GAMMA: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung

Jeder kennt die Kreiszahl p = 3,1415926..., viele kennen auch e = 2,7182818..., die Basis der natürlichen Logarithmen, und das Symbol i für **(Wurzel aus)** -1. Und dann? Die "viertwichtigste" Konstante ist die unauffällige Eulersche Zahl (Gamma) = 0,5772156..., benannt nach dem genialen Leonhard Euler (1707-1783). Die Konstanten **(pi)** und **e** sind transzendent, aber man weiß bis heute noch nicht, ob **(Gamma)** eine rationale Zahl ist. Das Buch lotet diese "obskure" Konstante aus. Die Reise beginnt mit Logarithmen und der harmonischen Reihe. Es folgen Bernoulli-Zahlen, Madelungsche Konstanten, Zeta-Funktionen und Eulers wunderbare Identität. Nach welchem Gesetz sind Fettfinger in Wörterbüchern verteilt? Wie fährt man mit Jeeps durch eine endlose Wüste? Wie kriecht ein elender mathematischer Wurm auf einem Gummiband? Wir erfahren von Harmonien in der Geometrie, in der Musik und bei Primzahlen! Unterwegs begegnen wir Euklid und Eratosthenes, Napier und Kepler, Gauß und Riemann, Cauchy und Tschebyschew, Hardy und Littlewood, den Hilbertschen Problemen, Hadamard und dem Primzahlsatz, von Mangoldts expliziter Formel, Selberg, Erd**ö**s und vielen anderen Mathematikern. Die Krönung ist die Riemannsche Vermutung, das berühmteste ungelöste Problem der Mathematik. Aus Rezensionen der englischen Auflage "Ein wichtiges Thema, zu dem viele bedeutende Mathematiker beigetragen haben. Der Autor gibt seinen Lesern einen erstaunlichen historisch-genetischen Überblick über ein Teilgebiet der Mathematik." Paul Nahin, Autor des Buches "An Imaginary Tale. The Story of ." Princeton University Press, Princeton 1998. \*\*\* "Ein ausgezeichnetes Buch, das die Literatur bereichert. Julian Havil erzählt uns ein aufregendes Kapitel der Mathematikgeschichte." Eli Maor, Autor des Buches "Die Zahl e – Geschichte und Geschichten." Birkhäuser Verlag, Basel 1996. Vorwort 8 Vorwort des Übersetzers 10 Danksagungen 11 Inhaltsverzeichnis 13 Einleitung 17 1 Die logarithmische Wiege 23 1.1 Ein mathematischer Albtraum – und ein Erwachen 23 1.2 Des Barons wunderbarer Kanon 26 1.3 Ein Hauch Kepler 36 1.4 Ein Hauch Euler 38 1.5 Weitere Ideen Napiers 42 2 Die harmonische Reihe 46 2.1 Das Prinzip 46 2.2 Eine erzeugende Funktion für Hn 47 2.3 Drei überraschende Ergebnisse 48 2.3.1 Divergenz 48 2.3.2 Hn ist keine ganze Zahl 49 2.3.3 Hn ist fast immer ein unendlicher Dezimalbruch 50 3 Subharmonische Reihen 52 3.1 Ein gemächlicher Start 52 3.2 Harmonische Primzahlreihen 53 3.3 Die Kempnerreihe 57 3.4 Die Madelungschen Konstanten 59 4 Zeta-Funktionen 63 4.1 Mit einer positiven ganzen Zahl n 63 4.2 Mit einer reellen Zahl x 69 4.3 Zwei abschließende Resultate 70 5 Der Geburtsort von Gamma 72 5.1 Ankunft 72 5.2 Niederkunft 75 6 Die Gamma-Funktion 78 6.1 Exotische Definitionen . . . 78 6.2 . . . weitere sinnvolle Definitionen 82 6.3 Gamma trifft Gamma 82 6.4 Komplement und Schönheit 84 7 Eulers wunderbare Identität 86 7.1 Die Formel, auf die es ankommt . . . 86 7.2 . . . und ein Hinweis auf ihre Nützlichkeit 87 8 Ein erfülltes Versprechen 91 9 Was ist Gamma . . . exakt? 95 9.1 Gamma existiert 95 9.2 Gamma ist . . . was für eine Zahl? 99 9.3 Eine überraschend gute Verbesserung 101 9.4 Der Ursprung einer großen Idee 105 10 Gamma als Dezimalbruch 106 10.1 Die Bernoullischen Zahlen 106 10.2 Die Euler–Maclaurinsche Summenformel 111 10.3 Zwei Beispiele 112 10.4 Die Implikationen für Gamma 114 11 Gamma als rationaler Bruch 117 11.1 Ein Rätsel 117 11.2 Ein Problem 117 11.3 Eine Antwort 119 11.4 Drei Ergebnisse 121 11.5 Irrationale Zahlen 122 11.6 Lösungen der Pellschen Gleichung 124 11.7 Lückenfüller 125 11.8 Die harmonische Alternative 126 12 Wo ist Gamma? 129 12.1 Nochmals zur alternierenden harmonischen Reihe 129 12.2 In der Analysis 133 12.3 In der Zahlentheorie 140 12.4 Bei Vermutungen 145 12.5 Bei Verallgemeinerungen 146 13 Die Welt ist harmonisch 149 13.1 Mittelwerte 149 13.2 Geometrische Harmonie 152 13.3 Musikalische Harmonie 153 13.4 Rekorde und Aufzeichnungen 156 13.5 Zerstörungsprüfungen 157 13.6 Durchqueren der Wüste 158 13.7 Kartenmischen 159 13.8 Quicksort 160 13.9 Sammeln einer vollständigen Menge 162 13.10 Eine Putnam-Preis-Frage 164 13.11 Maximal möglicher Überhang 165 13.12 Wurm auf einem Band 166 13.13 Optimale Auswahl 166 14 Die Welt ist logarithmisch 172 14.1 Ein Maß für die Unsicherheit 172 14.2 Das Benfordsche Gesetz 179 14.3 Kettenbruchverhalten 190 15 Probleme mit Primzahlen 198 15.1 Einige schwierige Fragen zu Primzahlen 198 15.2 Ein bescheidener Start 199 15.3 Eine Art Antwort 203 15.4 Veranschauliche das Problem! 205 15.5 Das Sieb des Eratosthenes 207 15.6 Heuristik 209 15.7 Ein Brief 211 15.8 Die harmonische Approximation 215 15.9 Verschieden – und doch gleich 218 15.10 Es sind wirklich nur zwei Fragen und nicht drei 219 15.11 Tschebyschew ist mit guten Einfällen zur Stelle 220 15.12 Riemann tritt ein, Beweise folgen 224 16 Die Riemannsche Initiative 227 16.1 Zählen der Primzahlen mit Riemann 227 16.2 Ein neues mathematisches Werkzeug 229 16.3 Analytische Fortsetzung 230 16.4 Riemanns Verallgemeinerung der Zeta-Funktion 231 16.5 Eine Funktionalgleichung für Zeta 231 16.6 Die Nullstellen von Zeta 232 16.7 Die Berechnung von II (x) und π(x) 234 16.8 Irreführende Spuren 236 16.9 Von Mangoldts explizite Formel und der Primzahlsatz 239 16.10 Die Riemannsche Vermutung 242 16.11 Warum ist die Riemannsche Vermutung wichtig? 244 16.12 Reelle Alternativen 245 16.13 Ein indirekter Weg zur Unsterblichkeit – teilweise verschlossen 247 16.14 Ansporn – damals und heute 250 16.15 Fortschritte 253 A Das griechische Alphabet 259 B Die Größenordnung von Funktionen 260 C Taylorreihen 261 C.1 Grad 1 261 C.2 Grad 2 261 C.3 Beispiele 263 C.4 Konvergenz 263 D Funktionentheorie 265 D.1 Komplexe Differentialrechnung 265 D.1.1 Reellwertige Funktionen einer komplexen Veränderlichen 266 D.1.2 Komplexwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen 266 D.1.3 Komplexwertige Funktionen einer komplexen Veränderlichen 267 D.2 Die Weierstraßsche Funktion 270 D.3 Komplexe Logarithmen 272 D.4 Komplexe Integration 273 D.4.1 Das bestimmte Integral 273 D.5 Eine nützliche Ungleichung 275 D.6 Das unbestimmte Integral 276 D.7 Ein folgenreiches Ergebnis 278 D.8 Eine erstaunliche Folgerung 279 D.9 Taylorreihen – und eine wichtige Folgerung 281 D.10 Laurentreihen – und eine weitere wichtige Folgerung 284 D.11 Residuenkalkül 286 D.12 Analytische Fortsetzung 288 E Anwendung auf die Zeta-Funktion 290 E.1 Analytische Fortsetzung von Zeta 290 E.2 Funktionalgleichung für Zeta 293 Literaturverzeichnis 296 Namensverzeichnis 303 Sachverzeichnis 307 Jeder kennt die Kreiszahl p = 3,1415926..., viele kennen auch e = 2,7182818..., die Basis der natürlichen Logarithmen, und das Symbol i für (Wurzel aus) -1. Und dann? Die "viertwichtigste" Konstante ist die unauffällige Eulersche Zahl (Gamma) = 0,5772156..., benannt nach dem genialen Leonhard Euler (1707-1783). Die Konstanten (pi) und e sind transzendent, aber man weiß bis heute noch nicht, ob (Gamma) eine rationale Zahl ist. Das Buch lotet diese "obskure" Konstante aus. Die Reise beginnt mit Logarithmen und der harmonischen Reihe. Es folgen Bernoulli-Zahlen, Madelungsche Konstanten, Zeta-Funktionen und Eulers wunderbare Identität. Nach welchem Gesetz sind Fettfinger in Wörterbüchern verteilt? Wie fährt man mit Jeeps durch eine endlose Wüste? Wie kriecht ein elender mathematischer Wurm auf einem Gummiband? Wir erfahren von Harmonien in der Geometrie, in der Musik und bei Primzahlen! Unterwegs begegnen wir Euklid und Eratosthenes, Napier und Kepler, Gauß und Riemann, Cauchy und Tschebyschew, Hardy und Littlewood, den Hilbertschen Problemen, Hadamard und dem Primzahlsatz, von Mangoldts expliziter Formel, Selberg, Erd ö s und vielen anderen Mathematikern. Die Krönung ist die Riemannsche Vermutung, das berühmteste ungelöste Problem der Mathematik. Aus Rezensionen der englischen Auflage "Ein wichtiges Thema, zu dem viele bedeutende Mathematiker beigetragen haben. Der Autor gibt seinen Lesern einen erstaunlichen historisch-genetischen Überblick über ein Teilgebiet der Mathematik." Paul Nahin, Autor des Buches "An Imaginary Tale. The Story of ." Princeton University Press, Princeton 1998. *** "Ein ausgezeichnetes Buch, das die Literatur bereichert. Julian Havil erzählt uns ein aufregendes Kapitel der Mathematikgeschichte." Eli Maor, Autor des Buches "Die Zahl e – Geschichte und Geschichten." Birkhäuser Verlag, Basel 1996. Front Matter....Pages 1-21 Die logarithmische Wiege....Pages 7-29 Die harmonische Reihe....Pages 31-36 Subharmonische Reihen....Pages 37-47 Zeta-Funktionen....Pages 49-57 Der Geburtsort von Gamma....Pages 59-64 Die Gamma-Funktion....Pages 65-72 Eulers wunderbare Identität....Pages 73-77 Ein erfülltes Versprechen....Pages 79-82 Was ist Gamma ... exakt?....Pages 83-93 Gamma als Dezimalbruch....Pages 95-105 Gamma als rationaler Bruch....Pages 107-118 Wo ist Gamma?....Pages 119-138 Die Welt ist harmonisch....Pages 139-161 Die Welt ist logarithmisch....Pages 163-188 Probleme mit Primzahlen....Pages 189-217 Die Riemannsche Initiative....Pages 219-250 Die Riemannsche Initiative....Pages 219-250 Back Matter....Pages 251-307 Jeder kennt die Kreiszahl p = 3,14159, viele kennen auch e = 2,71828, die Basis der natrlichen Logarithmen, und die imaginre Einheit i. Und dann? Die viertwichtigste" Konstante ist die Eulersche Zahl g = 0,5772156, benannt nach dem genialen Leonhard Euler (1707-1783). p und e sind transzendent, aber bis heute ist unbekannt, ob g eine rationale Zahl ist. Das Buch lotet diese obskure" Konstante aus. Die Reise beginnt mit Logarithmen und der harmonischen Reihe. Es folgen Zeta-Funktionen und Eulers wunderbare Identitt, Bernoulli-Zahlen, Madelungsche Konstanten, Fettfinger in Wrterbchern Exploring Euler's constant. Swiss mathematician Leonhard Euler (1707-1783) introduced gamma as the limit of the sum of 1 + 1/2 + 1/3 + . . . up to 1/n, minus the natural logarithm of n--the numerical value being 0.5772156. Unlike its more celebrated colleagues p and e, the exact nature of gamma remains a mystery.