Höhere Mathematik in Rezepten: Begriffe, Sätze und zahlreiche Beispiele in kurzen Lerneinheiten (German Edition)

Haben Sie schon einmal ein 3-Gänge-Menü anhand eines Rezepts gekocht? Das klappt im Allgemeinen ganz gut, auch wenn man kein großer Koch ist. Was das mit Mathematik zu tun hat? Na ja, man kann auch viele mathematische Probleme rezeptartig lösen: Brauchen Sie die Lösung einer Riccati'schen Differenzialgleichung oder die Singulärwertzerlegung einer Matrix? Schlagen Sie in diesem Buch nach, hier finden Sie ein Rezept dazu. Rezepte gibt es zu Problemen aus der * Analysis in einer und mehreren Variablen, * linearen Algebra, * Vektoranalysis, * Theorie zu Differenzialgleichungen, gewöhnlich und partiell, * Theorie der Integraltransformationen, * Funktionentheorie. Wir haben versucht, diese Rezepte so gut und auch so verständlich wie möglich in diesem Buch zusammenzufassen. Vielfach wird davon gesprochen, dass man Höhere Mathematik verstehen muss, um sie anwenden zu können. Wir zeigen in diesem Buch, dass das Verständnis auch ganz von selbst durch das Tun kommt: Kein Mensch lernt die Grammatik einer Sprache von vorne bis hinten, wenn er eine Sprache lernen will. Man lernt eine Sprache, indem man sich ein bisschen über die Grammatik informiert und dann loslegt; man muss sprechen, Fehler machen, auf Fehler hingewiesen werden, Beispielsätze und Rezepte kennen, häppchenweise Themen erarbeiten, dann klappt es. In der Höheren Mathematik ist es nicht anders. Weitere Besonderheiten dieses Buches sind: * Die Einteilung der Höheren Mathematik in ca. 100 etwa gleich lange Kapitel. Jedes Kapitel behandelt etwa den Stoff einer 90-minütigen Vorlesung. * Zahlreiche Beispiele. * Viele Aufgaben, die Lösungen dazu findet man auf der Website zu diesem Buch bzw. in dem dazu gehörigen Arbeitsbuch. * Viele Probleme der Höheren Mathematik lassen sich mit dem Computer lösen. Wir geben stets an, wie es mit MATLAB® funktioniert. * Aufgrund der übersichtlichen Darstellung kann das Buch auch als kommentierte und mit zahlreichen Beispielen unterlegte Formelsammlung benutzt werden. PD Dr. **Christian Karpfinger** lehrt an der Technischen Universität München; 2004 erhielt er den Landeslehrpreis des Freistaates Bayern. Front Matter....Pages 1-19 Sprechweisen, Symbole und Mengen....Pages 1-8 Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen....Pages 9-15 Die reellen Zahlen....Pages 16-23 Maschinenzahlen....Pages 24-30 Polynome....Pages 31-41 Trigonometrische Funktionen....Pages 42-49 Komplexe Zahlen – Kartesische Koordinaten....Pages 50-55 Komplexe Zahlen – Polarkoordinaten....Pages 56-61 Lineare Gleichungssysteme....Pages 62-71 Rechnen mit Matrizen....Pages 72-84 LR-Zerlegung einer Matrix....Pages 85-94 Die Determinante....Pages 95-104 Vektorräume....Pages 105-110 Erzeugendensysteme und lineare (Un-)Abhängigkeit....Pages 111-118 Basen von Vektorräumen....Pages 119-128 Orthogonalität I....Pages 129-139 Orthogonalität II....Pages 140-149 Das lineare Ausgleichsproblem....Pages 150-159 Die QR-Zerlegung einer Matrix....Pages 160-168 Folgen....Pages 169-175 Berechnung von Grenzwerten von Folgen....Pages 176-182 Reihen....Pages 183-190 Abbildungen....Pages 191-201 Potenzreihen....Pages 202-212 Grenzwerte und Stetigkeit....Pages 213-223 Differentiation....Pages 224-233 Anwendungen der Differentialrechnung I....Pages 234-244 Anwendungen der Differentialrechnung II....Pages 245-254 Polynom- und Splineinterpolation....Pages 255-262 Integration I....Pages 263-274 Integration II....Pages 275-284 Uneigentliche Integrale....Pages 285-290 Separierbare und lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung....Pages 291-299 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten....Pages 300-312 Einige besondere Typen von Differentialgleichungen....Pages 313-323 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen I....Pages 324-333 Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen....Pages 334-343 Basistransformation....Pages 344-351 Diagonalisierung – Eigenwerte und Eigenvektoren....Pages 352-364 Numerische Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren....Pages 365-376 Quadriken....Pages 377-386 Schurzerlegung und Singulärwertzerlegung....Pages 387-397 Die Jordannormalform I....Pages 398-406 Die Jordannormalform II....Pages 407-416 Definitheit und Matrixnormen....Pages 417-427 Funktionen mehrerer Veränderlicher....Pages 428-437 Partielle Differentiation – Gradient, Hessematrix, Jacobimatrix....Pages 438-449 Anwendungen der partiellen Ableitungen....Pages 450-459 Extremwertbestimmung....Pages 460-469 Extremwertbestimmung unter Nebenbedingungen....Pages 470-481 Totale Differentiation, Differentialoperatoren....Pages 482-490 Implizite Funktionen....Pages 491-499 Koordinatentransformationen....Pages 500-510 Kurven I....Pages 511-518 Kurven II....Pages 519-526 Kurvenintegrale....Pages 527-534 Gradientenfelder....Pages 535-542 Bereichsintegrale....Pages 543-551 Die Transformationsformel....Pages 552-558 Flächen und Flächenintegrale....Pages 559-566 Integralsätze I....Pages 567-573 Integralsätze II....Pages 574-582 Allgemeines zu Differentialgleichungen....Pages 583-588 Die exakte Differentialgleichung....Pages 589-594 Lineare Differentialgleichungssysteme I....Pages 595-603 Lineare Differentialgleichungssysteme II....Pages 604-609 Lineare Differentialgleichungssysteme III....Pages 610-620 Randwertprobleme....Pages 621-628 Grundbegriffe der Numerik....Pages 629-634 Fixpunktiteration....Pages 635-643 Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme....Pages 644-651 Optimierung....Pages 652-657 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen II....Pages 658-666 Fourierreihen – Berechnung der Fourierkoeffizienten....Pages 667-679 Fourierreihen – Hintergründe, Sätze und Anwendung....Pages 680-688 Fouriertransformation I....Pages 689-696 Fouriertransformation II....Pages 697-705 Diskrete Fouriertransformation....Pages 706-715 Die Laplacetransformation....Pages 716-730 Holomorphe Funktionen....Pages 731-740 Komplexe Integration....Pages 741-751 Laurentreihen....Pages 752-759 Der Residuenkalkül....Pages 760-768 Konforme Abbildungen....Pages 769-776 Harmonische Funktionen und das Dirichlet’sche Randwertproblem....Pages 777-786 Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung....Pages 787-794 Partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung – Allgemeines....Pages 795-802 Die Laplace- bzw. Poissongleichung....Pages 803-810 Die Wärmeleitungsgleichung....Pages 811-818 Die Wellengleichung....Pages 819-825 Back Matter....Pages 827-838