Introdução à Teoria das Probabilidades

ÍNDICE CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS. .... 1 1.1 - Conjuntos ................................................... 1 1.2 - Operações com conjuntos ......................... 2 1.3 - Limites e Indicadores ................................. 5 1.4 - Funções ..................................................... 7 CAPÍTULO 2 - ANÁLISE COMBINATÓRIA 2.1 - Elementos básicos ..................................... 10 2.2 - Arranjos com repetição, de n elementos, tomados m a m (ou amostras ordenadas de tamanho m com reposição) .................................. 10 2.3 - Arranjos de n elementos tomados q a m (ou amostras ordenados de tamanho m, sea reposição) ..................................... 11 2.4 - Permutações de n ................................. 11 2.5 - Combinações de n elementos tomados m a m (ou amostras não ordenadas de tamanho m, sem reposição)................................. 11 2.6 - Combinações com repetição (ou amostras não ordenadas de tamanho m, com reposição) .................................. 13 2.7 - Permutações com repetição ..................................... 13 2.8 - Números combinatórios .................................... 15 2.9 - Aplicações ................................. 16 2.10 - Fórmula de Stirling ................................... 20 CAPÍTULO 3 - MODELOS PROBABILÍSTICOS .,................................... 25 3.1 - Experimentos Determinísticos e Aleatórios... 25 3.2 - O Espaço Amostral ..................................... 26 3.3 - Espaços de Probabilidades ...................................... 29 3.4 - Construção de Probabilidades .................................... 34 3.5 - Falácias em Problemas Combinatórios .................................... 43 CAPÍTULO 4- INDEPENDÊNCIA 4.1 - Probabilidade Condicional ..................................... 48 4.2 - Teorema de Bayes .................................................................... 48 4.3 - Independência ..................................... 51 4.4 - Modelos produto ........................................................ 55 4.5 - Independência a Pares o Independência .................................... 60 4.6 - Árvores ........................................................ 61 CAPÍTULO 5 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ...................................... 72 5.1 - Introdução .......................................................................... 72 5.2 - Exemplos ........................................................................ 74 5.3 - Variáveis Aleatórias Simples .................................... 79 5.4 - Variáveis Aleatórias Independentes ..................................... 80 5.5 - Convergência de variáveis aleatórias .................................... 83 CAPÍTULO 6 - ESPERANÇA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS REAIS 87 6.1 - Definição e propriedades básicas ...................................... 87 6.2 - Exemplos ........................................................................ 92 6.3 - Funções de Variáveis Aleatórias Momentos............................................ 93 6.4 - Exemplos ......................................... 99 6.5 - A Desigualdade de Markov ...................................... 101 6.6 - Aplicação ao Teorema de Weierstrass .......................................... 104 CAPÍTULO 7 - VETORES ALEATÓRIOS .......................................... 108 7.1 - Propriedades básicas ........................................... 108 7.2 - Distribuição conjunta de variáveis aleatórias independentes........................ 111 7.3 - Distribuições condicionais ......................................... 111 7.4 - Esperança condicional .............................................. 113 7.5 - Predição linear .......................................................... 120 7.6 - Independência de Vetores aleatórios .............................................. 120 7.7 - Mais sobre as distribuições de Poisson e Binomial ............................................... 126 CAPITULO 8 - INTRODUÇÃO AO TEOREMA CENTRAL DO LIMITE .............................................. 131 8.1 - A distribuição normal .................................................. 131 8.2 - Convergência em distribuição ............................................... 134 CAPÍTULO 9 - INTRODUÇÃO AO PASSEIO AD ACASO ................................................ 145 9.1 - Notação e propriedades básicas ................................................ 145 9.2 - Passeio ao acaso simétrico ,.............................................. 151 9.3 - Uma introdução informal à lei do arco seno 155 ANEXO 1 - ALGUNS RESULTADOS SOBRE SERIES NUMÉRICAS 159 ANEXO 2 .................................................... 163 REFERÊNCIAS ................................................ 167 TABELA No 1 .............................................. 169 TABELA No 2 .............................................. 170 TABELA No 3 .............................................. 171 NOTAS AOS CAPÍTULOS ............................................... 173 SOLUÇÕES E RESPOSTAS PARA ALGUNS EXERCÍCIO.............................................. 193