FIGURIERTE ZAHLEN : veranschaulichung als heuristische strategie

Dieses Buch behandelt die Visualisierung als Methode des mathematischen Problemlösens, Begründens und Beweisens: Konkrete Beispiele zur Veranschaulichung durch mathematische Figuren und Bilder bieten einen faszinierenden Einblick in das Argumentieren anhand strukturierter und strukturierender Figuren zur Betrachtung von Zahlen und Zahlenfolgen. Die historischen Wurzeln dieses mathematischen Handwerkszeugs werden dabei so weit wie möglich einbezogen. Die Beispiele sind in der Regel konstruktiver Natur; gelegentlich wird, wo angebracht, die algorithmische Erschließung durch Hinweise auf die Programmierung mit Hilfe von Computeralgebra Systemen ergänzt. Das Buch richtet sich an Studierende und Lehrende an Schulen und Hochschulen, sowie an alle an der Elementarmathematik interessierten Nichtspezialisten, die das mathematische Arbeiten einmal außerhalb der von den Bildungsinstitutionen vorgezeichneten Pfade kennenlernen wollen. Es liefert insbesondere Lehrkräften und Lehramtsstudierenden wertvolle Anregungen, etwa zur Förderung mathematisch interessierter Schülerinnen und Schüler. In der 2. Auflage ist mit den mathematisch fundamentalen und historisch bedeutsamen Themen Wechselwegnahme, Teilbarkeit, Euklidischer Algorithmus, Inkommensurabilität und Kettenbrüche ein neues, für Visualisierungen gut geeignetes Kapitel hinzugekommen. Bereits bestehende Kapitel wurde durch Abschnitte über Trapezzahlen, ungerade Quadratzahlen und zentrierte Polygonalzahlen ergänzt. Vorwort zur 2. Auflage Vorwort Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 Historische Anfänge 2.1 Die Arithmetik der Spielsteine 2.2 Gnomone 2.2.1 Zum Begriff des Gnomons 2.2.2 Gnomone in der Mathematik 2.2.3 Gnomone: Eine erste Zusammenfassung 3 Einführende Beispiele, Potenzsummen 3.1 Dreieckszahlen / Triagonalzahlen 3.2 Trapezzahlen 3.3 Viereckszahlen / Quadratzahlen 3.3.1 Quadratzahlen, ungerade Zahlen und die Gnomon-Methode 3.3.2 Quadratzahlen und babylonische Multiplikation 3.3.3 Summen von Quadratzahlen 3.3.4 Ungerade Quadratzahlen 3.4 Kubikzahlen 4 Polygonal- und Pyramidalzahlen 4.1 Nichtzentrierte Polygonalzahlen 4.1.1 Beispiele 4.1.2 Das Konstruktionsprinzip der nichtzentrierten Polygonalzahlen 4.1.3 Die explizite Darstellung der nichtzentrierten Polygonalzahlen 4.2 Zentrierte Polygonalzahlen 4.3 Pyramidalzahlen 4.4 Bemerkungen zur Symbolverarbeitung 5 Systematisierung durch Differenzenbildung 5.1 Differenzenfolgen von Polygonal- und Pyramidalzahlen 5.2 Allgemeine Differenzenfolgen 5.3 Ein kleines Szenario zum Differenzenkalkül im Computeralgebra System Maxima 6 Wechselwegnahme und Euklidischer Algorithmus 6.1 Wechselwegnahme, Kommensurabilität und Inkommensurabilität 6.2 Die Division mit Rest 6.3 Größter gemeinsamer Teiler (ggT) und kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) 6.4 Der Euklidische Algorithmus 6.5 Kettenbrüche 7 Figurierte Fibonacci-Zahlen 7.1 Historischer Kontext 7.2 Definition der Fibonacci-Zahlen in heutiger Notation 7.3 Veranschaulichung der definierenden Gleichung 7.4 Weitere auf den Fibonacci-Zahlen basierende Veranschaulichungen 7.4.1 Quadrate und Rechtecke aus Fibonacci-Zahlen 7.4.2 Fibonacci-Zahlen und optische Täuschungen 7.5 Die Fibonacci-Zahlen und der Euklidische Algorithmus 7.6 Die Formel von Binet 7.7 Konkrete Berechnung der Fibonacci-Zahlen 7.7.1 Rekursives Verfahren 7.7.2 Iteratives Verfahren 7.7.3 Berechnung mit Hilfe der Formel von Binet 7.7.4 Berechnung der Fibonacci-Zahlen mit Matrizen 7.7.5 Teile und Herrsche 8 Die Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt 8.1 Quotienten aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen 8.2 Der Goldene Schnitt 9 Phyllotaxis 9.1 Erste Beobachtungen 9.2 Modell und Simulation 9.3 Zusammenfassung 10 Lineare Differenzengleichungen und die Herleitung der Formel von Binet 10.1 Lineare Differenzengleichungen erster Ordnung 10.2 Lineare Differenzengleichungen zweiter Ordnung 11 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion 11.1 Die natürlichen Zahlen 11.2 Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion 11.3 Beispiele zur vollständigen Induktion 11.3.1 Einige typische Beispiele 11.3.2 Einige nicht so ganz typische Beispiele 11.3.3 Zahlenmuster und vollständige Induktion 11.3.4 Vollständige Induktion im Zusammenhang mit Mengen 11.3.5 Vollständige Induktion im Zusammenhang mit Beispielen aus der Geometrie 11.3.6 Definition durch vollständige Induktion 11.3.7 Vollständige Induktion und andere Beweistechniken 11.3.8 Scheinbeweise, Lustiges und Merkwürdiges 11.3.9 Ein frühes historisches Beispiel zur vollständigen Induktion 11.3.10 Muss es immer vollständige Induktion sein? A Analyse einiger ausgewählter Konfigurationen A.1 Summen ungerader Zahlen A.2 Summen von Kubikzahlen A.3 Pascalsches Dreieck und Fibonacci-Zahlen B Bildnachweise Literatur Stichwortverzeichnis