Il Bernoccolo Del Calcolo I - Esercizi Di Analisi Matematica I-CLUT () [Guillermo Gonzalo Quelali]

Indice 1 Prima di partire per un lungo viaggio... 1 1 Alcuni quesiti di teoria - logica e insiemistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Gli insiemi numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1 Intervalli in li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Alcuni quesiti di teoria - max, min, sup, inf in li . . . . . . . . . . 8 3 Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4 Piano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5 Alcuni quesiti di teoria - funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.1 Ancora qualche richiamo di teoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 Strategia grafica per la risoluzione di equazioni e disequazioni . . . . . . 23 7 Retta, equazioni e disequazioni di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7 .1 Alcuni esercizi di base sulla retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 8 Parabola, equazioni e disequazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . 35 9 Polinomio di grado superiore al secondo, equazioni e disequazioni . . . . 43 10 L'iperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 11 Rapporto di polinomi di grado superiore al secondo, equazioni e disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 12 Il valore assoluto, equazioni e disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 13 Gli irrazionali, equazioni e disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 13.1 Radicali .............. : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 13.2 Funzione radice quadrata f(x) = -Jx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 13.3 La funzione radice cubica f(x) = {lx . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 13.4 Equazioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 13.5 Disequazioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 14 L'esponenziali e il logaritmo: equazioni e disequazioni . . . . . . . . . . . . 69 14.1 Equazione esponenziale ... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 14.2 Equazione logaritmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 14.3 Disequazione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 14.4 Disequazione logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 15 Angoli e loro misura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 16 Funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 16.1 Grafi.ci delle funzioni trigonometriche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 16.2 Relazioni goniometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 16.3 Equazioni goniometriche elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 16.4 Disequazioni goniometriche elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 17 max, min, sup, inf in lliL. il ritorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 18 Quesiti di autovalutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2 Sulle funzioni e sui grafici 105 1 Alcuni quesiti di teoria - funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2 Funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3 Immagine e controimmagine................................ 110 4 Composizione di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5 Immagine e controimmagine di funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . 115 6 Funzioni monotone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7 Monotonia di funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8 Funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 9 Funzione reciproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 10 La danza delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 10.1 Diseq4azioni risolte graficamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 11 Qualche esercizio di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 12 Quesiti di autovalutazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 3 Sui numeri complessi 149 1 Alcuni quesiti di teoria - numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 2 I radicali .................................... ·. . . . . . . . . . 152 3 Esercizi di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4 Operazioni con i numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5 Potenza e radice n-sima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6 Equazioni in C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7 Disequazioni in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8 Qualche esercizio di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 9 Quesiti di autovalutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4 Sui limiti e sui confronti locali 177 1 Alcuni quesiti di teoria - limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 2 Definizione di limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 3 Continuità ............................................. · 187 4 Limiti di funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5 Continuità delle funzioni definite a tratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 6 Punti di discontinuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7 Algebra dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 8 Limiti di successione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 9 Limiti di funzioni razionali fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 10 Non esistenza dei limiti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 10.1 Non esistenza dei limiti per il dominio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 10.2 Teorema. Limite di restrizioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 10.3 Criterio di non esistenza del limite di una funzione . . . . . . . . . 209 11 Teorema del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Infiniti, infinitesimi e simboli di Landau ...................... . Limiti Fondamentali ..................................... . Applicazione dei simboli di Landau ......................... . 14.1 Ordine di infinitesimo e parte principale ............... . 14.2 Ordine di infinitesimo e parte principale con parametri ..... . 14.3 Ordine di infinito e parte principale ................... . 14.4 Calcolo dei limiti con i simboli di Landau ............... . 14.5 Calcolo dei limiti con parametri ...................... . 14.6 Limiti di funzioni irrrionali ......................... . Limiti del tipo lim [f(x)]9(x .............................. . x-txo f prolungabile per continuità .............................. . Asintoti .............................................. . Teorema di Weierstrass .................................. . Teorema di esistenza degli zeri ............................. . En un pis-pas .......................................... . Quesiti di autovalutazione ................................ . 5 Sul calcolo differenziale 267 1 Alcuni quesiti di teoria - derivate di funzioni elementari . . . . . . . . . . . 268 2 Definizione di derivata nel punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 · 3 Le regofo di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 3.1 La linearità della derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 3.2 La derivata del prodotto e del rapporto . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 3.3 La derivata della funzione composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 3.4 La derivata della funzione h(x) = f(x)g(x) . . . . . . . . . . . . . . . 275 4 E se le funzioni non fossero esplicite? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 5 Retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa xo . . . . . . . . . . . . . 278 6 Punti di non derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 7 Punti di derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 7.1 Derivabilità con parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 8 Derivata della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 9 Intervalli di monotonia, massimo e minimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 10 Teorema di Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 11 Teorema di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 12 Teorema di De l'Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 12.1 Situazioni in cui non possiamo applicare il teorema di De Hopital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 13 Le funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 14 Quesiti di autovalutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 15 Derivate successive e Sviluppo di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 15.1 Alcuni quesiti di teoria - MacLaurin e Taylor. . . . . . . . . . . . . 312 16 Sviluppo di Taylor, il calcolo diretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 17 Esercizi di riscaldamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 18 Algebra degli "o-piccolo" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 19 Sviluppi di Taylor e MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 20 Convessità, concavità e flessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 21 Ordine di infinitesimo e parte principale ........... ·. . . . . . . . . . . . 338 22 Calcolo del limite attraverso la ricerca delle parti principali . . . . . . . . 344 23 Quesiti di autovalutazione .. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 6 Sullo studio di funzioni 353 1 Studio di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 7 Sul calcolo integrale 367 1 Alcuni quesiti di teoria - integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 2 Integrali immediati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 3 Linearità dell'integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 4 Integrazioni per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 5 Integrali per sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 6 Integrazione di funzioni razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 7 Integrazione di funzioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 8 Formule parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 9 Primitive in senso generalizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 10 Integrale definito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 10.1 Integrali definiti con valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 10.2 Applicazione. Calcolo delle aree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 11 Teorema della media integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 12 Integrali impropri: calcolo diretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 13 Integrali impropri: criteri del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 13.1 Convergenza assoluta............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 14 Funzioni integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 14.1 Sviluppi di Taylor e MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 14.2 Limiti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 14.3 Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 15 Azzecca la funzione! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 16 Quesiti di autovalutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 8 Sulle equazioni differenziali 433 1 Alcuni quesiti di teoria - equazione differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 2 Equazioni differenziali del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 2.1 Equazioni differenziali a variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . 436 2.2 Equazioni differenziali lineari del primo ordine . . . . . . . . . . . . 439 3 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 3.1 Equazione differenziale lineare coefficienti costanti omogenea . 443 3.2 Equazione differenziale lineare a coefficienti costanti completa 446 4 Quesiti di autovalutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 A Simbologia 463 Bibliografia