美しい無限級数 : ゼータ関数とL関数をめぐる数学

はじめに 第1章 ゼータ関数入門 1.1 ゼータ関数とは 1.2 オイラー積 1.3 ゼータ関数の式変形から 第2章 さまざまな無限級数 2.1 ライプニッツの級数とメルカトールの級数 2.2 分母が自然数の積からなる級数 2.3 黄金比をもとに 2.4 級数の収束条件 第3章 ネイピアの数 e と円周率 π 3.1 ネイピアの数eについて 3.2 円周率πについて 3.3 π と e および i の関係(オイラーの公式から) 第4章 ベルヌーイ数とゼータ関数 4.1 ベルヌーイ数 B_m とは 4.2 ゼータ関数の正の偶数での値を求める 4.3 新たなベルヌーイ数 B_m^{(N)} とは 4.4 新たなベルヌーイ数の数列と ζ(2m) の値 第5章 ベルヌーイ数,オイラー数,もうひとつの数 5.1 オイラー数 E_m と奇数べきの交代級数 5.2 もうひとつの数 T_m と偶数べきの交代級数 5.3 三つの数 B_{2m}, E_{2m}, T_{2m} の関係 5.4 余接 cot z, 正割 sec z, 余割 cosec z で表される三つの数 第6章 自然数のべき乗の和 6.1 ベルヌーイ数と自然数のべき乗の和 6.2 ベルヌーイ多項式と自然数のべき乗の和 6.3 オイラー多項式と整数のべき乗の和 第7章 ゼータ関数がなす数列と級数 7.1 ゼータ関数から1を引いて足し合わせると 7.2 ゼータ関数の商による数列 7.3 連続する三つの整数のゼータ関数の値から 第8章 ガンマ関数 8.1 ガンマ関数とディガンマ関数 8.2 ディガンマ関数についての二つの公式 8.3 ディガンマ関数がつくる美しい無限級数 第9章 オイラーの定数 9.1 オイラーの定数 γ について 9.2 log m を無限級数で表すと(メルカトールの級数を一般化すれば) 9.3 オイラーの定数とゼータ関数の関係 9.4 γ,π,e とゼータ関数の関係 (π を e のべき乗で表せば) 第10章 余接関数 cot z とゼータ関数 10.1 無限級数 ζ(2) の分母を少し変えると 10.2 ロピタルの定理を用いる 10.3 cot z とゼータ関数 第11章 余接関数 cot z と L関数 11.1 ディリクレの L 関数とは (mod3,4 の場合) 11.2 mod5 の L 関数について 11.3 L(1, χ) の値について 第12章 ディリクレ指標と L 関数 12.1 ディリクレ指標とは 12.2 平方剰余記号と L関数 12.3 L関数の値を与える式 第13章 リーマンのゼータ関数 13.1 ゼータ関数の関数等式 13.2 ゼータ関数の負の整数での値 13.3 リーマン予想とは 第14章 素数の分布 14.1 素数定理について 14.2 k mod n となる素数の個数 14.3 素数の分布を考える 参考文献 索引