Forms of Intuition: An Essay on the Philosophy of Mathematics: Eine Philosophie der Mathematik

What are pure geometric forms? In what sense are there an infinite number of points on a line? What is the relationship between empirically correct statements about real bodily figures (or movements) and the ideal truths of a pure mathematical geometry (also in space-time)? Starting from Kant and Wittgenstein, the book demonstrates how our dealings with figures and symbols is to be understood beyond the technical mastery of forms of calculation and proof. Vorwort......Page 6 Inhalt......Page 10 0.1 Themen und Thesen......Page 14 0.2 Mathematische Redebereiche......Page 29 0.3 Positionen im Grundlagenstreit......Page 33 0.4 Materiale vs. reine Begriffe und Schlüsse......Page 38 0.5 Formen der Anschauung......Page 42 0.6 Gliederungsübersicht......Page 53 1.0 Ziel des Kapitels......Page 60 1.1 Zur Differenz zwischen Empirischem und Apriorischem......Page 61 1.2 Materialbegriffliche und andere generische Aussagen......Page 66 1.3 Kritische Reflexionen in der Wissenschaftsphilosophie......Page 70 1.4 Empraktische Formen und Formen als abstrakte Gegenstände......Page 76 1.5 Wertsemantik als Grundlage formaler Schlüsse......Page 82 1.6 Zusammenfassung......Page 86 2.1 Sind geometrische Aussagen analytisch?......Page 88 2.2 Demonstrationen undAnalogien......Page 95 2.3 Zur ,(Un-)Endlichkeit‘ von Raum und Zeit......Page 97 2.4 Anschauung als semantische Basis der Geometrie......Page 102 2.5 Passungsnormen für Oberflächenformen......Page 105 2.6 Definitorische Gütekriterien für formstabile Quader und Keile......Page 110 2.7 Bemerkungen zur Konsistenz, Unabhängigkeit und Vollständigkeit der Kriterien......Page 116 2.8 Elementare Demonstrationen und axiomatische Deduktionen......Page 124 2.9 Zusammenfassung......Page 126 3.0 Ziel des Kapitels......Page 130 3.1 Grundbegriffe der ebenen Geometrie......Page 131 3.2 Konstruktion der Grundfiguren......Page 139 3.3 Grundurteile der ebenen (Proto-)Geometrie......Page 143 3.4 Demonstrationen grundlegender Fakten......Page 148 3.5 Flächenvergleiche und der Strahlensatz am Rechteck......Page 156 3.6 Der allgemeine Strahlensatz (Desargues)......Page 165 3.7 Zusammenfassung......Page 169 4.0 Ziel des Kapitels......Page 172 4.1 Grundfragen der Abstraktionslogik......Page 173 4.2 Wahrheitswertsemantische Arithmetik......Page 176 4.3 Normierung diagrammatischer Konstruktionen......Page 187 4.4 Der Begriff der geometrischen Form......Page 195 4.5 Die Größeninvarianz geometrischer Formen......Page 200 4.6 Protogeometrische Festlegung elementargeometrischer Wahrheitsbedingungen......Page 207 4.7 Formen, Punkte und die ideale Ebene......Page 210 4.8 Zusammenfassung......Page 215 5.0 Ziel des Kapitels......Page 218 5.1 DieAxiome der ebenen Geometrie......Page 222 5.2 Die Körper der pythagoräischen und euklidischen Vektoren......Page 227 5.3 Räumliche Geometrie......Page 232 5.4 Algebraisierung und Arithmetisierung der Geometrie......Page 244 5.5 Der Fundamentalsatz der Algebra......Page 261 5.6 Bogenlängen und Kreisfunktionen......Page 265 5.7 Mengen als Gegenstände......Page 271 5.8 Nonstandard Axiome und Modelle......Page 281 5.9 Zusammenfassung......Page 288 6.0 Ziel des Kapitels......Page 290 6.1 Affine Abbildungen......Page 291 6.2 Riemannsche Mannigfaltigkeiten......Page 296 6.3 Die innere Geometrie von Flächen......Page 298 6.4 Vorstellungen nichteuklidischer Räume......Page 304 6.5 Zusammenfassung......Page 307 7.0 Ziel des Kapitels......Page 310 7.1 Grundprobleme der Bewegungslehre......Page 311 7.2 Zeittaktgeber und Bewegungsvergleiche......Page 316 7.3 Gleichmäßige Bewegungen und Uhren......Page 320 7.4 Bewegungsformen und Zeitkontinuum......Page 328 7.5 Bewegte Uhren......Page 332 7.6 Gleichförmige Bewegung als Voraussetzung mechanischer Erklärung......Page 336 7.7 Zusammenfassung......Page 339 8.0 Ziel des Kapitels......Page 342 8.1 Die Isotropie der Lichtausbreitung......Page 343 8.2 Relativistische Längen- und Zeitrechnung......Page 346 8.3 Zeitdilatation und Zwillingsparadox......Page 361 8.4 Inwiefern ist der Raum dreidimensional?......Page 369 8.5 Zusammenfassung......Page 382 Literatur......Page 386 Personenindex......Page 398 Sachindex......Page 402

Das Buch zeigt, inwiefern nicht, wie man üblicherweise sagt, die Arithmetik, Logik und  Mengenlehre, sondern die Geometrie die Königin der Mathematik ist, weil nämlich die oft verpönte Anschauung allen ihren Axiomatisierungen und Anwendungen zugrunde liegt, und zwar in der Form eines diagrammtheoretischen Strukturmodells. Dessen Punkte, Geraden und Ebenen sind selbst immer schon raumlose Teilformen idealer Formen. Zu den ‚reellen Zahlen' als reine Größenproportionen gelangt man durch Ausweitung des Punktbereiches zunächst über den Fundamentalsatz der Algebra. Aber erst Cantors Naive Mengenlehre liefert genügend Nullstellen für beliebige stetige Funktionen. Dabei ist die euklidische Geometrie eine Theorie der Körperformen, während für jede Theorie des Raumes, in dem sich Körper bewegen, immer auch schon die Zeit mathematisiert werden muss, so dass der Bewegungsraum nie einfach ‚dreidimensional‘ ist. Diese Unterscheidung zum Anschauungsraum geformter Körper macht das vierdimensionale Minkowski-Modell der Raum-Zeit in Einsteins spezieller Relativitätstheorie allererst voll begreifbar, zumal sich im empiristischen bzw. konventionalistischen Ansatz Reichenbachs, Grünbaums und vieler anderer Autoren deutliche Mängel finden.

Das Buch zeigt, inwiefern nicht, wie man üblicherweise sagt, die Arithmetik, Logik und Mengenlehre, sondern die Geometrie die Königin der Mathematik ist, weil nämlich die oft verpönte Anschauung allen ihren Axiomatisierungen und Anwendungen zugrunde liegt, und zwar in der Form eines diagrammtheoretischen Strukturmodells. Dessen Punkte, Geraden und Ebenen sind selbst immer schon raumlose Teilformen idealer Formen. Zu den ‚reellen Zahlen' als reine Größenproportionen gelangt man durch Ausweitung des Punktbereiches zunächst über den Fundamentalsatz der Algebra. Aber erst Cantors Naive Mengenlehre liefert genügend Nullstellen für beliebige stetige Funktionen. Dabei ist die euklidische Geometrie eine Theorie der Körperformen, während für jede Theorie des Raumes, in dem sich Körper bewegen, immer auch schon die Zeit mathematisiert werden muss, so dass der Bewegungsraum nie einfach ‚dreidimensional' ist. Diese Unterscheidung zum Anschauungsraum geformter Körper macht das vierdimensionale Minkowski-Modell der Raum-Zeit in Einsteins spezieller Relativitätstheorie allererst voll begreifbar, zumal sich im empiristischen bzw. konventionalistischen Ansatz Reichenbachs, Grünbaums und vieler anderer Autoren deutliche Mängel finden. Main description: What are pure geometric forms? In what sense are there an infinite number of points on a line? What is the relationship between empirically correct statements about real bodily figures (or movements)and the ideal truths of a pure mathematical geometry (also in space-time)? Starting from Kant and Wittgenstein, the book demonstrates how our dealings with figures and symbols is to be understood beyond the technical mastery of forms of calculation and proof