Le calcul des tresses : une introduction, et au-delà

Couverture Page de titre Avant-propos I. Tresses géométriques 1. L'espace des tresses géométriques 1.1. Des tresses matérielles aux tresses géométriques 1.2. Homotopie et isotopie : définition 1.3. Homotopie et isotopie : équivalence 1.4. L'espace des tresses 2. Diagrammes et mots de tresse 2.1. Projections planes des tresses géométriques 2.2. Isotopie de diagrammes de tresse 2.3. Codage par des mots de tresse 3. Le problème d'isotopie des tresses 3.1. Un problème pour le moment ouvert 3.2. Premières tentatives II. Les groupes de tresses 1. Le groupe B_n 1.1. Le produit des tresses 1.2. La structure de groupe de B_n 1.3. La présentation d'Artin du groupe B_n 1.4. Quelques conséquences 2. Appendice A : monoïdes présentés 2.1. Les monoïdes de mots 2.2. La propriété universelle des monoïdes S* 2.3. Présentation de monoïde 2.4. Le problème de mot d'un monoïde présenté 3. Appendice B : groupes présentés 3.1. Les groupes libres 3.2. Présentation de groupe 3.3. Le problème de mot d'un groupe présenté 3.4. Groupes libres et mots réduits III. Les monoïdes de tresses 1. Le monoïde B^+_n 1.1. Définition et premières propriétés 1.2. Le problème du plongement 1.3. Multiples communs dans B^+_n 2. Simplification dans B^+_n 2.1. Grilles de retournement 2.2. Couples de mots stables 2.3. Application à la simplification 3. Applications à l'étude des tresses 3.1. Le groupe B_n comme groupe de fractions de B^+_n 3.2. Une solution au problème de mot pour B^+_n 3.3. Une solution au problème de mot pour B_n 4. Appendice C : le théorème de Ore 4.1. L'énoncé 4.2. Démonstration de 4.1.1 4.3. Démonstration de 4.1.2 IV. La forme normale gloutonne 1. La structure de treillis de B^+_∞ 1.1. La relation de divisibilité à gauche 1.2. Les tresses de permutation 1.3. Les tresses simples 2. Forme normale, tresses positives 2.1. La tête d'une tresse positive 2.2. La forme normale 2.3. Calcul de la forme normale 3. Formes normales, tresses quelconques 3.1. La forme Delta-normale 3.2. La forme normale symétrique 4. Applications 4.1. La torsion dans B_n 4.2. Le problème de conjugaison 4.3. Cyclage et décyclage V. La représentation d'Artin 1. Action des tresses sur les lacets 1.1. Groupes de tresses et groupes modulaires 1.2. La représentation d'Artin 2. L'injectivité de la représentation d'Artin 2.1. Tresses σ-positives 2.2. Une démonstration de la propriété d'acyclicité 2.3. Injectivité de la représentation d'Artin 2.4. Équivalence des diverses notions d'isotopie 3. Appendice D : groupe fondamental d'un disque percé 3.1. Le groupe fondamental 3.2. Le groupe fondamental d'un disque à un trou 3.3. Le groupe fondamental d'un disque à n trous VI. La réduction des poignées 1. Les poignées d'une tresse 1.1. La notion de poignée 1.2. La réduction des poignées 2. Convergence de la réduction 2.1. Mots tracés dans un sous-ensemble 2.2. Le préfixe critique 2.3. Fin de la démonstration 3. Applications 3.1. Une démonstration de la propriété de comparaison 3.2. L'ordre des tresses VII. Les coordonnées de Dynnikov 1. Action des tresses sur les laminations 1.1. Laminations 1.2. Triangulations 1.3. Les coordonnées de Dynnikov 2. Utilisation des coordonnées 2.1. Construction directe 2.2. Injectivité des coordonnées 2.3. Implémentation VIII. Quelques pistes 1. Davantage sur B_n 1.1. Le monoïde dual 1.2. Représentations linéaires 1.3. Applications à la cryptographie 2. Des cousins très divers 2.1. Les groupes de tresses de surface 2.2. Les groupes d'Artin-Tits 2.3. Une conjecture Notations Index Bibliographie "Les tresses servent-elles uniquement à faire de belles coiffures et de jolis dessins, ou recèlent-elles aussi une structure cachée digne d'intérêt ? Comme la formulation le laisse deviner, le but de ce petit livre est de montrer qu'il existe toute une théorie des tresses, fondée sur des intuitions venues de la topologie, de l'algèbre, et de la géométrie, et se prolongeant en de multiples ramifications, avec même des applications possibles en crytographie. Un accent particulier est mis sur les aspects effectifs et la construction d'algorithmes qui constituent un véritable calcul des tresses à la fois semblable et très différent de celui des nombres. Le point de vue retenu ici est d'explorer le monde des tresses en ne supposant aucune connaissance au-delà d'une première année d'université, et de fournir pour toutes les affirmations proposées à la fois des explications heuristiques et des démonstrations précises. Un grand choix d'exercices complète le texte, avec des solutions disponibles sur internet. " (source : 4e de couverture)