Geometrie und GPS : Mathematische, physikalische und technische Grundlagen der Satellitenortung verständlich erklärt

Als am 4. Oktober 1957 der erste Satellit in eine Erdumlaufbahn gebracht wurde, dachte noch niemand an eine Positionsbestimmung mit Hilfe von Satelliten, und doch war „Sputnik I“ der Wegbereiter der heutigen Satellitennavigationssysteme. Ursprünglich als rein militärische Anwendung konzipiert, wird die Satellitenortung heute überwiegend zivil genutzt, und neben dem amerikanischen GPS gibt es heute mit Galileo, Glonass und Beidou weitere gleichartige Systeme. Das grundsätzliche Funktionsprinzip der Satellitenortung kann man überall nachlesen – aber damit beginnen erst die wirklich interessanten Fragen: Woher kennt man den genauen Standort der Satelliten? Wie kann man exakte Entfernungen zu Satelliten bestimmen, die über 20.000 km entfernt sind? Warum nennt man diese Entfernungen „Pseudoentfernungen“? Wieso werden an Bord der Satelliten Atomuhren mitgeführt? Was ermöglicht einem Empfänger, die empfangenen Daten zu unterscheiden, wo doch alle Satelliten auf ein und derselben Frequenz senden? Wie kann man aus den Entfernungen und den Satellitenorten die Empfängerposition berechnen? Warum taugt das Kugelmodell der Erde nicht für eine exakte Positionsbestimmung? Was ist, wenn Daten von mehr als den benötigten vier Satelliten zur Verfügung stehen? Warum sind sogar relativistische Effekte zu berücksichtigen? Dieses Buch gibt nicht nur verständliche und erschöpfende Antworten auf diese und viele weitere Fragen, sondern ermöglicht es interessierten Leserinnen und Lesern, die notwendigen Berechnungen von der Datengewinnung bis hin zur verblüffend exakten Positionsbestimmung mit Hilfe des Computer-Algebra-Systems Maxima Schritt für Schritt selbst nachzuvollziehen. Nicht zuletzt liefert es eine überzeugende Antwort auf die allgegenwärtige Frage von Schülern und Studierenden, wozu man denn all die Geometrie, Analysis und lineare Algebra überhaupt benötigt. Schließlich greift das Buch über die Mathematik hinaus Themen aus der Physik, der Astronomie, der Nachrichtentechnik und der Datenverarbeitung auf und motiviert so zu einer spannenden Anwendung innerhalb des MINT-Bereichs. Vorwort Hinweis der Herausgeber Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 Verwendung von Maxima 2.1 Erste Schritte in Maxima 2.2 Listen in Maxima 2.2.1 Listen erstellen und auf Elemente zugreifen 2.2.2 Listenverarbeitung 2.3 Lineare Algebra mit Maxima 2.3.1 Erstellen von Vektoren und Matrizen 2.3.2 Operieren mit Vektoren und Matrizen 2.4 Erstellen eigener Funktionen 2.4.1 Winkel im Grad- und Bogenmaß 2.4.2 Berechnung des Hauptwerts 2.4.3 Bestimmung der Differenznorm 2.4.4 Die Funktion check_t() 2.5 Anlegen einer Makrobibliothek 3 NAVSTAR GPS 3.1 Die Anfänge 3.2 Das Prinzip und die Probleme 3.2.1 Verwendete Frequenzen 3.2.2 Satellitendaten 3.2.3 Datencodierung 3.2.4 Die Ortsbestimmung 3.2.5 Eliminierung des Laufzeitproblems 3.2.6 Das Intermezzo der Selective Availability 3.2.7 Satellitenbahnen 3.3 Das NAVSTAR-System 4 Zeitangaben im GPS 4.1 Zeitmessung 4.1.1 Eine kleine Uhrengeschichte 4.1.2 Das Funktionsprinzip einer Atomuhr 4.2 Das julianische Datum 4.3 Die GPS-Zeit 5 Datenübertragung und Entfernungsbestimmung 5.1 Datenstrom von den Satelliten 5.1.1 TLM und HOW 5.1.2 Rahmen und Unterrahmen 5.2 Code-Multiplex-Verfahren 5.3 Generierung des PRN-Codes 5.3.1 Erzeugung von Gold-Codes 5.3.2 Simulation in Maxima 5.3.2.1 Simulation des G1-Registers 5.3.2.2 Simulation des G2-Registers 5.3.2.3 Erzeugung der Gold-Sequenzen 5.3.2.4 Überprüfung der erzeugten Gold-Sequenzen 5.4 Laufzeiten feststellen durch Korrelation 5.4.1 Das Prinzip der Autokorrelation eines Signals 5.4.2 Autokorrelation mehrerer Signale 5.4.3 Autokorrelation zweier Signale in Maxima 5.4.4 Autokorrelation mehrerer Signale in Maxima 5.4.5 Korrelation der G2-Codes 5.5 Zweck der Autokorrelation 6 GPS-Empfänger und Rohdaten 6.1 Hardware 6.2 Software 6.2.1 Vorarbeiten 6.2.2 Das Programm u-center 6.2.3 Datenanzeige 6.2.4 Datenaufzeichnung 6.2.5 Festhalten des Aufnahmeorts 6.2.6 Speicherung des Almanachs 6.2.7 Das RINEX-Format 6.2.8 teqc 6.2.8.1 Verwendung unter Windows 6.2.8.2 Verwendung auf dem Mac 6.2.9 Beispiel für eine RINEX-Navigationsdatei 6.2.10 Beispiel für eine RINEX-Beobachtungsdatei 6.3 RINEX-Dateien in Maxima einlesen 6.3.1 Einlesen der Navigationsdatei 6.3.2 Einlesen der Beobachtungsdatei 7 RINEX-Daten in Maxima einbinden 7.1 Navigationsdaten konvertieren 7.1.1 Ephemeriden-Datensatz auslesen 7.2 Beobachtungsdaten konvertieren 7.2.1 Überprüfung der vorhandenen GPS-Satelliten 7.2.2 Pseudoentfernung auslesen 7.2.3 GPS-Zeit auslesen 7.2.4 Beobachtungsliste erstellen 7.2.5 Daten automatisiert einlesen 7.3 Zugriff auf einzelne Daten der Beobachtungsdatei 8 Beschreibung von Satellitenbahnen 8.1 Kepler-Gesetze 8.2 Beziehungen an der Ellipse 8.2.1 Definition 8.2.2 Herleitung der Ellipsengleichung 8.2.3 Lineare und numerische Exzentrizität 8.2.4 Der Formparameter p 8.2.5 Die Ellipse als affines Bild des Kreises 8.3 Ellipsen als Planetenbahnen 8.3.1 Anomalien der Planetenbahn 8.3.2 Polargleichung der Planetenbahn 8.3.3 Zusammenhang zwischen wahrer und exzentrischer Anomalie 8.3.4 Die mittlere Anomalie M 8.3.5 Herleitung der Kepler-Gleichung 8.4 Ephemeriden 8.5 Ephemeriden in Maxima darstellen 9 Bestimmung der Satellitenposition 9.1 Benötigte Konstanten 9.1.1 Der Gravitationsparameter 9.1.2 Die Rotationsgeschwindigkeit der Erde 9.2 Bestimmung der für die Kepler-Gleichung benötigten Werte 9.3 Lösung der Kepler-Gleichung 9.4 Berechnung der wahren Anomalie 9.5 Korrekturen anbringen 9.6 Kartesische Koordinaten der Satellitenposition 9.7 Länge des aufsteigenden Knotens bestimmen 9.8 ECEF-Koordinaten bestimmen 9.8.1 Geozentrisches Koordinatensystem 9.8.2 Satellitenort in ECEF-Koordinaten 9.9 Maxima-Funktion zur Bestimmung des Satellitenorts 9.10 Bahndaten überprüfen 10 Der Almanach 10.1 Einlesen des Almanachs in Maxima 10.2 Positionsbestimmung mit dem Almanach 10.2.1 Veränderung der Funktion satpos() 10.2.2 Vergleich der Ergebnisse 10.3 Verteilung der Satelliten 10.3.1 Erste Darstellung der Satellitenpositionen 10.3.2 Umrechnung von ECEF-Koordinaten in Polarkoordinaten 10.3.3 Darstellung der Satellitenpositionen in der Ebene 10.3.4 Überprüfung der Satellitenbahnen 10.4 Parameterdarstellung von Kreisen 10.4.1 Parameterdarstellung von Kreisen in der Ebene 10.4.2 Parameterdarstellung von Kreisen im Raum 10.5 Affine Abbildungen und Abbildungsmatrizen 10.5.1 Kartesisches und affines Koordinatensystem 10.5.2 Berechnung affiner Koordinaten 10.5.3 Spezielle Abbildungsmatrizen 10.5.4 Die Drehmatrix 10.6 Darstellung aller Satellitenbahnen 11 Positionsbestimmung mit vier Satelliten 11.1 Entfernung vom Empfänger zu den Satelliten 11.2 Taylor-Reihen 11.2.1 Erste Näherung 11.2.2 Zweite Näherung 11.2.3 Dritte Näherung 11.2.4 Vierte Näherung und Verallgemeinerung 11.2.5 Anwendungen 11.2.6 Taylor-Reihen in Maxima 11.2.7 Taylor mehrdimensional 11.3 Linearisierung 11.4 Rechnerische Bestimmung mit vier Datensätzen 11.4.1 Überprüfung der Daten 11.4.2 Eine erste Funktion zur Positionsbestimmung 11.5 Berechnung mit den Daten anderer Satelliten 11.5.1 Variation durch Veränderung der Schleife 11.5.2 Darstellung der Position in Google Maps 11.5.3 Auswertung aller Satellitenkombinationen 12 Verbesserte Zeitbestimmung 12.1 Aussendezeit des Signals 12.2 Gangabweichung der Satellitenuhr 13 Die Methode der kleinsten Quadrate 13.1 Grundlagen 13.1.1 Geometrischer Ansatz 13.1.2 Rechnerische Bestimmung bei einer Proportionalität 13.1.3 Grafische Bestimmung bei einer Linearität 13.1.4 Bestimmung der Lösung mit Excel 13.1.5 Berechnung der Lösung 13.1.6 Bestimmung mit Maxima 13.1.7 Näherung mithilfe der linearen Algebra 13.2 Rechnerische Durchführung 14 Verbesserung des verwendeten Erdmodells 14.1 Die Erde als Rotationsellipsoid 14.2 Das Newton’sche Näherungsverfahren 14.2.1 Prinzip 14.2.2 Iteration 14.2.3 Wurzelbestimmung mit dem Newton-Verfahren 14.2.4 Die mehrdimensionale Newton-Näherung 14.2.5 Newton mit Maxima 14.3 Anwendung des Newton’schen Näherungsverfahrens 14.4 Erzielte Verbesserung 15 Berücksichtigung der Erddrehung 15.1 Ausmaß der Erddrehung 15.2 Korrektur der Erddrehung 16 Relativistische Korrektur 16.1 Kurzer Einschub zur Relativitätstheorie 16.1.1 Spezielle Relativitätstheorie 16.1.2 Allgemeine Relativitätstheorie 16.1.3 Berücksichtigung der relativistischen Effekte 16.2 Relativistische Korrektur 16.3 Auswertung aller Beobachtungszeitpunkte 17 Skyplot 17.1 Skyplot-Grundlagen 17.1.1 Bestimmung der Elevation 17.1.2 Bestimmung des Azimuts 17.2 Ein Skyplot in Maxima 17.2.1 Vorarbeiten 17.2.2 Berechnung der Elevation 17.2.3 Berechnung des Azimuts 17.2.4 Maxima-Funktion für Azimut und Elevation 17.2.5 Darstellung des Satellitenorts Bisher erschienene Bände der Reihe Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II Literatur Stichwortverzeichnis