Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno

Document with OCR layer and detailed bookmarks. Capa......Page 1 Título......Page 2 Sumário......Page 3 I. Introdução......Page 5 1.1 Alguns Modelos Matemáticos Básicos; Campos de Direção......Page 6 PROBLEMAS......Page 10 1.2 Soluções de Algumas Equações Diferenciais......Page 12 PROBLEMAS......Page 17 1.3 Classificação de Equações Diferenciais......Page 19 PROBLEMAS......Page 24 1.4 Notas Históricas......Page 25 REFERÊNCIAS......Page 27 2.1 Equações Lineares; Método dos Fatores Integrantes......Page 28 PROBLEMAS......Page 34 2.2 Equações Separáveis......Page 36 PROBLEMAS......Page 41 2.3 Modelagem com Equações de Primeira Ordem......Page 43 PROBLEMAS......Page 50 2.4 Diferenças entre Equações Lineares e Não Lineares......Page 57 PROBLEMAS......Page 63 2.5 Equações Autônomas e Dinâmica Populacional......Page 65 PROBLEMAS......Page 72 2.6 Equações Exatas e Fatores Integrantes......Page 77 PROBLEMAS......Page 81 2.7 Aproximações Numéricas: o Método de Euler......Page 82 PROBLEMAS......Page 89 2.8 0 Teorema de Existência e Unicidade......Page 90 PROBLEMAS......Page 96 2.9 Equações de Diferenças de Primeira Ordem......Page 98 PROBLEMAS......Page 105 PROBLEMAS Problemas Variados......Page 106 III. Equações Lineares de Segunda Ordem......Page 109 3.1 Equações Homogêneas com Coeficientes Constantes......Page 110 PROBLEMAS......Page 115 3.2 Soluções de Equações Lineares Homogêneas; o Wronskiano......Page 116 PROBLEMAS......Page 123 3.3 Raizes Complexas da Equação Característica......Page 126 PROBLEMAS......Page 130 3.4 Raízes Repetidas; Redução de Ordem......Page 132 PROBLEMAS......Page 137 3.5 Equações Não Homogêneas; Método dos Coeficientes Indeterminados......Page 139 PROBLEMAS......Page 146 3.6 Variação dos Parâmetros......Page 148 PROBLEMAS......Page 151 3.7 Vibrações Mecânicas e Elétricas......Page 153 PROBLEMAS......Page 161 3.8 Vibrações Forçadas......Page 165 PROBLEMAS......Page 171 4.1 Teoria Geral para Equações Lineares de Ordem n......Page 174 PROBLEMAS......Page 179 4.2 Equaciies Homogêneas corn Coeficientes Constantes......Page 180 PROBLEMAS......Page 184 4.3 O Método dos Coeficientes Indeterminados......Page 187 PROBLEMAS......Page 189 4.4 0 Método de Variação dos Parâmetros......Page 190 PROBLEMAS......Page 192 V. Soluções em Série para Equações Lineares de Segunda Ordem......Page 193 5.1 Revisão de Séries de Potências......Page 194 PROBLEMAS......Page 198 5.2 Soluções em Série Perto de um Ponto Ordinário, Parte I ......Page 199 PROBLEMAS......Page 206 5.3 Soluções em Série Perto de um Ponto Ordinário, Parte II......Page 207 PROBLEMAS......Page 210 5.4 Equações de Euler; Pontos Singulares Regulares......Page 212 PROBLEMAS......Page 219 5.5 Soluções em Série Perto de um Ponto Singular Regular, Parte I ......Page 220 PROBLEMAS......Page 223 5.6 Soluções em Série Perto de um Ponto Singular Regular, Parte II ......Page 225 PROBLEMAS......Page 229 5.7 Equação de Bessel ......Page 231 PROBLEMAS......Page 238 REFERÊNCIAS......Page 240 6.1 Definição da Transformada de Laplace......Page 241 PROBLEMAS......Page 245 6.2 Solução de Problemas de Valores Iniciais ......Page 247 PROBLEMAS......Page 252 6.3 Funções Degrau ......Page 255 PROBLEMAS......Page 259 6.4 Equações Diferenciais sob a Ação de Funções Descontínuas ......Page 261 PROBLEMAS......Page 265 6.5 Funções de Impulso......Page 267 PROBLEMAS......Page 270 6.6 A Convolução......Page 272 PROBLEMAS......Page 276 REFERÊNCIAS......Page 278 7.1 Introdução......Page 279 PROBLEMAS......Page 282 7.2 Revisão de Matrizes......Page 285 PROBLEMAS......Page 291 7.3 Sistemas de Equações Lineares Algébricas; Independência Linear, Autovalores e Autovetores ......Page 292 PROBLEMAS......Page 300 7.4 Teoria Básica de Sistemas de Equações Lineares de Primeira Ordem......Page 301 PROBLEMAS......Page 304 7.5 Sistemas Lineares Homogêneos corn Coeficientes Constantes......Page 305 PROBLEMAS......Page 311 7.6 Autovalores Complexos......Page 314 PROBLEMAS......Page 320 7.7 Matrizes Fundamentais......Page 324 PROBLEMAS......Page 329 7.8 Autovalores Repetidos......Page 330 PROBLEMAS......Page 335 7.9 Sistemas Lineares Não Homogêneos......Page 338 PROBLEMAS......Page 343 REFERÊNCIAS......Page 345 8.1 0 Método de Euler ou Método da Reta Tangente......Page 346 PROBLEMAS......Page 352 8.2 Aprimoramentos no Método de Euler......Page 354 PROBLEMAS......Page 357 8.3 0 Método de Runge-Kutta......Page 359 PROBLEMAS......Page 361 8.4 Métodos de Passos Múltiplos......Page 362 PROBLEMAS......Page 366 8.5 Mais sobre Erros; Estabilidade......Page 367 PROBLEMAS......Page 373 8.6 Sistemas de Equações de Primeira Ordem......Page 374 PROBLEMAS......Page 376 REFERÊNCIAS......Page 377 9.1 0 Plano de Fase: Sistemas Lineares......Page 378 PROBLEMAS......Page 385 9.2 Sistemas Autônomos e Estabilidade......Page 387 PROBLEMAS......Page 393 9.3 Sistemas Localmente Lineares......Page 394 PROBLEMAS......Page 401 9.4 Espécies em Competição ......Page 404 PROBLEMAS......Page 411 9.5 Equações Predador-Presa......Page 414 PROBLEMAS......Page 419 9.6 0 Segundo Método de Liapunov......Page 421 PROBLEMAS......Page 427 9.7 Soluções Periódicas e Ciclos Limites ......Page 429 PROBLEMAS......Page 436 9.8 Caos e Atratores Estranhos: as Equações de Lorenz ......Page 439 PROBLEMAS......Page 444 X. Equações Diferenciais Parciais e Séries de Fourier......Page 446 10.1 Problemas de Valores de Contorno para Fronteiras corn Dois Pontos ......Page 447 PROBLEMAS......Page 451 10.2 Séries de Fourier ......Page 452 PROBLEMAS......Page 458 10.3 0 Teorema de Convergência de Fourier ......Page 460 PROBLEMAS......Page 464 10.4 Funções Pares e Ímpares ......Page 466 PROBLEMAS......Page 470 10.5 Separação de Variáveis, Condução de Calor em uma Barra ......Page 472 PROBLEMAS......Page 477 10.6 Outros Problemas de Condução de Calor ......Page 478 PROBLEMAS......Page 484 10.7 A Equação de Onda: Vibrações de uma Corda Elástica......Page 486 PROBLEMAS......Page 493 10.8 Equação de Laplace......Page 497 PROBLEMAS......Page 502 Apêndice A. Dedução da Equação de Calor......Page 505 Apêndice B. Dedução da Equação de Onda......Page 508 REFERÊNCIAS......Page 510 11.1 A Ocorrência de Problema de Valores de Contorno em Fronteiras corn Dois Pontos ......Page 511 PROBLEMAS......Page 515 11.2 Problemas de Valores de Contorno de Sturm-Liouville ......Page 517 PROBLEMAS......Page 524 11.3 Problemas de Valores de Contorno Não Homogêneos ......Page 527 PROBLEMAS......Page 534 11.4 Problemas de Sturm-Liouville Singulares......Page 538 PROBLEMAS......Page 542 11.5 Observações Adicionais sobre o Método de Separação de Variáveis: Uma Expansão em Funções de Bessel......Page 543 PROBLEMAS......Page 546 11.6 Séries em Funções Ortogonais: Convergência na Média ......Page 548 PROBLEMAS......Page 553 REFERÊNCIAS......Page 554 CAPÍTULO 1......Page 555 CAPÍTULO 2......Page 556 CAPÍTULO 3......Page 562 CAPÍTULO 4......Page 567 CAPÍTULO 5......Page 568 CAPÍTULO 6......Page 575 CAPÍTULO 7......Page 578 CAPÍTULO 8......Page 586 CAPÍTULO 9......Page 590 CAPÍTULO 10......Page 595 CAPÍTULO 11......Page 601