Groupes algébriques semi-simples en dimension cohomologique ≤2: Semisimple algebraic groups in cohomological dimension ≤2 (Lecture Notes in Mathematics, 2238) (French Edition)

La théorie des groupes algébriques sur un corps arbitraire est l’une des branches les plus merveilleuses des mathématiques modernes. Cette monographie porte sur les groupes algébriques semi-simples définis sur un corps k de dimension cohomologique séparable ≤2 et la cohomologie galoisienne d’iceux. La question ouverte la plus importante est la conjecture II de Serre (1962) qui prédit l’annulation de la cohomologie galoisienne d’un groupe semi-simple simplement connexe.Utilisant principalement des techniques de groupes algébriques, on couvre tous les cas connus de la conjecture: les cas classiques (dus à Bayer-Fluckiger and Parimala) ainsi que les avancées sur les cas exceptionnels restants (par exemple de type E8). Ceci s’applique à la classification des groupes semi-simples. __The theory of algebraic groups over arbitrary fields is one of the most beautiful branches of modern mathematics. This monograph deals with semisimple algebraic groups over a general field k of separable cohomological dimension ^ to Bayer-Fluckiger and Parimala), and some perspectives are given on the remaining exceptional cases (e.g., G of type E8). Applications to the classification of semisimple k-groups are presented.__ Préface 6 Acknowledgements 9 Note to the English Reader 10 Introduction 11 Table des matières 16 1 Généralités 20 1.1 Théorie de Galois 20 1.1.1 Corps l-spéciaux 20 1.1.2 Restriction des scalaires à la Weil 21 1.1.3 Cohomologie galoisienne non abélienne 21 1.1.4 Algèbres étales et algèbres galoisiennes 23 1.1.5 Caractères 23 1.1.6 Algèbres simples centrales 24 1.1.7 Algèbres simples centrales cycliques 24 1.2 Groupes algébriques affines 25 1.2.1 Groupes diagonalisables et groupes de type multiplicatif 25 1.2.2 Tores 26 1.3 Cohomologie galoisienne 27 1.3.1 Dimension cohomologique 27 1.3.2 Cohomologie galoisienne des groupes unipotents déployés 28 1.4 Cohomologie plate 28 1.5 Cohomologie étale, torseurs 29 1.5.1 Torseurs 29 1.5.2 Tores flasques 29 1.6 R-équivalence 30 1.6.1 Définition 30 1.6.2 Deux variantes: la R0 et la R1-équivalence 32 1.6.3 Un exemple 34 2 Groupes réductifs 36 2.1 Définitions 36 2.1.1 Groupes unipotents et résolubles 36 2.1.2 Radicaux 36 2.1.3 Sous-groupes paraboliques 38 2.1.4 Sous-groupes de Borel, couples de Killing 39 2.1.5 Systèmes de racines relatifs 39 2.2 Classification par la cohomologie galoisienne 40 2.2.1 L'invariant * 40 2.2.2 Formes intérieures et fortement intérieures 40 2.2.3 Cohomologie galoisienne et sous-groupes paraboliques 41 2.2.4 Classes de Tits 41 2.3 Sous-groupes réductifs de rang maximal 43 2.3.1 Sous-groupes maximaux 43 2.3.2 Construction de GS,T 44 2.3.3 Intersection de groupes paraboliques 45 2.4 Résolutions flasques 46 Notes 46 3 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement 47 3.1 Plongements de sous-groupes de type multiplicatif et leurs centralisateurs 47 3.1.1 Lissité des centralisateurs, sous-groupes toraux 47 3.1.2 Coordonnées de Kac 49 3.1.3 Points fixes sur la variété des couples de Killing 54 3.2 Existence de sous-groupes, méthode de Harder 57 3.2.1 Intersection générique de sous-groupes paraboliques 57 3.2.2 Descente d'intersection transversale de sous-groupes paraboliques 58 3.2.3 L'exemple du groupe linéaire 59 3.2.4 Cas quadratique 60 3.2.5 Cas cubique 62 3.2.6 Le cas parfait 64 3.2.7 Construction de sous-groupes par la cohomologie galoisienne 64 3.3 Déploiement des groupes semi-simples 66 3.4 Quasi-déploiement et 0-cycles de degré 1 68 Notes 71 4 Dimension cohomologique séparable 72 4.1 Groupes de normes séparables, cas des variétés de Severi-Brauer 72 4.2 Rappels de cohomologie galoisienne 77 4.3 Groupes de cohomologie galoisienne modifiés de Kato 78 4.4 Globalisation 81 4.5 Dimension cohomologique séparable 82 4.6 Caractérisation des corps de dimension cohomologique séparable ≤1 83 4.7 Caractérisation des corps de dimension cohomologique séparable ≤2 86 4.8 Conjectures I et II de Serre, le type A intérieur 88 5 Tores algébriques, Conjecture I et groupes de normes 91 5.1 Rappels sur les groupes algébriques et leurs tores maximaux 91 5.2 Classes de conjugaison rationnelles, application à la conjecture i 93 5.3 Groupes de normes des variétés de sous-groupes de Borel 97 5.4 Conjecture II, normes et isogénies 97 5.5 Classes provenant de sous-groupes diagonalisables 100 5.6 Application à la descente quadratique 102 5.7 Sur la R1-équivalence 104 Notes 105 6 Conjecture II, le cas quasi-déployé 106 6.1 Groupes classiques quasi-déployés 106 6.2 Groupes exceptionnels quasi-déployés 107 7 Groupes classiques 110 7.1 Formes bilinéaires et quadratiques 110 7.1.1 Formes quadratiques de Pfister 111 7.1.2 Algèbres de Clifford 111 7.1.3 Le théorème de Sivatski 113 7.1.4 Dimension cohomologique séparable en 2 115 7.1.5 Autres formes quadratiques 117 7.1.6 Le cas de type B et des groupes de spineurs 118 7.2 Le cas symplectique 119 7.3 Le cas unitaire (type 2An-1) 121 7.4 Le cas de type D 122 7.4.1 Paires quadratiques et leurs relèvements hermitiens 122 7.4.2 Classification 130 7.4.3 Produit tensoriel 132 7.4.4 Cas où D est une k-algèbre de biquaternions 133 Notes 134 8 Groupes exceptionnels 135 8.1 Cas trialitaire 135 8.1.1 Quaternions et trialité 136 8.1.2 Application à la conjecture II 141 8.2 Type E6 142 8.2.1 Algèbres de degré 3 143 8.2.2 Application à la conjecture II 145 8.3 Type E7 146 8.3.1 Groupes de type E7, quaternions 146 8.3.2 Le résultat principal 147 8.3.3 Une stratégie possible 149 8.4 Type E8 151 9 Applications 156 9.1 Petits indices 156 9.2 Corps C'2 157 9.3 Élucubrations autour de E8 158 9.3.1 Question d'injectivité de Serre 158 9.3.2 Question de Bogomolov 158 9.3.3 Groupes presque abéliens 159 9.4 Classification des groupes semi-simples 160 9.5 Autres résultats 161 9.5.1 La R-équivalence 161 9.5.2 Sous-groupes unipotents 161 Appendice : Indices de Tits 162 Bibliographie 170 Index 179 La théorie des groupes algébriques sur un corps arbitraire est l’une des branches les plus merveilleuses des mathématiques modernes. Cette monographie porte sur les groupes algébriques semi-simples définis sur un corps k de dimension cohomologique séparable ≤2 et la cohomologie galoisienne d’iceux. La question ouverte la plus importante est la conjecture II de Serre (1962) qui prédit l’annulation de la cohomologie galoisienne d’un groupe semi-simple simplement connexe. Utilisant principalement des techniques de groupes algébriques, on couvre tous les cas connus de la conjecture: les cas classiques (dus à Bayer-Fluckiger and Parimala) ainsi que les avancées sur les cas exceptionnels restants (par exemple de type E8). Ceci s’applique à la classification des groupes semi-simples. The theory of algebraic groups over arbitrary fields is one of the most beautiful branches of modern mathematics. This monograph deals with semisimple algebraic groups over a general field k of separable cohomological dimension ^ to Bayer-Fluckiger and Parimala), and some perspectives are given on the remaining exceptional cases (e.g., G of type E8). Applications to the classification of semisimple k-groups are presented. Front Matter ....Pages i-xxii Généralités (Philippe Gille)....Pages 1-16 Groupes réductifs (Philippe Gille)....Pages 17-27 Sous-groupes des groupes algébriques, déploiement (Philippe Gille)....Pages 29-53 Dimension cohomologique séparable (Philippe Gille)....Pages 55-73 Tores algébriques, Conjecture I et groupes de normes (Philippe Gille)....Pages 75-89 Conjecture II, le cas quasi-déployé (Philippe Gille)....Pages 91-94 Groupes classiques (Philippe Gille)....Pages 95-119 Groupes exceptionnels (Philippe Gille)....Pages 121-141 Applications (Philippe Gille)....Pages 143-148 Back Matter ....Pages 149-169