Fonctions de Plusieurs Variables Complexes III: Séminaire François Norguet Octobre 1975 - Juin 1977 (Lecture Notes in Mathematics, 670) (French and English Edition)

HOMOLOGIE ET DUALITI~ EN G~O~TRIE ANALYTIQUE COMPLEXE ~\*) par Constantin BANICA sont des isomorphismes topologiques ; en particulier, les espaces sHq(X , 'Jr) et HT(X , ~,) sont en dualit@ topologique. s q D~monstration. D'apr~s le lemme de dualit@ on obtient les isomorphismes alg@briques s q ' ' ' ' 'Le fait qu'ils sont m~me topologiques (quand l'accent d@signe le dual faible) r@sulte du fait suivant [10] : si E est un espace localement convexe Hausdorff et F c E un sous-espace fermi, alors les topologies faibles de F et E/F coincident avec celles induites par la topologie faible de E. Pour la deuxi~me assertion, soit ~£ ZLL (X) un recouvrement de Stein plus fin que ~ et soit Tune fonction de raffinement. Les applications sont continues et bijectives, vule th6or~me de Leray. Quand on passe aux s6par6s on trouve des applications continues surjectives ~, ~g. ) ~ ~ \* sT. : sHq( sHq(U, ~) , s T : sH~(U,~') ~sHq(~'~,.,W").D'apr~s la premiere partie, s T = la transpos@e de s T. et sT, = la transpos@e de ST • Ii en r~sulte que ST\* et sT sont injectives et ouvertes. Par cons@quent sT, \* et sT sont des isomorphismes topologiques. On conclut la d@~onstration avecla remarque suivante : si ~ : M ÷ Nest tune application lin@aire continue surjective espaces vectoriels topologiques telle que l'application @ : M ÷ entre deux induite aux s@par6s soit un isomorphisme topologique, alors ~ est ouverte.Suppl@ment au th@or~me. Si 8 q-I : C~q ( ~' ~, ) ~ C~ ( ~' ~, ) est homomorphisme toq-1 pologique (pour la topologie lim, ou pour la topologie lim), alors Hq( ZL ~/) = sH@(~/, ~) (i.e., le groupe de cohomologie est s6par6) et une assertion analogue pour i 'homologie.On applique de nouveau le lemme de dualit6.RemarQue. On peut obtenir un th@or~me de dualit~ analogue si on remplace les topologies faibles par les topologies de Mackey. En particulier, si (¢,Y) est obtenue par 2-compactification, alors les topologies lim , lim et les topologies de 4----Mackey coincident et on obtient le th@or~me de dualit@ de [I].V..d.n-q +I si \_..~y (X ; ~, ~) est s~par@.