Геометрия. Теория изображений: учебное пособие для бакалавров направлений подготовки: 44.03.01 "Педагогическое образование", 44.03.05 "Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки)": текстовое электронное издание

ПРЕДИСЛОВИЕ 1. МОДУЛЬНО-РЕЙТИНГОВАЯ СИСТЕМА ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ 1.1. Модульная структура дисциплины 1.2. Базовые модули дисциплины 1.3. Дидактическая структура модуля “Теория изображений” 1.4. Технологическая карта модуля “Теория изображений” 1.5. Результаты обучения по модулю “Теория изображений” 1.5.1. Результаты обучения по дисциплине “Геометрия” (в компетенциях) 1.5.2. Характеристики уровней сформированности компетенций по модулю “Теория изображений” 1.5.3. Критерии оценки учебной деятельности студента по модулю “Теория изображений” 1.5.4. Лист рейтинг-контроля по модулю “Теория изображений” 2. ТЕОРИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ: ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ, ПОНЯТИЯ, ТЕОРЕМЫ 2.1. Изображение плоских и пространственных фигур 2.1.1. Определение центрального и параллельного проектирования на плоскость. Ортогональное проектирование 2.1.2 Свойства параллельного проектирования 2.1.3. Изображение плоских фигур в параллельной проекции 2.1.4. Изображение пространственных фигур в параллельной проекции 2.1.5. Построение изображений плоских и пространственных фигур с помощью графического редактора и в программах интерактивной геометрии 2.1.5.1. Построение изображений плоских и пространственных фигур в векторном графическом редакторе 2.1.5.2. Изображение геометрических фигур в программе интерактивной геометрии Kig Рис. 36. Добавление надписи Проиллюстрируем теорему Наполеона: если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников – тоже равносторонний (рис. 37). Для построения треугольников применим команду Объект – Многоугольник – Равносторонний треугольник. Которые строятся аналогично окружности по двум точкам. В данном случае по двум точкам мы строим равносторонний треугольник. Треугольник с вершинами в це... Доказательство леммы. Пусть P – точка пересечения окружностей, описанных около треугольников BCY и CAZ. а) Предположим, что точка P лежит внутри треугольника Δ ABC. Тогда из свойства вписанного четырехугольника вытекает, что углы BPC и CPA равны 120o Следовательно, угол APB=120o точка P лежит также на окружности, описанной около Δ ABX. Обозначим через M, N и K центры равносторонних треугольников Δ ABX, Δ BCY и Δ CAZ соответственно (рис. 38). Прямая, соединяющая центры пересекающихся окружностей, перпендикулярна их общей хорде. Отсюда следует, что MN перпендикулярнa BP, NK перпендику... Рис. 38. Доказательство теоремы б) Пусть теперь Р лежит на самом треугольнике (см. рисунок 37). Очевидно, тогда Р совпадает с вершиной С и в данном треугольнике угол ВСА=120o, и это обеспечивает принадлежность точки Р окружности, описанной около Δ АВХ. т. е. лемма верна. Для доказательства теоремы в этом случае достаточно увидеть, что угол КМС из Δ МСО равен 60 o Аналогично, угол СNВ равен 60o. В итоге получаем равносторонний Δ MNK. Теорема доказана. Таким образом, программа Kig включает больший функционал, ориентированный на создание геометрических изображений. В то же время необходимо отметить сложность установки программы, а также использование ее только для решения задач планиметрии. 2.1.5.3. Построение плоских и пространственных фигур в компьютерной программе GeoGebra Рис. 39. Инструменты построения точек, прямых и отрезков, многоугольников Рис. 40. Диалоговое окно задания вершин Результат построения представлен на рисунке 41. Аналогично происходит построение планиметрических чертежей с использованием соответствующих инструментов. Рис. 41. Интерфейс программы GeoGebra Решим задачу планиметрии, чертеж к которой создадим в программе GeoGebra (рис. 42). Задача: Найти отношение большего к меньшему радиусов двух внешне касающихся кругов, если угол между их общими касательными равен 60 . Рис. 42. Чертеж к задаче планиметрии Решение: DC=DF – касательные, AC=r2, IJ=r1 (r2 > r1) – радиусы касающихся кругов, AC┴CD, GI┴CD, (CDF = 60 , (CDA = 30 . Проведем LI || AD, тогда из Δ LCI ,LC-LI.=,,r-2.−,r-1.-,r-2.+,r-1..=,sin-,30-0..=,1-2.=>2,,,r-2.-,r-1..−1.= ,,r-2.-,r-1..+1=> ,,r-2.-,r-1..=3 2.1.5.4. Построение плоских и пространственных фигур в компьютерной программе «Живая геометрия» 2.2. Позиционные задачи стереометрии 2.2.1. Понятие проекционного чертежа. Требования, предъявляемые к проекционному чертежу 2.2.2. Полные и неполные изображения 2.2.3. Основные позиционные задачи, решаемые на проекционном чертеже 2.2.4. Сечения фигур. Методы построения сечений многогранников и круглых тел 2.2.4.1. Метод следа 2.2.4.2. Метод внутреннего проектирования 2.2.4.3. Комбинированный метод 2.2.5. Построение сечений многогранников в компьютерной программе “Живая математика” 2.2.6. Построение сечений многогранников и круглых тел в компьютерной программе GeoGebra 2.2.7. Проектирование моделей многогранников и круглых тел в компьютерной программе TINKERCAD 2.3. Метрические задачи геометрии, решаемые на проекционном чертеже 2.3.1. Особенности метрической задачи, решаемой на проекционном чертеже 2.3.2. Метрические задачи планиметрии 2.3.3. Метрические задачи стереометрии 2.3.4. Построение перпендикуляра из точки к прямой и плоскости в пространстве 2.3.5. Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых 2.3.6 Вычисление элементов многогранников и круглых тел на полных чертежах 3. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МОДУЛЮ “ТЕОРИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ” 3.1. Варианты контрольной работы по модулю “Теория изображений” 3.2. Образец решения варианта контрольной работы 3.3. Требования к выполнению и оформлению контрольной работы 4. КЕЙС-ЗАДАНИЯ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИИ ПРОЕКТНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТУДЕНТОВ ПО МОДУЛЮ “ТЕОРИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ” 4.1. Особенности кейс-метода 4.2. Кейс-задания по теме “Вычисление элементов многогранников и круглых тел на полных чертежах” 4.3. Методические указания к выполнению кейс-заданий 4.3.1. Этапы выполнения кейс-задания 4.3.2. Образец выполнения кейс-задания в стиле “Презентация” 4.3.3. План-график выполнения кейс-задания 4.3.4. Критерии оценивания работы 5. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО МОДУЛЮ “ТЕОРИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ” БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Приложение