Geometrie

Title page Tabelle, Liste A. Rein geometrische Theorien. B. Grundlagen der Anwendung von Algebra und Analysis auf die Geometrie. (Fortsetzung.) 8. Elementare Geometrie vom Staudpunkte der neueren Analysis aus. Von J. SOMMER in Danzig. (Abgeschlossen Neujahr 1914.) 1. Einleitung. Begrenzung des Stoffes I. Geometrie im engeren Sinne. 2. Analytische Behandlung der Elementargeometrie. Vorbereitung. Orientierte und imaginäre Elemente 3. Algebraische Behandlung der Geometrie, besonders der Dreiecksgeometrie 4. Analytische Behandlung im engeren Sinne 5. Vektorielle Behandlung (insbesondere der Dreiecksgeometrie) I a. Konstruktionen. 6. Geometrische Konstruktionen. Allgemeines 7. Konstruktionen mit dem Lineal 8. Konstruktionen mit Lineal und Zirkel 9. Konstruktionen mit Lineal und Streckenübertrager 10. Existenzfragen und Näherungskonstruktionen 11. Vergleichung der Hilfsmittel 12. Allgemeine Methoden zur Lösung von Aufgaben 13. Praxis der Konstruktionen und Fehlertheorie 14. Nichtelementare Konstruktionen I b. Anwendung der Gruppentheorie. 15. Die Geometrie vom Standpunkt der Gruppentheorie. Hauptgruppe und die zugehörigen Invarianten 16. Die Unterordnung der Elementargeometrie unter die projektive Geometrie. Bedeutung des Kugelkreises 17. Gruppe der reziproken Radien (Inversionen). Das Apollonische Problem 18. Anwendung spezieller Transformationen 19. Polyeder und Polyedergruppen II. Sphärische Trigonometrie. 20. Verschiedene Definitionen des sphärischen Dreiecks. Einteilung der Trigonometrie 21. Kleins Ergänzungsrelationen der sphärischen Trigonometrie 22. Nachbardreiecke und die zugehörigen Substitutionsgruppen 23. Die Formeln der sphärischen Trigonometrie 24. Die Grundformeln für komplexe Argumente, die Figur von Schilling 25. Die Abbildung der dreidimensionalen Mannigfaltigkeit aller sphärischen Dreiecke 26. Orthogonale Substitution. Die Studysche Abbildung der Dreiecksmannigfaltigkeit 27. Zusammenhang der sphärischen Trigonometrie mit den elliptischen Funktionen 9. Elementargeometrie und elementare nicht-euklidische Geometrie in synthetischer Behandlung. Von M. ZACHARIAS in Berlin. (Abgeschlossen Ende 1913.) A. Einleitung. 1. Der Begriff der Elementargeometrie 2. Das Parallelenaxiom. Euklidische und nicht-euklidische Geometrie B. Elementare euklidische Geometrie. I. Allgemeiner Teil. 3. Einleitende Bemerkungen über Grundbegriffe und Grundsätze 4. Die Kongruenz 5. Die Lehre von den Proportionen und der Ähnlichkeit 6. Einfluß der projektiven Geometrie auf die Elementargeometrie 7. Affinität, Ähnlichkeit und Kongruenz als besondere Fälle der Koilineation. Eigenschaften ähnlicher und kongruenter Systeme 8. Der Flächeninhalt der Vielecke. Zerlegungsbeweise 9. Die Schnittpunkte einer Geraden und eines Kreises 10. Umfang und Inhalt des Kreises. Quadrierbare Kreisbogenzweiecke 11. Der Rauminhalt der Vielflache. Endlichgleichheit. Exhaustion 12. Einfluß der analytischen Geometrie auf die Elementargeometrie: Das Vorzeichen der Strecken. Der Möbiussche Inhaltsbegriff für die Ebene und den Raum 13. Rauminhalt und Oberfläche krummflächig begrenzter Körper II. Besonderer Teil. 14. Dreieck 15. Viereck und andere besondere Vielecke 16. Polygonometrie, Polyedrometrie, Transversalentheorie, Lehre vom Schwerpunkt 17. Kreis und Kugel. Schließungsaufgaben, Inversion, Pol und Polare 18. Sphärik. Stereographische Projektion 19. Sphärische Trigonometrie 20. Der Eulersche Polyedersatz 21. Besondere Arten von Vielflacben 22. Kegelschnitte in elementarer Behandlung 23. Konstruktionen mit Lineal und Zirkel 24. Die Kreisteilung, die Aufgaben von Malfatti und Apollonius 25. Konstruktionen mit anderen Hilfsmitteln und unter besonderen Bedingungen 26. Einfachheit und Genauigkeit der Konstruktionen. Geometrographie 27. Näherungsverfahren. Würfel Verdoppelung, Dreiteilung des Winkels, Teilung, Quadratur und Rektifikation des Kreises 28. Maxima und Minima. Die isoperimetrische Aufgabe C. Elementare nicht-euklidische Geometrie. 29. Vorläufer 30. Gauß, Schweikart, Taurinus, Lobatschefskij, Joh. Bolyai 31. Weiterer Ausbau der hyperbolischen Geometrie 32. Elliptische und sphärische Geometrie 10. Neuere Dreiecksgeometrie. Von G. BERKHAN + in Hamburg und W. FR. MEYER in Königsberg. (Abgeschlossen im Herbst 1914.) Einleitung. 1. Der Begriff der neueren Dreiecksgeometrie 2. Geschichtlicher Überblick 3. Bibliographische Übersicht 4. Charakterisierung der Dreiecksgeometrie 5. Abgrenzung und Gliederung des Artikels I. Der Begriff: Merkwürdig. 6 Symmetriepunkte 7. Überbestimmung 8. Symmetriedreiecke 9. Extreme Werte 10. Merkwürdige Koordinaten 11. Geometrische Örter 12. Geometrische Verwandtschaften 13. Permutationen 14. Alte Sätze in neuer Form II. Koordinaten und Verwandtschaften. 15. Vorbemerkung 16. Kartesische Koordinaten 17. Komplexe Koordinaten 18. Dreieckskoordinaten 19. Harmonische Zuordnung 20. Weitere harmonische Beziehungen 21. Komplement- und Supplementpunkte. Nagelsche Punktepaare 22. Quadratische Verwandtschaften. Allgemeines 23. Die isogonale Verwandtschaft. Winkelgegenpunkte 24. Die isotome Verwandtschaft. Seitengegenpunkte 25. Dreipolkoordinaten. Tripolar zugeordnete Punkte 26. Winkelkoordinaten nach Uhlich. Zwillingspunkte. Die Figur von Torricelli III. Urdreieck und abgeleitete Dreiecke. 27. Allgemeine Vorbemerkungen 28. Perspektive Dreiecke 29. Orthologe Dreiecke 30. Der Lotpunkt einer Geraden 31. Urndreiecke 32. Indreiecke 33. Fußpunktdreiecke 34. Die Wallacegerade 35. Die Steinersche Hypozykloide IV. Dreieck und Kegelschnitte. A. Umkegelschnitte. 36. Urnkegelschnitte im allgemeinen 37. Der Umkreis 28. Die gleichseitigen Umhyperbeln B. Inkegelschnitte. 39. Inkegelschnitte im allgemeinen 40. Die Inkreise 41. Die Inparabeln C. Polkegelschnitte. 42. Polkegelschnitte im allgemeinen 43. Besondere Polkegelschnitte D. Verschiedene Kreise und Kreissysteme. 44. Vorbemerkung 45. Die Kreise von Tucker. Lernoine und Taylor 46. Die Sehouteschen Kreise. Der Brocardsche Kreis und die Lemoinesche Gerade 47. Die Beikreise 48. Die Apollonischen Kreise 49. Der Feuerbachsche Kreis V. Drei gleichsinnig ähnliche Felder. 50. Vorbemerkung 51. Drei gleichsinnig ähnliche Felder in allgemeiner Lage 52. Drei ähnliche Felder über den Seiten des Urdreiecks Schluß. 53. Ergänzungen, besonders metrischer Art 54. Viereck und Vielecke 55. Projektive Verallgemeinerungen mit Hilfe der Kreispunkte 11. Systeme geometrischer Analyse. I. Teil von HERMANN ROTHE +; II. Teil von ALFRED LOTZE in Stuttgart und CHR. BETSCH in Cannstatt. Erster Teil. Von HERMANN ROTHE +. (Abgeschlossen im Oktober 1916.) Einleitung. 1. Begriff der geometrischen Analyse. Die "Characteristica geometrica" von G. W. Leibniz 2. Die geometrische Addition von Strecken I. Der baryzentrische Kalkül und die Methode der Äquipollenzen. 3. Der baryzentrische Kalkül von A. F. Möbius 4. Die Methode der Äquipollenzen von G. Bellavitis II. Die Hamiltonschen Quaternionen und ihre Verallgemeinerungen. 5. Historisches 6. Algebraische Theorie der Quaternionen 7. Die Vektoren. Geometrische Theorie der Quaternionen 8. Lineare Vektorfunktionen und lineare Vektorgleichungen. Djaden und Tensoren 9. Lineare Quaternionenfunktionen. Lineare und höhere Quaternionengleichungen 10. Differential- und Integralrechnung der Quaternionen 11. Geometrische Anwendungen der Quaternionen a) Punkt, Gerade, Ebene; Liniengeometrie b) Flächen zweiter Ordnung und andere algebraische Flächen; ebene, kubische und sphärische Kegelschnitte c) Differentialgeometrie der Kurven und Flächen; Strahlensysteme 12. Ternäre orthogonale Transformationen; Drehungen des Euklidischen Raumes urn einen festen Punkt. Quaternionen und binäre projektive Transformationen. Sphärische Trigonometrie 13. Quaternäre orthogonale Transformationen. Drehungen des vierdimen-sionalen Raumes um einen festen Punkt; automorphe projektive Transformationen einer Fläche zweiter Ordnung; Bewegungen und Umlegungen de 14. Die Biquaternionen von W. R. Hamilton und W. K Clifford. Euklidische und nicht-euklidische Bewegungen und Umlegungen 15. Die Triquaternionen und Quadriquaternionen von G. Combebiac. Die Ähnlichkeitstransformationen und die konformen Transformationen des Euklidischen Raumes 16. Die komplexen Zahlensysteme von W. K. Clifford und K. Lipschitz. Die orthogonalen Transformationen von n Veränderlichen. Die Bewegungen und Umlegungen im w-dimensionalen Euklidischen oder nicht-eukli 17. Sonstige Verallgemeinerungen des Quaternionenbegriffes. Die Oktaven von J. T. Graves und A Cayley und die Pluquaternionen von Th. P. Kirkmann. Die Nonionen und m2-ionen von J. J. Sylvester. Die Qua-te 18. Die longimetrischen Quaternionen von K. W. Unverzagt. Die hyperbolischen Quaternionen von A. Macfarlane Zweiter Teil. Von ALFRED LOTZE in Stuttgart. III. Die Graßmannsche Ausdehnungslehre. 19. Zur Einleitung und Geschichte 20. Extensive Größen, insbesondere solche 1. Stufe 21. Die Produktbildungen der Ausdehnungslehre im allgemeinen 22/23. Das kombinatorische oder äußere Produkt 24. Begriff der Ergänzung in bezug auf ein Hauptgebiet 25. Produkte in bezug auf ein Hauptgebiet. Progressive und regressive Produkte. Reine und gemischte Produkte 26. Extensive Größen höherer Stufe. Einfache und zusammengesetzte Größen (Komplexgrößen) 27. Das innere Produkt 28. Das algebraische Produkt 29. Lückenausdrücke 30. Quotienten, extensive Brüche, Matrizen 31. Funktionen 32. Differential- und Integralrechnung 33. Algebraische Anwendungen: Determinanten, lineare Gleichungen, Elimination, (Invariantentheorie) 34. Geometrische Anwendungen Einleitung (insbesondere Größen und Verknüpfungen der Punktrechnung) a) Elementargeometrie b) Projektive Geometrie. Lineare Verwandtschaften c) Kegelschnitte und Flächen zweiter Ordnung d) Algebraische Kurven und Flächen; lineale Erzeugung e) Linien- und Schraubengeometrie; Kugel- (und Kreis-)geometrie f) Differentialgeometrie g) Nicht-euklidische Geometrie h) Mechanik 35. Begründung der Punktrechnung durch G. Peano 36. Beziehungen der Ausdehnungslehre zur Quaternionentheorie und Vektor-analysis IV. Sonstige Systeme geometrischer Analyse. Von CHR. BETSCH in Cannstatt. (Abgeschlossen im März 1923.) 37. Der Situationskalkül von H. Scheffler 38. Die dualen Zahlen von E. Study 39. Die Binäranalyse von E. Waelsch 40. Die geometrischen Differentiationen von Knoblauch, Ricci, Levi-Cività und Hessenberg 41. Die Systeme direkter Analyse von J. A. Scheuten 12. Polyeder und Raumeinteilungen. Von ERNST STEINITZ +. (Abgeschlossen am 31. August 1916.) I. Die Polygone. 1. Die ebenen Polygone. Historisches 2. Die Art eines ebenen Polygons 3. Der Flächeninhalt ebener Polygone 4. Die Doppelpunkte ebener Polygone 5. Die Formen der Vielecke 6. Die sphärischen Polygone 7. Art und Inhalt sphärischer Polygone II. Die Entwicklung der Polyedertheorie. 8. Die Polyeder; allgemeine Definitionen 9. Eulers Begründung einer allgemeinen Polyedertheorie 10. Zur Geschichte des Eulerschen Polyedersatzes 11. Der verallgemeinerte Eulersche Satz. Elemente der Analysis situs 12. Einseitige Polyeder 13. Volumen und Artbesthnmung bei Polyedern 14. Legendres Bestimmung der Konstantenzahl eines Polyeders 15. Cauchys Satz über konvexe Polyeder. Bewegliche Polyeder 16. Die isoperimetrischen Probleme 16*. Anwendungen auf die Theorie der ebenen Fachwerke III. Morphologie der Polyeder. 17. Schematische Darstellungen der Polyedertypen 18. Konstruktive Ableitung konvexer (f + 1)-Flache aus f-Flachen. 19. Dreikants- und Dreiecks-(Trigonal-)Polyeder 20. Anzahlbestimmungen bei Polyedern 21. Das allgemeine Problem der kombinatorischen Aufstellung der Typen konvexer Polyeder 22. Geordnete Komplexe 23. Kantenkomplexe 24. Polyedriaehe Komplexe 25. Endliche polyedrische Komplexe von vollkommenem Zusammenhange 26. Eulersche Komplexe und Elementarkomplexe 27. Mehrstufiger Isomorphismus, Spaltungsprozesse 28. Polyeder im engeren Sinne 29. Einige Prozesse, durch die aus gegebenen Polyedertypen andere hergeleitet werden 30. Polyeder ohne übergreifende Elemente 31. Eulersche Polyeder ohne übergreifende Elemente (K-Polyeder) 32. Kritische Vergleichung der schematischen Darstellungsmethoden der Polyedertypen 33. Realisierung der Polyeder ohne übergreifende Elemente 34. Der Fundamentalsatz der konvexen Typen 35. Einteilung der konvexen Dreikantspolyeder in Stämme und Bereiche IV. Polyeder in mehrdimensionalen Räumen. 36. Allgemeine Begriffsbildungen 37. Konvexe Polytope: Elementare und topologische Untersuchungen 38. Konvexe Körper 39. Strahlsysteme 40. Konvexe Polyeder mit gegebenen Normalenriehtungen 41. Polyederscharen V. Die durch Symmetrieeigenschaften ausgezeichneten Polyeder und die Raumeinteilungen. 42. Die regulären Polyeder. Allgemeine Übersicht der weiteren Untersuchungen 43. Reguläre Polygone und Polyeder höherer Art 44. Der Symmetriebegriff. Historisches 45. Die endlichen Bewegungpgruppen 46. Die Fundamentalbereiche und die gleicheckigen und gleichflächigen Polyeder und Kugelnetze 47. Möbiussche Netze und kristallographische Gruppen 48. Gruppen aus Isomorphismen 49. Reziproke Beziehungen 50. Die regulären Polytope 51. Die endlichen Bewegungsgruppen im Rn und die zugehörigen Raumeinteilungen 52. Bewegungsgruppen und Raumeinteilungen bei Euklidischer und hyperbolischer Maßbestimmung 53. Weitere Ausführungen für den Fall des Euklidischen Rnn 54. Weitere Ausführungen für den Fall des hyperbolischen Hn 55. Verschiedenartige Untersuchungen 13. Beziehungen zwischen den verschiedenen Zweigen der Topologie. Von H. TIETZE in München und L. VIETORIS in Wien. (Abgeschlossen 15. Oktober 1929.) 1. Einleitung I. Punktmengen in n-dimensionalen Zahlenräumen. 2. Limiten in Punktmengen eines Rn 3. Umgebungen, Abstände und Häufungspunkte in Punktmengen eines Rn 4. Allgemeinere topologische Gebilde 5. Übergang zur allgemeinen Topologie II. Allgemeine Topologie. 6. Limesräume 7. Räume mit Festsetzungen über Häufungspunkte 8. Räume mit Umgebungsbeziehungen 9. Fundamentalsysteme von Umgebungen 10. Andere Fassungen des Begriffs des topologischen Raumes 11. Teilräume 12. Abzählbarkeitsaxiome 13. Trennbarkeitsaxiome 14. Vollständigkeitseigenschaften topologischer Räume 15. Beziehungen zwischen den verschiedenen Arten allgemeiner Räume 16. Metrische Räume. Gleichmäßige Stetigkeit 17. Metrisation 18. Metrische Vollständigkeit 19. Topologie im Kiemen. Überlagerungsräume 20. Herstellung neuer topologischer Räume aus gegebenen 21. Zerlegungsräume 22. Heftung topologischer Räume III. n-dimensionale Topologie. 23. Vorbemerkungen. Homogene n-dimensionale Gebilde 24. Homogene 2-dimensionale Mannigfaltigkeiten 25. Beschreibung des Zellaufbaus einer ... 26. Homogene n-dimensionale Mannigfaltigkeiten 27. Beschreibung des Zellaufbaus einer ... 28. Entstehung des besprochenen Mannigfaltigkeitsbegriffes 29. Allgemeinere Zellen und Zellenaufbauten 30. Berandete Mannigfaltigkeiten, n-dimensionale Komplexe 31. Topologische Invarianz der Dimensionszahl 32. Homöoinorphie der Flächen 33. Weitere Untersuchungen der n-dimensionalen Topologie IV. Kombinatorische Topologie 34. Problem einer kombinatorischen Topologie 35. Kombinatorische Zellsysteme 36. Verwandtschaft von Zellsystemen 37. Eine Hypothese 38. Neuere kombinatorische Theorien 39. Kombinatorische und n-dimensionale Topologie 40. Anwendung der kombinatorischen auf die allgemeine Topologie. Punktmengen V. Der Dimensionsbegriff 41. Allgemeines 42. Kurven Register zu Band III, 1. Teil.