Когомологический анализ уравнений с частными производными и вторичное исчисление

Книга посвящена основам алгебраического и геометрического подхода к тео- рии нелинейных дифференциальных уравнений. Она включает в себя идеи из тео- рии интегрируемых систем, формальной теории дифференциальных уравнений в ее современной когомологической форме, данной Д. Спенсером и Х. Гольдшмидтом, и дифференциального исчисления над коммутативными алгебрами. Основным результатом такого синтеза является дифференциальное исчисление на новых геометрических объектах — многообразиях всех формальных решений дифференциального уравнения (диффеотопах). Это «вторичное исчисление» по- казывает глубокую когомологическую природу общей теории дифференциальных уравнений и указывает новые направления ее дальнейшего развития. Автор описывает существующие и потенциальные приложения вторичного диф- ференциального исчисления, начиная от алгебраической геометрии и заканчивая теорией поля, классической и квантовой, включая такие области, как характеристи- ческие классы, дифференциальные инварианты, теория геометрических структур, вариационное исчисление, теория управления и т. д. Книга рассчитана на студентов старших курсов, аспирантов и научных сотруд- ников, интересующихся всеми областями математики, где используются и изучают- ся нелинейные дифференциальные уравнения, включая алгебраическую и диффе- ренциальную геометрию и топологию, вариационное исчисление и теорию управ- ления, механику сплошных сред, математическую и теоретическую физику. Предисловие Введение Introduction Глава 0. От симметрий уравнений с частными производными до вторичного исчисления § 0.1. Что такое симметрии уравнений с частными производными и что такое сами уравнения с частными производными? § 0.2. Джеты § 0.3. Контактные структуры высшего порядка § 0.4. Дифференциальные уравнения — это диффеотопы § 0.5. Что такое симметрии уравнений с частными производными? § 0.6. Инфинитезимальные симметрии уравнений с частными производными суть вторичные квантованные векторные поля § 0.7. Отступление. О симметриях уравнений с частными производными § 0.8. Вторичные («квантованные») функции § 0.9. Скалярные вторичные («квантованные») операторы высших порядков § 0.10. Вторичные («квантованные») дифференциальные формы и C-спектральная последовательность § 0.11. Как работает C-спектральная последовательность? Глава 1. Элементы дифференциального исчисления в коммутативных алгебрах § 1.1. Общие замечания § 1.2. Сопряжённые операторы § 1.3. Комплексы Спенсера и формула Грина § 1.4. Квадратичные лагранжианы и оператор Эйлера § 1.5. Законы сохранения в линейной теории § 1.6. Автоморфизмы и линейная теорема Нётер § 1.7. Заключительные замечания Глава 2. Геометрия контактных структур конечного порядка и классическая теория симметрий дифференциальных уравнений с частными производными § 2.1. Необходимые сведения о геометрии пространств джетов § 2.2. Структура U-преобразований § 2.3. Инфинитезимальные автоморфизмы распределения Картана § 2.4. Структура автоморфизмов распределения Картана на многообразиях Jk(E,n), k< § 2.5. Классическая теория симметрий уравнений с частными производными § 2.6. Заключительные замечания Глава 3. Геометрия бесконечно продолженных дифференциальных уравнений и высшие симметрии § 3.1. Геометрия бесконечно продолженных дифференциальных уравнений и соответствующее дифференциальное исчисление § 3.2. Операция горизонтализации, структура картановских подмодулей и C-дифференциальные операторы § 3.3. Высшие инфинитезимальные симметрии дифференциальных уравнений § 3.4. Структура C-преобразований § 3.5. Примеры диффеотопов § 3.6. Заключительные замечания Глава 4. C-спектральная последовательность и некоторые её приложения § 4.1. Комплексы Спенсера и формула Грина в C-теории § 4.2. Нелинейный лагранжев формализм § 4.3. C-спектральная последовательность § 4.4. C-спектральная последовательность для бесконечно продолженных уравнений § 4.5. Приложения к лагранжеву формализму со связями и теория законов сохранения § 4.6. Характеристические классы § 4.7. Заключительные замечания Глава 5. Введение во вторичное дифференциальное исчисление § 5.1. Первые понятия вторичного исчисления § 5.2. Вторичная линейная алгебра § 5.3. Вторичные модули § 5.4. Вторичные линейные дифференциальные операторы § 5.5. C-спектральная последовательность § 5.6. Вторичные поливекторнозначные дифференциальные формы § 5.7. Вторичный формализм Фрёлихера — Нийенхейса § 5.8. Заключительные замечания Литература Предметный указатель