Extremal Problems for Finite Sets 86

کتاب «Extremal Problems for Finite Sets» نوشتهٔ پیتر فرانکل (Peter Frankl) و نوریهیده توکوشیگه (Norihide Tokushige) راهنمایی روشنگر برای ورود به یکی از جذاب‌ترین شاخه‌های ریاضیات گسسته است. این اثر که در مجموعهٔ «کتابخانهٔ ریاضی دانشجویی» (Student Mathematical Library) منتشر شده، با بیانی شیوا نشان می‌دهد که چگونه پرسش‌های ساده دربارهٔ زیرمجموعه‌های یک مجموعهٔ متناهی، به نتایجی عمیق و کاربردهایی در نظریهٔ اعداد، ترکیبیات و نظریهٔ احتمال منجر می‌شوند.

دربارهٔ کتاب —

موضوع اصلی این کتاب، نظریهٔ مجموعه‌های متناهی و به‌طور ویژه، مسائل حدی (Extremal Problems) در این حوزه است. مسئلهٔ محوری در این شاخه از ریاضیات را می‌توان به این شکل بیان کرد: با در نظر گرفتن یک مجموعهٔ n عضوی، بزرگترین خانواده از زیرمجموعه‌ها که شرط مشخصی (مانند اشتراک غیرتهی هر دو عضو) را برآورده می‌کنند، چند عضو دارد؟. کتاب با قضایای کلاسیک و بنیادینی همچون قضیهٔ اسپرنر (Sperner) و قضیهٔ اردوش-کو-رادو (Erdős–Ko–Rado) آغاز می‌شود و با ارائهٔ برهان‌های جدید و بدیع از این قضایا، خواننده را با زیبایی و ظرافت استدلال‌های ترکیبیاتی آشنا می‌سازد. نیمهٔ نخست کتاب به بررسی نتایج کلاسیک و پیشرفت‌های اخیر اختصاص دارد که از آن جمله می‌توان به اثبات کامل قضیهٔ السوده-خاچاتریان (Ahlswede–Khachatrian) و نیز دستاوردهای نوین در مورد حدس تطابق اردوش (Erdős matching conjecture) اشاره کرد. نیمهٔ دوم کتاب، خواننده را با روش‌های قدرتمندتر و مدرن‌تری همچون جبر خطی، برنامه‌ریزی نیمه‌معین (Semidefinite Programming) و قضیهٔ بسته‌بندی رودل (Rödl's packing theorem) آشنا می‌کند و پیشرفت‌های بسیار تازه‌ای (مربوط به سال ۲۰۱۶) را در مورد حدس گل‌آفتابگردان اردوش-سمریدی (Erdős–Szemerédi sunflower conjecture) و مسئلهٔ کلاهک (capset problem) به تصویر می‌کشد. این کتاب با ارائهٔ فصلی شامل چالش‌برانگیزترین مسائل حل‌نشدهٔ این حوزه به پایان می‌رسد، تا ذهن خواننده را برای ورود به عرصهٔ پژوهش آماده کند.

دربارهٔ نویسنده

پیتر فرانکل (Peter Frankl) پژوهشگر برجستهٔ مؤسسهٔ رنیی (Rényi Institute) در بوداپست و یکی از نام‌های بزرگ و تأثیرگذار در نظریهٔ مجموعه‌های متناهی است که آثار متعددی در این حوزه منتشر کرده است. نوریهیده توکوشیگه (Norihide Tokushige) نیز استاد دانشگاه ریوکیو (Ryukyu University) در اوکیناوای ژاپن است و فعالیت‌های پژوهشی گسترده‌ای در زمینهٔ مسائل حدی ترکیبیاتی دارد. این دو نویسنده که از پیشگامان و محققان اصلی این شاخه از ریاضیات به شمار می‌روند، با نگارش این کتاب، گنجینه‌ای از دانش و یافته‌های روز این حوزه را در دسترس مخاطبان قرار داده‌اند.

چرا باید «Extremal Problems for Finite Sets» را بخوانید؟

• دسترسی به نتایج پیشرفته با پیش‌زمینه‌ای اندک: این کتاب نشان می‌دهد که چگونه می‌توان با مفاهیم مقدماتی، به عمیق‌ترین و مدرن‌ترین قضایای ریاضی راه یافت و درک شهودی از آن‌ها به دست آورد.
• برهان‌های نوین و بدیع برای قضایای کلاسیک: علاوه بر ارائهٔ قضایای بنیادین، برهان‌های جدیدی از آن‌ها ارائه شده که خواننده را با ظرایف استدلال‌های ترکیبیاتی آشنا می‌کند.
• پوشش مدرن‌ترین پیشرفت‌های پژوهشی: موضوعاتی مانند پیشرفت سال ۲۰۱۶ در مورد حدس گل‌آفتابگردان و مسئلهٔ کلاهک، این کتاب را به منبعی به‌روز تبدیل کرده است.
• معرفی روش‌های قدرتمند ریاضی: با روش‌هایی همچون جبر خطی و برنامه‌ریزی نیمه‌معین در حل مسائل ترکیبیاتی آشنا می‌شوید که کاربردهای گسترده‌ای در ریاضیات دارند.
• آماده‌سازی برای پژوهش: فصل پایانی کتاب با ارائهٔ مسائل باز و چالش‌برانگیز، مسیر را برای علاقه‌مندان به تحقیق و پژوهش در این حوزه هموار می‌کند.

این کتاب برای چه کسانی مناسب است؟

مخاطب اصلی این کتاب، دانشجویان کارشناسی ریاضی هستند که به دنبال درکی عمیق و فراتر از دروس مقدماتی ترکیبیات هستند و به پژوهش در این حوزه علاقه دارند. همچنین برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی و پژوهشگرانی که به دنبال منبعی جامع و به‌روز در نظریهٔ مجموعه‌های متناهی می‌گردند، اثری ارزشمند محسوب می‌شود. اگرچه پیش‌زمینهٔ عمیق ریاضی برای خواندن کتاب ضروری نیست، اما آشنایی با مفاهیم پایه‌ای ترکیبیات و جبر خطی، به درک هرچه بهتر مطالب کمک شایانی خواهد کرد.

سوالات متداول

آیا برای خواندن این کتاب به دانش قبلی گسترده‌ای نیاز است؟

یکی از نقاط قوت این کتاب، دسترسی‌پذیری آن است. بیان مسئله‌ها معمولاً ساده است و نیازی به دانش تخصصی بالا ندارد. با این حال، مطالب کتاب به‌سرعت به سطوح فنی‌تر می‌رود و وجود پیش‌زمینه‌ای در ترکیبیات و جبر خطی برای بهره‌مندی کامل از آن توصیه می‌شود.

آیا این کتاب صرفاً جنبهٔ نظری دارد یا کاربردهای عملی را نیز پوشش می‌دهد؟

این کتاب بر جنبهٔ نظری و بنیادین نظریهٔ مجموعه‌های متناهی متمرکز است، اما در سراسر متن، به کاربردهای گستردهٔ این نتایج در حوزه‌هایی مانند نظریهٔ اعداد، نظریهٔ احتمال و حتی هندسهٔ گسسته اشاره می‌کند و نشان می‌دهد که این مفاهیم چطور در خدمت حل مسائل دیگر شاخه‌های ریاضی قرار می‌گیرند.

چه تفاوتی بین این کتاب و سایر منابع مقدماتی ترکیبیات وجود دارد؟

این کتاب فراتر از یک درسنامهٔ مقدماتی عمل می‌کند. در حالی که بسیاری از کتاب‌ها تنها به قضایای کلاسیک و اثبات‌های مرسوم می‌پردازند، «Extremal Problems for Finite Sets» با ارائهٔ برهان‌های جدید و پوشش آخرین دستاوردهای پژوهشی (تا سال ۲۰۱۶)، پلی است بین آموزش و پژوهش و خواننده را با جبههٔ علم در این حوزه آشنا می‌کند.

One of the great appeals of Extremal Set Theory as a subject is that the statements are easily accessible without a lot of mathematical background, yet the proofs and ideas have applications in a wide range of fields including combinatorics, number theory, and probability theory. Written by two of the leading researchers in the subject, this book is aimed at mathematically mature undergraduates, and highlights the elegance and power of this field of study. The first half of the book provides classic results with some new proofs including a complete proof of the Ahlswede Khachatrian theorem as well as some recent progress on the Erd s matching conjecture. The second half presents some combinatorial structural results and linear algebra methods including the Deza Erd s Frankl theorem, application of Rödl's packing theorem, application of semidefinite programming, and very recent progress (obtained in 2016) on the Erd s Szemerédi sunflower conjecture and capset problem. The book concludes with a collection of challenging open problems. Cover......Page 1 Title page......Page 4 Contents......Page 6 Notation......Page 8 Chapter 1. Introduction......Page 10 Chapter 2. Operations on sets and set systems......Page 14 Chapter 3. Theorems on traces......Page 22 Chapter 4. The Erdős–Ko–Rado Theorem via shifting......Page 28 Chapter 5. Katona’s circle......Page 32 Chapter 6. The Kruskal–Katona Theorem......Page 40 Chapter 7. Kleitman Theorem for no �� pairwise disjoint sets......Page 46 Chapter 8. The Hilton–Milner Theorem......Page 52 Chapter 9. The Erdős matching conjecture......Page 56 Chapter 10. The Ahlswede–Khachatrian Theorem......Page 62 Chapter 11. Pushing-pulling method......Page 70 Chapter 12. Uniform measure versus product measure......Page 78 Chapter 13. Kleitman’s correlation inequality......Page 86 Chapter 14. ��-Cross union families......Page 92 Chapter 15. Random walk method......Page 96 Chapter 16. ��-systems......Page 104 Chapter 17. Exponent of a (10,{0,1,3,6})-system......Page 112 Chapter 18. The Deza–Erdős–Frankl Theorem......Page 118 Chapter 19. Füredi’s structure theorem......Page 124 Chapter 20. Rödl’s packing theorem......Page 130 Chapter 21. Upper bounds using multilinear polynomials......Page 136 Chapter 22. Application to discrete geometry......Page 146 Chapter 23. Upper bounds using inclusion matrices......Page 150 Chapter 24. Some algebraic constructions for ��-systems......Page 158 Chapter 25. Oddtown and eventown problems......Page 164 Chapter 26. Tensor product method......Page 170 Chapter 27. The ratio bound......Page 184 Chapter 28. Measures of cross independent sets......Page 190 Chapter 29. Application of semidefinite programming......Page 198 Chapter 30. A cross intersection problem with measures......Page 204 Chapter 31. Capsets and sunflowers......Page 210 Chapter 32. Challenging open problems......Page 220 Bibliography......Page 226 Index......Page 232 Back Cover......Page 234 One of the great appeals of Extremal Set Theory as a subject is that the statements are easily accessible without a lot of mathematical background, yet the proofs and ideas have applications in a wide range of fields including combinatorics, number theory, and probability theory. Written by two of the leading researchers in the subject, this book is aimed at mathematically mature undergraduates, and highlights the elegance and power of this field of study. The first half of the book provides classic results with some new proofs including a complete proof of the Ahlswede–Khachatrian theorem as well as some recent progress on the Erdős matching conjecture. The second half presents some combinatorial structural results and linear algebra methods including the Deza–Erdős–Frankl theorem, application of Rödl's packing theorem, application of semidefinite programming, and very recent progress (obtained in 2016) on the Erdős–Szemerédi sunflower conjecture and capset problem. The book concludes with a collection of challenging open problems. "One of the great appeals of Extremal Set Theory as a subject is that the statements are easily accessible without a lot of mathematical background, yet the proofs and ideas have applications in a wide range of fields including combinatorics, number theory, and probability theory. Written by two of the leading researchers in the subject, this book is aimed at mathematically mature undergraduates, and highlights the elegance and power of this field of study." -- Provided by publisher