Курс дифференциального и интегрального исчисления Том 2 (Differential and Integral Calculus Volume 2)

Оглавление......Page 3 263. Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла)......Page 11 264. Интеграл и задача об определении площади......Page 15 265. Таблица основных интегралов......Page 18 266. Простейшие правила интегрирования......Page 20 267. Примеры......Page 22 268. Интегрирование путем замены переменной......Page 25 269. Примеры......Page 29 270. Интегрирование по частям......Page 33 271. Примеры......Page 35 272. Постановка задачи интегрирования в конечном виде......Page 39 273. Простые дроби и их интегрирование......Page 40 274. Разложение правильных дробей на простые......Page 42 275. Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей......Page 46 276. Выделение рациональной части интеграла......Page 48 277. Примеры......Page 52 278. Интегрирование выражений вида. Примеры......Page 55 279. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры......Page 57 280. Формулы приведения......Page 59 281. Интегрирование выражений вида. Подстановки Эйлера......Page 62 282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок......Page 65 283. Примеры......Page 66 284. Другие приемы вычисления......Page 72 285. Примеры......Page 79 286. Интегрирование дифференциалов R(sinх, cosх) dx......Page 81 287. Интегрирование выражений sinv х * cosμ х......Page 84 288. Примеры......Page 86 289. Обзор других случаев......Page 90 290. Общие замечания и определения......Page 92 291. Вспомогательные преобразования......Page 94 292. Приведение к канонической форме......Page 97 293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода......Page 99 294. Другой подход к задаче о площади......Page 104 295. Определение......Page 106 296. Суммы Дарбу......Page 108 297. Условия существования интеграла......Page 111 298. Классы интегрируемых функций......Page 112 299. Свойства интегрируемых функций......Page 114 300. Примеры и дополнения......Page 116 301. Нижний и верхний интегралы как пределы......Page 118 302. Интеграл по ориентированному промежутку......Page 120 303. Свойства, выражаемые равенствами......Page 121 304. Свойства, выражаемые неравенствами......Page 123 305. Определенный интеграл как функция верхнего предела......Page 127 306. Вторая теорема о среднем значении......Page 130 307. Вычисление с помощью интегральных сумм......Page 133 308. Основная формула интегрального исчисления......Page 136 309. Примеры......Page 138 310. Другой вывод основной формулы......Page 142 311. Формулы приведения......Page 143 312. Примеры......Page 144 313. Формула замены переменной в определенном интеграле......Page 148 314. Примеры......Page 149 315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена......Page 155 316. Другой вывод формулы замены переменной......Page 157 317. Формула Валлиса......Page 159 318. Формула Тейлора с дополнительным членом......Page 160 319. Трансцендентность числа е......Page 161 320. Многочлены Лежандра......Page 163 321. Интегральные неравенства......Page 166 322. Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций......Page 169 323. Параболическое интерполирование......Page 172 324. Дробление промежутка интегрирования......Page 174 325. Дополнительный член формулы прямоугольников......Page 175 327. Дополнительный член формулы Симпсона......Page 178 328. Примеры......Page 181 329. Вычисление длины кривой......Page 186 330. Другой подход к определению понятия длины кривой и ее вычислению......Page 188 331. Примеры......Page 192 332. Натуральное уравнение плоской кривой......Page 198 333. Примеры......Page 202 334. Длина дуги пространственной кривой......Page 204 335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности......Page 205 336. Площадь как предел......Page 209 337. Классы квадрируемых областей......Page 211 338. Выражение площади интегралом......Page 213 339. Примеры......Page 216 340. Определение понятия объема. Его свойства......Page 223 341. Классы тел, имеющих объемы......Page 225 342. Выражение объема интегралом......Page 227 343. Примеры......Page 230 344. Площадь поверхности вращения......Page 237 345. Примеры......Page 240 346. Площадь цилиндрической поверхности......Page 243 347. Примеры......Page 245 348. Схема применения определенного интеграла......Page 248 349. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой......Page 251 350. Примеры......Page 253 351. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры......Page 255 352. Примеры......Page 256 353. Механическая работа......Page 258 354. Примеры......Page 260 355. Работа силы трения в плоской пяте......Page 262 356. Задачи на суммирование бесконечно малых элементов......Page 264 357. Основные понятия. Уравнения первого порядка......Page 270 358. Уравнения первой степени относительно производной. Отделение переменных......Page 271 359. Задачи......Page 273 360. Замечания о составлении дифференциальных уравнений......Page 279 361. Задачи......Page 280 362. Основные понятия......Page 284 363. Примеры......Page 285 364. Основные теоремы......Page 287 365. Условие сходимости положительного ряда......Page 289 366. Теоремы сравнения рядов......Page 292 367. Примеры......Page 294 368. Признаки Коши и Даламбера......Page 298 369. Признак Раабе......Page 300 370. Примеры......Page 302 371. Признак Куммера......Page 305 372. Признак Гаусса......Page 307 373. Интегральный признак Маклорена-Коши......Page 309 374. Признак Ермакова......Page 313 375. Дополнения......Page 316 376. Общее условие сходимости ряда......Page 322 377. Абсолютная сходимость......Page 323 378. Примеры......Page 325 379. Степенной ряд, его промежуток сходимости......Page 327 380. Выражение радиуса сходимости через коэффициенты......Page 329 381. Знакопеременные ряды......Page 330 382. Примеры......Page 332 383. Преобразование Абеля......Page 334 384. Признаки Абеля и Дирихле......Page 336 385. Примеры......Page 337 386. Сочетательное свойство......Page 342 387. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов......Page 344 388. Случай неабсолютно сходящихся рядов......Page 346 389. Умножение рядов......Page 349 390. Примеры......Page 352 391. Общая теорема из теории пределов......Page 355 392. Дальнейшие теоремы об умножении рядов......Page 357 393. Повторные ряды......Page 359 394. Двойные ряды......Page 363 395. Примеры......Page 369 396. Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости......Page 377 397. Примеры......Page 380 399. Основные понятия......Page 382 400. Примеры......Page 383 401. Основные теоремы. Связь с рядами......Page 385 402. Примеры......Page 389 403. Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора......Page 396 404. Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических функций и др.......Page 399 405. Логарифмический ряд......Page 401 406. Формула Стирлинга......Page 403 407. Биномиальный ряд......Page 405 408. Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения......Page 407 409. Общие замечания......Page 411 410. Вычисление числа пи......Page 412 411. Вычисление логарифмов......Page 414 412. Вычисление корней......Page 416 413. Преобразование рядов по Эйлеру......Page 417 414. Примеры......Page 419 415. Преобразование Куммера......Page 422 416. Преобразование Маркова......Page 425 417. Введение......Page 427 418. Метод степенных рядов......Page 429 419. Теорема Таубера......Page 432 420. Метод средних арифметических......Page 435 421. Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро......Page 436 422. Теорема Харди-Ландау......Page 438 423. Применение обобщенного суммирования к умножению рядов......Page 441 424. Другие методы обобщенного суммирования рядов......Page 442 425. Примеры......Page 447 426. Общий класс линейных регулярных методов суммирования......Page 450 427. Вводные замечения......Page 454 428. Равномерная и неравномерная сходимости......Page 456 429. Условие равномерной сходимости......Page 461 430. Признаки равномерной сходимости рядов......Page 463 431. Непрерывность суммы ряда......Page 466 432. Замечание о квазиравномерной сходимости......Page 469 433. Почленный переход к пределу......Page 471 434. Почленное интегрирование рядов......Page 473 435. Почленное дифференцирование рядов......Page 476 436. Точка зрения последовательности......Page 479 437. Непрерывность суммы степенного ряда......Page 482 438. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов......Page 486 439. Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный переход к пределу......Page 489 440. Примеры на почленное интегрирование рядов......Page 496 441. Примеры на почленное дифференцирование рядов......Page 507 442. Метод последовательных приближений в теории неявных функций......Page 513 443. Аналитическое определение тригонометрических функций......Page 515 444. Пример непрерывной функции без производной......Page 518 445. Действия над степенными рядами......Page 520 446. Подстановка ряда в ряд......Page 524 447. Примеры......Page 527 448. Деление степенных рядов......Page 531 449. Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются......Page 534 450. Решение уравнений рядами......Page 539 451. Обращение степенного ряда......Page 543 452. Ряд Лагранжа......Page 545 453. Комплексные числа......Page 549 454. Комплексная варианта и ее предел......Page 552 455. Функции комплексной переменной......Page 554 456. Степенные ряды......Page 557 457. Показательная функция......Page 560 458. Логарифмическая функция......Page 562 459. Тригонометрические функции и им обратные......Page 564 460. Степенная функция......Page 568 461. Примеры......Page 569 462. Примеры......Page 574 463. Определения......Page 577 464. Основные свойства асимптотических разложений......Page 579 465. Вывод формулы Эйлера-Маклорена......Page 583 466. Исследование дополнительного члена......Page 586 467. Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера-Маклорена......Page 588 468. Другой вид формулы Эйлера-Маклорена......Page 592 469. Формула и ряд Стирлинга......Page 594 470. Определение интегралов с бесконечными пределами......Page 597 471. Применение основной формулы интегрального исчисления......Page 599 472. Примеры......Page 600 473. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы......Page 603 474. Сходимость интеграла в случае положительной функции......Page 605 475. Сходимость интеграла в общем случае......Page 607 476. Признаки Абеля и Дирихле......Page 609 477. Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду......Page 612 478. Примеры......Page 615 479. Определение интегралов от неограниченных функций......Page 623 480. Замечание относительно особых точек......Page 627 481. Применение основной формулы интегрального исчисления. Примеры......Page 628 482. Условия и признаки существования интеграла......Page 630 483. Примеры......Page 634 484. Главные значения несобственных интегралов......Page 637 485. Замечание об обобщенных значениях расходящихся интегралов......Page 642 486. Простейшие свойства......Page 645 487. Теоремы о среднем значении......Page 647 488. Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов......Page 649 489. Примеры......Page 650 490. Замена переменных в несобственных интегралах......Page 653 491. Примеры......Page 654 492. Некоторые замечательные интегралы......Page 659 493. Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных сумм. Случай интегралов с конечными пределами......Page 663 494. Случай интегралов с бесконечным пределом......Page 666 495. Интегралы Фруллани......Page 670 496. Интегралы от рациональных функций между бесконечными пределами......Page 672 497. Смешанные примеры и упражнения......Page 678 498. Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей......Page 691 499. Примеры......Page 692 500. Замечание по поводу приближенного вычисления собственных интегралов......Page 696 501. Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечным пределом......Page 697 502. Использование асимптотических разложений......Page 700 503. Постановка задачи......Page 704 504. Равномерное стремление к предельной функции......Page 705 505. Перестановка двух предельных переходов......Page 708 506. Предельный переход под знаком интеграла......Page 710 507. Дифференцирование под знаком интеграла......Page 712 508. Интегрирование под знаком интеграла......Page 715 509. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра......Page 717 510. Введение множителя, зависящего лишь от х......Page 720 511. Примеры......Page 722 512. Гауссово доказательство основной теоремы алгебры......Page 733 513. Определение равномерной сходимости интегралов......Page 735 514. Условие равномерной сходимости. Связь с рядами......Page 736 515. Достаточные признаки равномерной сходимости......Page 737 516. Другой случай равномерной сходимости......Page 740 517. Примеры......Page 742 518. Предельный переход под знаком интеграла......Page 747 519. Примеры......Page 751 520. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру......Page 765 521. Интегрирование интеграла по параметру......Page 769 522. Применение к вычислению некоторых интегралов......Page 772 523. Примеры на дифференцирование под знаком интеграла......Page 779 524. Примеры на интегрирование под знаком интеграла......Page 789 525. Лемма Арцела......Page 800 526. Предельный переход под знаком интеграла......Page 802 528. Интегрирование под знаком интеграла......Page 806 529. Эйлеров интеграл первого рода......Page 808 530. Эйлеров интеграл второго рода......Page 811 531. Простейшие свойства функции Г......Page 812 532. Однозначное определение функции Г ее свойствами......Page 819 533. Другая функциональная характеристика функции Г......Page 821 534. Примеры......Page 823 535. Логарифмическая производная функции Г......Page 830 536. Теорема умножения для функции Г......Page 832 537. Некоторые разложения в ряды и произведения......Page 834 538. Примеры и дополнения......Page 835 539. Вычисление некоторых определенных интегралов......Page 842 540. Формула Стирлинга......Page 850 541. Вычисление эйлеровой постоянной......Page 853 542. Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г......Page 854 Алфавитный указатель......Page 856