernommen, der vorliegende Band kann aber auch unabhängig von diesem studiert werden . Der Autor Dr. Samuel Hetterich lehrt und forscht am Mathematischen Institut der Goethe-Universität Frankfurt am Main. Nach der Promo- tion unter der Anleitung von Prof. Dr. Amin Coja-Oghlan auf einem Feld verankert zwischen diskreter Mathematik, Stochastik, theoretischer Informatik und statistischer Physik, begann er im Rahmen des durch den „Qualitätspakt Lehre geförderten Projekts „Starker Start" an der Goethe-Universität aktiv zu lehren. Er liest epochal die Vorlesungen „Mathematik für die Informatik I und II", in welchen er seinen Studierenden der Informatik der ersten Semester mathematische Grundlagen vermittelt. Seit 2018 unterrichtet er zusätzlich an einem privaten Frankfurter Gymnasium Mathematik und Physik. Inhaltsverzeichnis 5.2.2 Mit Grenzwerten rechnen 69 5.2.3 Schranke, Monotonie, Inf & Sup 72 5.2.4 Ein Konvergenzkriterium für reelle Folgen 76 5.2.5 Teilfolgen und Häufungspunkte 78 5.2.6 Cauchyfolgen 89 1 Analysis und Numerik 11 5.3 Reihen 91 1.1 Analysis 11 5.3.1 Einige wichtige Reihen 94 1.2 Numerik 14 5.4 Grenzverhalten von Reihen 98 5.4.1 Notwendige Konvergenzbedingung 99 2 Reelle Zahlen 17 5.4.2 Absolute Konvergenz 99 2.1 Die reellen Zahlen beschreiben 19 5.4.3 Das Majorantenkriterium 100 2.1.1 Die reellen Zahlen konstruktiv beschreiben 19 5.4.4 Das Leibnitz-Kriterium 102 2.1.2 Die reellen Zahlen axiomatisch beschr. . . 20 5.4.5 Wurzelkriterium 103 2.2 Die Mächtigkeit der reellen Zahlen 25 5.4.6 Quotientenkriterium 104 2.2.1 Abzählbarkeit 25 6 Funktionen und Folgen 107 3 Komplexe Zahlen 29 6.1 Eine Konvergenz für reelle Funktionen 108 3.1 Die komplexen Zahlen 31 6.1.1 Konvergenz & verknüpfte Funktionen . 114 3.1.1 Die imaginäre Einheit 31 6.2 Konvergenz mehrdimensionaler Funktionen . . 115 3.1.2 Rechnen mit komplexen Zahlen 32 6.3 Funktionenfolgen 119 3.2 Nullstellen von Polynomgleichungen 36 3.3 Die komplexe Zahlenebene 38 7 Stetigkeit 122 7.1 Stetigkeit 122 3.3.1 Betrag und Argument komplexer Zahlen 38 3.3.2 Konjugiert komplexe Zahlen 39 7.1.1 Varianten der Stetigkeit 124 7.2 Analyse reeller stetiger Funktionen 128 3.4 Polardarstellung komplexer Zahlen 41 7.2.1 Der Zwischenwertsatz 128 4 Zahlendarstellung 46 7.2.2 Der Satz von Heine 130 4.1 Zahldarstellung im positionellen Zahlsystem 46 7.2.3 Der Satz vom Minimum und Maximum 131 4.1.1 Natürliche Zahlen zu einer Basis 47 7.3 Stetig fortsetzbare Funktionen 133 4.2 Maschinenzahlen 50 7.3.1 Gebrochen-rationale Funktionen 135 4.2.1 Darstellung von ganzen Zahlen 51 7.4 Stetigkeit mehrdimensionaler reeller Funktionen 140 4.2.2 Gleitkommazahlen 52 7.4.1 Stetigkeit mehrdimensionaler Funktionen 140 4.2.3 Binäre Gleitkommazahlen mit „hidden Bit" 53 8 Die Ableitung 141 5 Folgen und Reihen 55 8.1 Die eindimensionale Ableitung 142 5.1 Folgen 56 8.1.1 Alternative Beschreibung der Ableitung . 145 5.1.1 Graphische Darstellung von Folgen . . 59 8.1.2 Höhere Ableitungen 146 5.2 Grenzverhalten von Folgen 62 8.2 Rechenregeln für Ableitungen 147 5.2.1 Grenzwert, Konvergenz & Divergenz . . . 62 8.2.1 Die Summenregel 147 9 • INHALTSVERZEICHNIS 8.2.2 Die Produktregel 148 11 Polynominterpolation 220 8.2.3 Die Kettenregel 150 11.1 Polynome - Definition und Eigenschaften . . . . 221 8.2.4 Die Quotientenregel 151 11.1.1 Homer-Schema 223 8.2.5 Die Ableitung der Umkehrfunktion . . . 153 11.2 Polynominterpolation 224 8.3 Der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung) 154 11.2.1 Existenz und Eindeutigkeit der Polyno- 8.4 Die mehrdimensionale Ableitung 156 minterpolation 226 8.4.1 Die partielle Ableitung 159 11.2.2 Interpolationsfehler 228 8.4.2 Höhere partielle Ableitungen 167 11.3 Verfahren zur Berechnung des Interpolationspo- 8.5 Extremstellen für eindimensionale Funktionen 169 lynoms von kleinem Grad 232 8.5.1 Wachstum von Funktionen 169 11.3.1 Lagrange-Interpolation 232 8.5.2 Extrema einer Funktion 171 11.3.2 Aitken-Neville-Interpolation 237 8.6 Extremstellen für mehrdimensionale Funktionen 177 11.3.3 Newton-Interpolation 241 8.6.1 Extrema im Mehrdimensionalen 177 11.4 Spline Interpolation 244 8.7 Taylorentwicklung 181 11.4.1 Kurzschreibweise für Splines 246 8.7.1 Das Taylorpolynom 181 11.4.2 Kubische Splines 248 8.7.2 Beispiele der Taylorentwicklung 183 12 Nummerische Integration 252 9 Nullstellen nummerisch finden 186 12.1 Numerische Integration - Einleitung 253 9.1 Iterationsverfahren - Einführung 187 12.2 Die Newton-Cotes-Formeln 255 9.2 Der Banachsche Fixpunktsatz 190 12.2.1 Äquidistanten Stützstellen 259 9.3 Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung 193 12.3 Newton-Cotes-Formeln von kleinem Grad . . 261 9.3.1 Das Newton-Verfahren 193 12.3.1 Die Trapezregel 262 9.3.2 Das Sekanten-Verfahren 194 12.3.2 Die Simpsonregel 263 10 Das Integral 197 12.3.3 Die e-Regel 264 12.4 Quadraturfehler 266 10.1 Das bestimmte Integral 200 10.1.1 200 12.4.1 Exakte Quadraturformeln 266 Der orientierte Flächeninhalt 12.4.2 Quadraturfehler für beliebige Funktionen 267 10.1.2 Das Integral von Treppenfunktionen . . 201 12.4.3 Die summierten Newton-Cotes-Formeln . 267 10.1.3 Das Integral allgemeiner Funktionen . . 203 10.1.4 Rechenregeln für das Integral 210 13 Fehlerabschätzung 269 10.2 Der Mittelwertsatz (der Integralrechnung) . 213 13.1 Runden von Inputzahlen 270 10.3 Der Hauptsatz der Different.- & Integralrechnung214 13.2 Fortpflanzung des Rundungsfehlers 274 10.3.1 Integrale berechnen 216 10.3.2 Zwei Integrationshilfen 217 Symbolverzeichnis 283