Esercizi di metodi matematici della fisica: Con complementi di teoria (UNITEXT) (Italian Edition)

Il testo richiama i principali concetti, definizioni e teoremi relativi agli spazi vettoriali, agli sviluppi in serie di Fourier, alle equazioni alle derivate parziali, alle trasformate integrali di Laplace e di Fourier, ad alcune classi di equazioni integrali (con specifico riferimento alla funzione di Green). Si danno altresi' cenni di funzioni di variabile complessa, di teoria dei gruppi, e di spazi funzionali. Di ciascun argomento vengono ampiamente discusse le motivazioni e le applicazioni nel campo della fisica e, talora, di altre discipline scientifiche. Tali argomenti vengono approfonditi da esercizi (perlopiu' svolti, o con soluzione), spesso tratti da effettivi temi d'esame del corso di Metodi matematici per la fisica del corso di laurea in Fisica (Catania). Cover 1 Title Page 4 ISBN 978-88-470-1952-2 5 Indice 6 Prefazione 10 Elenco dei simboli e delle abbreviazioni 12 1 Spazi vettoriali 14 1.1 Definizioni e richiami 14 1.2 Vettori linearmente indipenti 16 1.2.1 Matrici di Pauli 19 1.2.2 Equazione di Pauli 24 1.2.3 Matrici di Dirac 28 1.3 Sistemi linear 29 1.4 Cambiamenti di base 32 1.5 Applicazioni lineaari (omomorfismi) 37 1.5.1 Cambiamento di base per gli omomorfismi 41 1.5.2 Spazio duale 43 1.5.3 Trasformazioni di similarita 44 1.6 Autovalori ed autovettori 50 1.6.2 Diagonalizzabilita 57 1.7 Funzioni di endomorfismi 59 1.7.1 Potenze e polinomi 59 1.7.2 Funzioni di endomorfismi 62 Successioni di matrici 62 Serie di matrici 66 Esponinziale di una matrice 68 1.7.3 Alcune applicazioni 70 Determinante di un esponenziale 70 Formula di Glauber 71 Relazione di Baker-Campbell-Hausdorff 74 Sistemi di equazioni differenziali lineari 75 1.7.4 Approssimazione numerica di autovalori ed autovettori 79 Metodo di Rauleigh 80 Metodo delle Potenze 80 1.8 Proprieta metriche 82 1.8.1 Norma di un endomorfismo 85 1.8.2 Disuguaglianze notevoli 87 Disuguaglianza di Holder 88 Disuguaglianza di Minkowsky 89 1.8.3 Vettori ortogonali e ortonormali 89 1.9 Particolari classi di omomorfismi e loro proprieta 91 1.9.1 Matrici hermitiane, unitarie, normali 92 1.9.2 Forma polare di una matrice 101 1.9.3 Matrici ortogonali 104 1.9.4 Integrali gaussiani 108 1.9.5 Matrici antisimmetriche 110 1.10 Tavola riassuntiva 111 1.11 Temi d'esame svolti 112 2 Serie di Fourier 134 2.1 Generalita 134 Serie trigonometrica di Fourier 134 Serie di Fourier in forma complessa 136 Funzioni periodiche con periodo diverso da 2II 145 Approssimazione mediante serie di Fourier di figure chiure chiuse in coordinate polari 146 2.2 Fenomeno di Gibbs 147 2.3 Calcolo di alcune numeriche mediante la serie di Fourier 151 2.4 Convergenza della serie di Fourier 156 2.5 Temi d'esame svolti 159 3 Cenni di Teoria delle equazioni alle derivate parziali 162 3.1 Generalita 162 3.1.1 Classificazione delle PDE del II ordine 163 3.2 Equazione della corda corda vibrante 164 3.2.1 Derivazione elementare 164 3.2.2 Problema di Cauchy e soluzione di D'Alembert 166 3.2.3 Corda vibrante 171 Con condizioni di Dirichlet (estremi Fissi) 171 Con condizioni di Neumann (esstremi scorrevoli) 176 3.3 Equazione del calore 177 3.3.1 Derivazione in una dimensione 177 3.3.2 Condizioni al contorno di Dirichlet 178 3.3.3 Condizioni al contorno di Dirichlet, non omogenee 182 3.3.4 Condizioni al contorno di Neumann 183 3.3.5 Una particolare condizione mista 185 3.4 Equazione di Laplace 188 3.4.1 Derivazione 188 Derivazione variazionale 190 3.4.2 Condizioni di Cauchy-Riemann 191 3.4.3 Trasformazioni conformi 193 3.4.4 Problema di Dirichlet per il disco unitario 195 Operatore laplaciano in coordinate polari 195 Formula di Poisson 200 3.5 Temi d'esame svolti 202 4 Funzioni di variabile complessa 206 4.1 Funzione T (z) di Eulero 206 4.2 Temi d'esame svolti 208 5 Trasformate integrali 220 5.1 Trasformata di Laplace 220 5.2 Trasformata di Fourier 234 5.2.1 Formula integrale di Fourier 234 5.2.2 Trasformata di Fourier in L1(−∞,∞) 236 5.2.3 Trasformata di Fourier in L2(−∞,∞) 237 5.2.4 Esercizi 238 5.2.5 Applicazione della trasformata di Fourier alla soluzione di alcune PDE e di alcune equazioni integrali 251 Propagazione del calore lungo una sbarra semi-infinita 251 Equazione delle onde 255 Equazione di Laplace su un semipiano 256 Equazioni integrali di convoluzione 257 5.3 Temi d'esame svolti 258 Bibliografia 300 Indice analitico 302 UNITEXT - Collana di Fisica e Astronomia 307 Front Matter....Pages I-XII Spazi vettoriali....Pages 1-120 Serie di Fourier....Pages 121-148 Cenni di teoria delle equazioni alle derivate parziali....Pages 149-192 Funzioni di variabile complessa....Pages 193-206 Trasformate integrali....Pages 207-247 Equazioni integrali e funzioni di Green....Pages 249-285 Back Matter....Pages 287-297