Geometrie der Raumzeit : Eine mathematische Einführung in die Relativitätstheorie

Dieses Lehrbuch entwickelt systematisch die mathematischen Grundlagen der Relativitätstheorie und verbindet diese mit den physikalischen Beziehungen. Dafür wird zuerst die Differentialgeometrie auf Mannigfaltigkeiten eingeführt, einschließlich der Differentiation und Integration, und die Spezielle Relativitätstheorie wird als Tensorrechnung auf den Tangentialräumen dargestellt. Mit den Einstein'schen Feldgleichungen, die die Krümmung zur Materie in Beziehung setzen, werden ausführlich die relativistischen Effekte im Sonnensystem einschließlich der Schwarzen Löcher behandelt. In der vorliegenden sechsten Auflage wurde ein Ausblick auf die Stringtheorie ergänzt, der die in der Stringtheorie benötigten Modifikationen von Rechnungen der Relativitätstheorie vorstellt. Der Text richtet sich an Studierende der Physik und der Mathematik und setzt nur Grundkenntnisse aus der klassischen Differential- und Integralrechnung und der Linearen Algebra voraus. Vorwort zur sechsten Auflage 5 Vorwort zur fünften Auflage 6 Vorwort zur vierten Auflage 7 Vorwort zur zweiten und dritten Auflage 8 Vorwort zur ersten Auflage 9 Einführung 10 Inhaltsverzeichnis 19 1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 22 1.1 Karten und Atlanten 22 1.2 Topologisierung 26 1.3 Untermannigfaltigkeiten von Rm 29 2 Tangentenvektoren 34 2.1 Der Tangentialraum 34 2.2 Erzeugung von Tangentenvektoren 36 2.3 Vektorfelder 40 2.4 Die Lie-Klammer 41 3 Tensoren 45 3.1 Einführung 45 3.2 Multilinearformen 46 3.3 Komponenten 49 3.4 Operationen mit Tensoren 51 3.5 Tensoren auf euklidischen Räumen 54 4 Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten 58 4.1 Tensorfelder 58 4.2 Riemannsche Mannigfaltigkeiten 61 4.3 Bilinearformen 62 4.4 Orientierung 67 4.5 Raumzeit 70 5 Spezielle Relativitätstheorie 74 5.1 Kinematik 74 5.2 Dynamik 80 5.3 Elektrodynamik 83 6 Differentialformen 86 6.1 p-Formen 86 6.2 Das Keilprodukt 88 6.3 Der Hodge-Stern-Operator 90 6.4 Äußere Differentiation 95 6.5 Die Maxwell-Gleichungen im Vakuum 102 7 Die kovariante Ableitung von Vektorfeldern 106 7.1 Die Richtungsableitung in Rn 106 7.2 Der Levi-Civita-Zusammenhang 107 7.3 Christoffel-Symbole 109 7.4 Kovariante Ableitung auf Hyperflächen 111 7.5 Die kovariante Ableitung in der Schwarzschild-Raumzeit 115 8 Krümmung 117 8.1 Der Krümmungstensor 117 8.2 Die Weingarten-Abbildung 121 8.3 Der Ricci-Tensor 127 8.4 Die Krümmung der Schwarzschild-Raumzeit 129 8.5 Zusammenhangsformen und Krümmungsformen 131 9 Materie 139 9.1 Masse 139 9.2 Energie und Impuls einer Strömung 141 9.3 Der Energie-Impuls-Tensor 144 9.4 Ladung 148 9.5 Energie und Impuls im elektromagnetischen Feld 150 9.6 Die Einsteinsche Feldgleichung 155 9.7 Kugelsymmetrische Lösungen 156 9.8 Äußere und innere Schwarzschild-Metrik 160 10 Geodäten 165 10.1 Zeit 165 10.2 Die Euler-Lagrange-Gleichungen 168 10.3 Die Geodätengleichung 170 10.4 Die geodätische Abweichung 174 10.5 Periheldrehung 179 10.6 Lichtablenkung 184 10.7 Rotverschiebung 186 11 Kovariante Differentiation von Tensorfeldern 188 11.1 Paralleltransport von Vektoren 188 11.2 Paralleltransport von Tensoren 192 11.3 Rechenregeln und Komponentendarstellung 194 11.4 Die zweite Bianchi-Identität 198 11.5 Divergenz 199 12 Die Lie-Ableitung 202 12.1 Der Fluss und seine Tangenten 202 12.2 Pull-back und Push-forward 204 12.3 Axiomatischer Zugang 209 12.4 Die Ableitungsformel 211 12.5 Komponentendarstellung 213 12.6 Killing-Vektoren 214 12.7 Die Lie-Ableitung von Differentialformen 216 13 Integration auf Mannigfaltigkeiten 218 13.1 Einführung 218 13.2 Zerlegung der Eins 220 13.3 Integrale 224 13.4 Berandete Mannigfaltigkeiten 227 13.5 Integralsätze 229 13.6 Extremalprinzipien 231 14 Nichtrotierende Schwarze Löcher 237 14.1 Die Schwarzschild-Halbebene 237 14.2 Optik Schwarzer Löcher 243 14.3 Die Kruskal-Ebene 247 15 Kosmologie 252 15.1 Räume konstanter Krümmung 252 15.2 Die Robertson-Walker-Metrik 258 15.3 Weltmodelle 262 16 Rotierende Schwarze Löcher 267 16.1 Die Kerr-Metrik 267 16.2 Andere Darstellungen der Kerr-Metrik 271 16.3 Kausale Struktur 274 16.4 Kovariante Ableitung und Krümmung 276 16.5 Erhaltungssätze 280 17 Ausblick auf die Stringtheorie 286 17.1 Quantentheorie kontra Relativitätstheorie 286 17.2 Elementarteilchen als Strings 287 17.3 Das Extremalprinzip 288 Literatur 293 Sachverzeichnis 294 Dieses Lehrbuch entwickelt systematisch die mathematischen Grundlagen der Relativitätstheorie und verbindet diese mit den physikalischen Beziehungen. Dafür wird zuerst die Differentialgeometrie auf Mannigfaltigkeiten eingeführt, einschließlich der Differentiation und Integration, und die Spezielle Relativitätstheorie wird als Tensorrechnung auf den Tangentialräumen dargestellt. Mit den Einstein'schen Feldgleichungen, die die Krümmung zur Materie in Beziehung setzen, werden ausführlich die relativistischen Effekte im Sonnensystem einschließlich der Schwarzen Löcher behandelt. In der vorliegenden sechsten Auflage wurde ein Ausblick auf die Stringtheorie ergänzt, der die in der Stringtheorie benötigten Modifikationen von Rechnungen der Relativitätstheorie vorstellt. Der Text richtet sich an Studierende der Physik und der Mathematik und setzt nur Grundkenntnisse aus der klassischen Differential- und Integralrechnung und der Linearen Algebra voraus. Der Inhalt Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Tangentenvektoren - Tensoren - Semi-Riemann'sche Mannigfaltigkeiten - Spezielle Relativitätstheorie - Differentialformen - Kovariante Ableitung von Vektorfeldern - Krümmung - Materie - Geodäten - Kovariante Differentiation von Tensorfeldern - Lie-Ableitung - Integration auf Mannigfaltigkeiten - Nichtrotierende Schwarze Löcher - Kosmologie - Rotierende Schwarze Löcher - Ausblick auf die Stringtheorie Der Autor Dr. rer. nat. Rainer Oloff promovierte und lehrte an der Friedrich-Schiller-Universität Jena im Bereich Analysis, mit Unterbrechungen durch Lehrtätigkeiten an der Addis Abeba University sowie der Universität Salzburg Die Relativitätstheorie ist in ihren Kernaussagen nicht mehr umstritten, gilt aber noch immer als kompliziert und nur schwer verstehbar. Das liegt unter anderem an dem aufwendigen mathematischen Apparat, der schon zur Formulierung ihrer Ergebnisse und erst recht zum Nachvollziehen der Argumentation notwendig ist. In diesem Lehrbuch werden die mathematischen Grundlagen der Relativitätstheorie systematisch entwickelt, das ist die Differentialgeometrie auf Mannigfaltigkeiten einschließlich Differentiation und Integration. Die Spezielle Relativitätstheorie wird als Tensorrechnung auf den Tangentialräumen dargestellt. Die zentrale Aussage der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Einstein'sche Feldgleichung, die die Krümmung zur Materie in Beziehung setzt. Ausführlich werden die relativistischen Effekte im Sonnensystem einschließlich der Schwarzen Löcher behandelt. Dieser Text richtet sich an Studierende der Physik und der Mathematik und setzt nur Grundkenntnisse aus der klassischen Differential- und Integralrechnung und der Linearen Algebra voraus. Für die neue Auflage wurde das Buch durchgesehen und alle bekannt gewordenen Fehler korrigiert. Front Matter ....Pages I-XXVII Differenzierbare Mannigfaltigkeiten (Rainer Oloff)....Pages 1-12 Tangentenvektoren (Rainer Oloff)....Pages 13-23 Tensoren (Rainer Oloff)....Pages 25-37 Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten (Rainer Oloff)....Pages 39-54 Spezielle Relativitätstheorie (Rainer Oloff)....Pages 55-66 Differentialformen (Rainer Oloff)....Pages 67-86 Die kovariante Ableitung von Vektorfeldern (Rainer Oloff)....Pages 87-97 Krümmung (Rainer Oloff)....Pages 99-120 Materie (Rainer Oloff)....Pages 121-146 Geodäten (Rainer Oloff)....Pages 147-169 Kovariante Differentiation von Tensorfeldern (Rainer Oloff)....Pages 171-184 Die Lie-Ableitung (Rainer Oloff)....Pages 185-200 Integration auf Mannigfaltigkeiten (Rainer Oloff)....Pages 201-219 Nichtrotierende Schwarze Löcher (Rainer Oloff)....Pages 221-235 Kosmologie (Rainer Oloff)....Pages 237-251 Rotierende Schwarze Löcher (Rainer Oloff)....Pages 253-271 Ausblick auf die Stringtheorie (Rainer Oloff)....Pages 273-279 Back Matter ....Pages 281-288 Dieser Text richtet sich an Studierende der Physik und der Mathematik und setzt nur Grundkenntnisse aus der klassischen Differential- und Integralrechnung und der Linearen Algebra voraus.Fur die neue Auflage wurde das Buch durchgesehen und alle bekannt gewordenen Fehler korrigiert.