Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres

Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombresSolide initiation aux méthodes analytiques et probabilistes de l'arithmétique, ce livre constitue une référence indispensable.Ne s'appuyant que sur les connaissances traditionnellement enseignées en Licence et Master, il fournit en effet aux étudiants (notamment ceux qui préparent l'agrégation ou le CAPES de mathématiques), et aux jeunes chercheurs, une présentation systématique, cohérente et autonome du domaine. C'est également un précieux instrument de travail pour les mathématiciens confirmés sur nombre de questions fondamentales.Centré sur les méthodes et non les résultats, l'approche générale ouvre immédiatement une porte sur de nouveaux développements dépassant largement le cadre strict de la théorie des nombres. Les chapitres sont par ailleurs complétés de notes détaillées et de plus de 300 exercices de niveaux variés, certains débouchant sur des problèmes de recherche.Cette quatrième édition d'un texte devenu classique, inclus dans la bibliothèque de l'agrégation depuis de nombreuses années, offre un contenu renouvelé et considérablement enrichi. Elle comporte en particulier d'importants développements inédits, des points de vue originaux sur plusieurs branches essentielles de l'arithmétique, et une base bibliographique à jour des dernières découvertes pour la plupart des questions centrales de la théorie. Table des matières Avant-propos Notations TOME I : MÉTHODES ÉLEMENTAIRES Chapitre 0. QUELQUES OUTILS D’ANALYSE REELLE 0.1 La sommation d’Abel 0.2 La formule sommatoire d’Euler–Maclaurin Exercices Chapitre 1. LES NOMBRES PREMIERS 1.1 Introduction 1.2 Les estimations de Tchébychev 1.3 Valuation p-adique de n! 1.4 Le premier théorème de Mertens 1.5 Deux nouvelles formules asymptotiques 1.6 La formule de Mertens 1.7 Un autre théorème de Tchébychev Notes Exercices Chapitre 2. FONCTIONS ARITHMÉTIQUES 2.1 Définitions 2.2 Exemples 2.3 Séries de Dirichlet formelles 2.4 L’anneau des fonctions arithmétiques 2.5 Les formules d’inversion de Möbius 2.6 La fonction de von Mangoldt 2.7 La fonction indicatrice d’Euler Notes Exercices Chapitre 3. ORDRES MOYENS 3.1 Introduction 3.2 Le problème de Dirichlet et le principe de l’hyperbole 3.3 La fonction somme des diviseurs 3.4 La fonction indicatrice d’Euler 3.5 Les fonctions ω et Ω 3.6 Fonction de Möbius et fonctions de Tchébychev 3.7 Entiers sans facteur carre 3.8 Moyenne d’une fonction multiplicative a valeurs dans [0,1] Notes Exercices Chapitre 4. MÉTHODES DE CRIBLE 4.1 Le crible d’Eratosthène 4.2 Le crible combinatoire de Brun 4.3 Application aux nombres premiers jumeaux 4.4 Le grand crible—forme analytique 4.5 Le grand crible—forme arithmétique 4.6 Applications du grand crible 4.7 Le crible de Selberg 4.8 Sommes de deux carres dans un intervalle Notes Exercices Chapitre 5. ORDRES EXTRÉMAUX 5.1 Introduction et définitions 5.2 La fonction τ(n) 5.3 Les fonctions ω(n) et Ω(n) 5.4 La fonction d’Euler φ(n) 5.5 Les fonctions σ_κ(n), κ > 0 Notes Exercices Chapitre 6. LA MÉTHODE DE VAN DER CORPUT 6.1 Introduction et rappels 6.2 Intégrales trigonométriques 6.3 Sommes trigonométriques 6.4 Application au théorème de Voronoï 6.5 Équirépartition modulo 1 Notes Exercices Chapitre 7. APPROXIMATION DIOPHANTIENNE 7.1 De Dirichlet a Roth 7.2 Meilleures approximations, fractions continues 7.3 Propriétés du développement en fraction continue 7.4 Développement en fraction continue des irrationnels quadratiques Notes Exercices TOME II : MÉTHODES D’ANALYSE COMPLEXE Chapitre 0. LA FONCTION GAMMA D’EULER 0.1 Définitions 0.2 Formule du produit de Weierstrass 0.3 Fonction Bêta 0.4 Formule de Stirling complexe 0.5 La formule de Hankel Exercices Chapitre 1. FONCTIONS GÉNERATRICES : SÉRIES DE DIRICHLET 1.1 Séries de Dirichlet convergentes 1.2 Séries de Dirichlet des fonctions multiplicatives 1.3 Propriétés analytiques fondamentales des séries de Dirichlet 1.4 Abscisse de convergence et valeur moyenne 1.5 Une application arithmétique : le noyau d’un entier 1.6 Ordre de grandeur dans les bandes verticales Notes Exercices Chapitre 2. FORMULES DE SOMMATION 2.1 Formules de Perron 2.2 Applications : deux théorèmes de convergence 2.3 Formule de la valeur moyenne Notes Exercices Chapitre 3. LA FONCTION ZÊTA DE RIEMANN 3.1 Introduction 3.2 Prolongement analytique 3.3 Équation fonctionnelle 3.4 Approximations et majorations dans la bande critique 3.5 Première localisation des zéros 3.6 Lemmes d’analyse complexe 3.7 Répartition globale des zéros 3.8 Développement en produit de Hadamard 3.9 Régions sans zéros 3.10 Majorations de ζ'/ζ , 1/ζ et log ζ Notes Exercices Chapitre 4. LE THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS ET L’HYPOTHÈSE DE RIEMANN 4.1 Le théorème des nombres premiers 4.2 Hypothèses minimales 4.3 L’hypothèse de Riemann 4.4 Formule explicite pour ψ(x) Notes Exercices Chapitre 5. LA MÉTHODE DE SELBERG–DELANGE 5.1 Puissances complexes de ζ(s) 5.2 Le résultat principal 5.3 Démonstration du Théorème 5.2 5.4 Une variante du théorème principal Notes Exercices Chapitre 6. DEUX APPLICATIONS ARITHMÉTIQUES 6.1 Entiers ayant k facteurs premiers 6.2 Répartition des diviseurs en moyenne : loi de l'arcsinus Notes Exercices Chapitre 7. THÉORÈMES TAUBÉRIENS 7.1 Introduction. Dualité théorèmes abéliens/taubériens 7.2 Le théorème de Tauber 7.3 Les théorèmes de Hardy–Littlewood et Karamata 7.4 Le terme d’erreur dans le théorème de Karamata 7.5 Le théorème d’Ikehara 7.6 L’inégalité de Berry–Esseen 7.7 L’holomorphie comme condition taubérienne 7.8 Théorèmes taubériens arithmétiques Notes Exercices Chapitre 8. NOMBRES PREMIERS EN PROGRESSIONS ARITHMÉTIQUES 8.1 Introduction. Caractères de Dirichlet 8.2 Séries L. Le théorème de la progression arithmétique 8.3 Minoration de |L(s,χ)| pour σ ≥ 1. Preuve du Théorème 8.16 8.4 L’équation fonctionnelle des fonctions L(s,χ) 8.5 Formule du produit de Hadamard et régions sans zéro 8.6 Formules explicites pour ψ(x;χ) 8.7 Le théorème des nombres premiers en progressions arithmétiques Notes Exercices TOME III : MÉTHODES PROBABILISTES Chapitre 1. DENSITÉS 1.1 Définitions. Densité naturelle 1.2 La densité logarithmique 1.3 La densité analytique 1.4 La théorie probabiliste des nombres Notes Exercices Chapitre 2. LOI DE RÉPARTITION D’UNE FONCTION ARITHMÉTIQUE 2.1 Définition—fonctions de répartition 2.2 Fonctions caractéristiques Notes Exercices Chapitre 3. ORDRE NORMAL 3.1 Définition 3.2 L’inégalité de Turán–Kubilius 3.3 Forme duale de l’inégalité de Turán–Kubilius 3.4 Le théorème de Hardy–Ramanujan et autres applications 3.5 Majorations effectives de sommes de fonctions multiplicatives 3.6 Structure normale de la suite des facteurs premiers d’un entier Notes Exercices Chapitre 4. FONCTIONS ADDITIVES ET MULTIPLICATIVES 4.1 Le théorème d’Erdős–Wintner 4.2 Le théorème de Delange 4.3 Le théorème de Halász 4.4 Le théorème d’Erdős–Kac Notes Exercices Chapitre 5. ENTIERS FRIABLES. LA MÉTHODE DU COL 5.1 Introduction. La méthode de Rankin 5.2 La méthode géométrique 5.3 Équations fonctionnelles 5.4 La fonction de Dickman 5.5 Approximations de Ψ(x,y) par la méthode du col 5.6 La fonction de Jacobsthal et le théorème de Rankin Notes Exercices Chapitre 6. ENTIERS SANS PETIT FACTEUR PREMIER 6.1 Introduction 6.2 Équations fonctionnelles 6.3 La fonction de Buchstab 6.4 Approximations de Φ(x,y) par la méthode du col 6.5 Le modèle de Kubilius Notes Exercices Index