Espaces de Berkovich Globaux : Catégorie, Topologie, Cohomologie

Cet ouvrage propose une contribution aux fondements de la théorie des espaces de Berkovich globaux. Cette approche récente à la géométrie analytique, qui mêle les théories classiques des espaces analytiques complexes et p-adiques, fournit un cadre géométrique naturel pour plusieurs théories arithmétiques, telle que la théorie d’Arakelov. Les auteurs suivent trois axes principaux, inexplorés au-delà de la dimension 1 : catégorie, topologie et cohomologie. En particulier, ils introduisent une notion de domaine affinoïde surconvergent, pour lequel sont valables les analogues des théorèmes de Tate et de Kiehl. This monograph contributes to the foundations of the theory of global Berkovich spaces. This recent approach of analytic geometry, which blends the known theories of complex and p-adic analytic spaces, provides a natural geometric framework for several arithmetic theories, such as Arakelov geometry. The authors focus on three main themes which have yet to be investigated beyond dimension 1 : category, topology, and cohomology. In particular, they introduce a notion of overconvergent affinoid domain where the analogues of Tate's and Kiehl's theorems hold. TABLE DES MATIÈRES INTRODUCTION 0.1. Objectifs du manuscrit Axe 1 : Définition de la catégorie des espaces de Berkovich sur un anneau de Banach Axe 2 : Étude de la topologie des espaces de Berkovich globaux Axe 3 : Étude de la cohomologie des espaces de Berkovich globaux 0.2. Organisation du texte Chapitre 1 : Préliminaires et rappels Chapitre 2 : Catégorie des espaces analytiques : définitions Chapitre 3 : Quelques résultats topologiques sur les anneaux de fonctions analytiques Chapitre 4 : Catégorie des espaces analytiques : propriétés Chapitre 5 : Étude des morphismes finis Chapitre 6 : Structure locale des espaces analytiques Chapitre 7 : Propriétés topologiques des espaces analytiques Chapitre 8 : Espaces de Stein 0.3. Applications Dynamique analytique sur Z Compactifications ultramétriques d’espaces complexes 0.4. Prérequis 0.5. Remerciements CHAPITRE 1 PRÉLIMINAIRES ET RAPPELS 1.1. Spectre analytique d’un anneau de Banach 1.2. Espace affine analytique sur un anneau de Banach 1.3. Parties rationnelles et spectralement convexes 1.4. Disques, couronnes et domaines polynomiaux 1.4.1. Algèbres de disques et de couronnes. 1.4.2. Normes sur les domaines polynomiaux. 1.5. Bases de voisinages 1.6. Résultats locaux 1.6.1. Théorème de division deWeierstraß. 1.6.2. Changement de variables. 1.6.3. Anneaux de Banach de base. 1.6.4. Anneaux locaux et faisceau structural. CHAPITRE 2 CATÉGORIE DES ESPACES ANALYTIQUES : DÉFINITIONS 2.1. Catégorie des espaces 2.1.1. Morphismes entre ouverts d’espaces affines analytiques. 2.1.2. Modèles locaux A-analytiques. 2.1.3. Espaces A-analytiques. 2.2. Catégorie des espaces analytiques au-dessus de A 2.3. Immersions d’espaces analytiques CHAPITRE 3 QUELQUES RÉSULTATS TOPOLOGIQUES SUR LES ANNEAUX DE FONCTIONS ANALYTIQUES 3.1. Normes sur les quotients 3.1.1. Généralités. 3.1.2. Condition 3.1.3. Condition 3.2. Division de Weierstraß avec contrôle sur les normes 3.3. Fermeture des idéaux du faisceau structural CHAPITRE 4 CATÉGORIE DES ESPACES ANALYTIQUES : PROPRIÉTÉS 4.1. Analytification de schémas 4.2. Extension des scalaires 4.3. Produits fibrés 4.4. Morphismes propres 4.5. Parties spectralement convexes 4.6. Morphismes séparés CHAPITRE 5 ÉTUDE DES MORPHISMES FINIS 5.1. Définition et premières propriétés 5.2. Images directes des faisceaux cohérents 5.3. Stabilité des morphismes finis 5.4. Changement de base fini 5.5. Nullstellensatz de Rückert 5.6. Critères d’ouverture de morphismes finis CHAPITRE 6 STRUCTURE LOCALE DES ESPACES ANALYTIQUES 6.1. Décomposition locale des espaces analytiques en composantes irréductibles 6.2. Un critère d’ouverture 6.3. Normalisation de Noether locale 6.4. Dimension locale d’un espace analytique 6.5. D’un schéma à son analytifié : premières propriétés 6.6. D’un schéma à son analytifié : platitude et conséquences CHAPITRE 7 PROPRIÉTÉS TOPOLOGIQUES DES ESPACES ANALYTIQUES 7.1. Espaces élastiques 7.2. Connexité par arcs locale 7.3. Dimension topologique CHAPITRE 8 ESPACES DE STEIN 8.1. Systèmes de Cousin-Runge 8.1.1. Généralités. 8.1.2. Algèbres de domaines polynomiaux. 8.1.3. Arbres de Cousin-Runge. 8.1.4. Au-dessus d’un corps ultramétrique. 8.1.5. Au-dessus d’une base ultramétrique. 8.2. Théorèmes A et B sur les polydisques fermés relatifs 8.2.1. Fibres archimédiennes. 8.2.2. Fibres ultramétriques. 8.2.3. Cas général. 8.3. Affinoïdes surconvergents 8.4. Quelques compléments 8.5. Théorème B sur certains ouverts 8.6. Noethérianité d’anneaux de séries arithmétiques convergentes BIBLIOGRAPHIE INDEX LISTE DES NOTATIONS Normes et anneaux de Banach Séries Espaces topologiques Faisceaux cohérents Spectre analytique d’un anneau de Banach Espace affine analytique sur un anneau de Banach Droite affine analytique sur un anneau de Banach Espace analytique sur un anneau de Banach Systèmes de Banach Arbres binaires de compacts