Historische, logische und individuelle Genese der Trigonometrie aus didaktischer Sicht

In diesem Open-Access-Buch führt Valentin Katter eine umfassende didaktisch orientierte Sachanalyse unter historisch-, logisch-, und individualgenetischen Gesichtspunkten durch, mit der es ihm möglich ist, systematisch sechs Grundvorstellungen zum Sinusbegriff zu identifizieren. Anhand detaillierter Videoanalysen zeigt der Autor anschließend, wie diese Grundvorstellungen genutzt werden können, um Denkprozesse von Lehramtsstudierenden in kooperativen Problemlösesituationen zu rekonstruieren. Diese Rekonstruktionen gewähren einen Einblick in das komplexe individuelle Netz von Vorstellungen und ermöglichen es, das Potential und mögliche Hindernisse, die in ihm stecken, auszuloten. Geleitwort Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis 1 Einleitung 1.1 Hintergrund der Arbeit 1.2 Ziele der Arbeit 1.3 Gliederung der Arbeit 2 Stand der didaktischen Forschung zur Trigonometrie 2.1 Didaktische Forschung 2.2 Didaktische Studien zur Trigonometrie 2.2.1 Brown – Verstehensmodell 2.2.2 Weber – Prozept 2.2.3 Burch – trigonometrische Schemata 2.2.4 Fi – fachliches und fachdidaktisches Wissen und die geplante Umsetzung der Inhalte im Unterricht 2.2.5 Frohn und Salle – Grundvorstellungen 2.3 Forschungsdesiderata 3 Konzeptioneller Rahmen der theoretischen Analyse 3.1 Darstellungen mathematischer Objekte 3.2 Grundvorstellungen 3.3 Die didaktisch orientierte Sachanalyse 3.4 Das genetische Prinzip 4 Didaktisch orientierte Sachanalyse der Trigonometrie 4.1 Zur Geschichte der Trigonometrie im mathematischen Unterricht 4.2 Historische Genese der Trigonometrie 4.2.1 Tabellarische Übersicht 4.2.2 Ahmes – Papyrus Rhind (1650 vor Chr.) 4.2.3 Thales von Milet (634–548 vor Christus) 4.2.4 Aristarch von Samos (310–230 vor Chr.) 4.2.5 Hipparch von Nicäa (um 190 v Chr.) 4.2.6 Ptolemäus (um 160 n. Chr.) 4.2.7 Berechnung der Sehnentafeln 4.2.8 Aryabhata (um 500 n. Chr.) 4.2.9 Aryabathas Berechnung der Sehnentafel 4.2.10 Joost Bürgi (um 1588 n. Chr.) 4.3 Logische Genese der Trigonometrie 4.3.1 Fachliche Charakterisierungen 4.3.2 Zusammenhänge zwischen den fachlichen Charakterisierungen 4.3.3 Die Ableitung der Sinusfunktion 4.4 Anwendungskontexte der Trigonometrie 4.4.1 Fourieranalyse 4.4.2 Schwingungen und Wellen 4.4.3 Rundfunk 4.4.4 Die schiefe Ebene 4.4.5 Sternenparallaxe 4.4.6 Innermathematische Anwendungskontexte 4.4.7 Polarkoordinaten 4.5 Darstellungen der Sinusfunktion 4.6 Grundvorstellungen zum Sinus 4.6.1 Die Seitenverhältnisvorstellung 4.6.2 Die Projektionsvorstellung 4.6.3 Die Referenzdreiecksvorstellung 4.6.4 Die Koordinatenvorstellung 4.6.5 Die Oszillationsvorstellung 4.6.6 Die Funktionsvorstellung 4.6.7 Ausbildung funktionsklassenspezifischer Grundvorstellungen 5 Konzeptioneller Rahmen der empirischen Untersuchung 5.1 Forschungsfragen 5.2 Konzeption der Studie 6 Auswertung der empirischen Untersuchung 6.1 Aufgabe 1: Dynamische Argumentation am rechtwinkligen Dreieck 6.1.1 Janine und Tim – Rechtwinklige Dreiecke und Sinusfunktionen 6.1.2 Max und David – Grenzwertprozesse am rechtwinkligen Dreieck 6.1.3 Zusammenfassung – Aufgabe 1 6.2 Aufgabe 2: Das Referenzdreieck im Einheitskreis 6.2.1 Janine und Tim – Hürden beim Deutungswechsel vom Dreieck zum Einheitskreis 6.2.2 Larissa und Veronika – Umgang mit dem Referenzdreieck 6.2.3 Zusammenfassung – Aufgabe 2 6.3 Aufgabe 3: Modellierung periodischer Prozesse 6.3.1 Alexander und Lisa – Modellierung periodischer Prozesse 6.3.2 Jana und Melanie – Manipulationen am Funktionsgraphen 6.3.3 Zusammenfassung – Aufgabe 3 6.4 Beantwortung der Forschungsfragen 7 Zusammenfassung und Perspektiven 7.1 Ergebnisse der Arbeit 7.2 Perspektiven 7.2.1 Forschungsperspektiven 7.2.2 Perspektiven für die Unterrichtspraxis Literaturverzeichnis