Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen Erster Band in zwei Teilen Arithmetik und Algebra Erster Teil

Title page Title page Einleitender Bericht über das Unternehmen der Herausgabe der Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Einleitung Tabelle, Liste A. Arithmetik. 1. Grundlagen der Arithmetik. Von H. SCHUBERT in Hamburg. (Abgeschlossen im Juli 1898.) 1. Zählen und Zahl 2. Addition 3. Subtraktion 4. Verbindung von Addition und Subtraktion 5. Null 6. Negative Zahlen 7. Multiplikation 8. Division 9. Verbindung der Division mit der Addition, Subtraktion und Multiplikation 10. Gebrochene Zahlen 11. Die drei Operationen dritter Stufe 2. Kombinatorik. Von E. NETTO in Giessen. (Abgeschlossen im Okt. 1898.) 1. Kombinatorik; historische Würdigung 2. Kombinatorische Operationen. Definitionen 3. Inversion; Transposition 4. Permutationen mit beschränkter Stellenbesetzung 6. Verwandte Permutationen 6. Sequenzen 7. Anwendung auf Fragen der Arithmetik 8. Kombinationen zu bestimmter Summe oder bestimmtem Produkte 9. Kombinationen mit beschränkter Stellenbesetzung 10. Tripelsysteme 11. Ausdehnung des Begriffs der Variation 12. Formeln 13. Binomialkoeffizienten 14. Anwendungen 15. Determinanten. Erklärung des Begriffs 16. Definitionen 17. Anzahl-Probleme hinsichtlich der Glieder 18. Elementare Eigenschaften 19. Laplace'sche und andere Zerlegungssätze 20. Entwicklungen 21. Komposition und Produkt 22. Andere Art von Komposition 23. Zusammengesetzte Determinanten 24. Rang der Derminante 25. Relationen zwischen coaxialen Subdeterminanten 26. Symmetrische Determinanten 27. Rekurrierende Determinanten. Cirkulanten 28. Halbsymmetrische Determinanten 29. Schiefe Determinanten 30. Centrosymmetrische und andere Determinanten 31. Weitere Determinantenbildungen 32. Determinanten höheren Ranges 33. Unendliche Determinanten 34. Matrizen 35. Monographien 3. Irrationalzahlen und Konvergenz unendlicher Prozesse. Von A. PRINGSHEIM in München. (Abgeschlossen im Sept. 1898.) 1. Irrationalzahlen. Euklid's Verhältnisse und incommensurable Grössen 2. Michael Stifel's Arithmetica integra 3. Der Irrationalzahlbegriff der analytischen Geometrie 4. Das Cantor-DedekincTsche Axiom und die arithmetischen Theorien der Irrationalzahlen 5. Die Theorien von Weierstrass und Cantor 6. Die Theorie von Dedekind 7. Du Bois-Reymond's Kampf gegen die arithmethischen Theorien 8. Die vollkommene Arithmetisierung im Sinne Kronecker's 9. Verschiedene Darstellungsformen der Irrationalzahlen und Irrationalität gewisser Darstellungsformen 10. Verschiedene Darstellungsformen der Irrationalzahlen und Irrationalität gewisser Darstellungsformen (Fortsetzung) 11. Der geometrische Ursprung des Grenzbegriffs 12. Die Arithmetisierung des Grenzbegriffs 13. Das Kriterium für die Grenzwertexistenz 14. Das Unendlichgrosse und Unendlichkleine 15. Oberer und unterer Limes 16. Obere und untere Grenze 17. Das Rechnen mit Grenzwerten. Die Zahl e = lim (1 + 1/v)v 18. Sogenannte unbestimmte Ausdrücke 19. Graduierung des Unendlich- und Nullwerdens 20. Grenzwerte zweifach-unendlicher Zahlenfolgen 21. Unendliche Reihen. Konvergenz und Divergenz 22. Die Konvergenzkriterien von Gauss und Cauchy 23. Die Konvergenzkriterien von Gauss und Cauchy (Fortsetzung) 24. Kummer's allgemeine Kriterien 25. Die Theorien von Dini, du Bois-Reymond und Pringsheim 26. Die Kriterien erster und zweiter Art 27. Die Kriterien erster und zweiter Art (Fortsetzung) 28. Andere Kriterienformen 29. Tragweite der Kriterien erster und zweiter Art 30. Die Grenzgebiete der Divergenz und Konvergenz 31. Bedingte und unbedingte Konvergenz 32. Wertveränderungen bedingt konvergenter Reihen 33. Kriterien für eventuell nur bedingte Konvergenz 34. Addition und Multiplikation unendlicher Reihen 35. Doppelreihen 36. Vielfache Reihen 37. Transformation von Reihen 38. Euler-Mac Laurin'sche Summenformel. Halb konvergente Reihen 39. Divergente Reihen 40. Divergente Potenzreihen 41. Unendliche Produkte. Historisches 42. Konvergenz und Divergenz 43. Umformung von unendlichen Produkten in Reihen 44. Faktoriellen und Fakultäten 45. Kettenstiche. Allgemeine formale Eigenschaften der Kettenbrüche 46. Rekursorische und independente Berechnung der Näherungsbrüche 47. Näherungsbrucheigenschaften besonderer Kettenbrüche 48. Konvergenz und Divergenz unendlicher Kettenbrüche. Allgemeines Divergenzkriterium 49. Kettenbrüche mit positiven Gliedern 50. Konvergente Kettenbrüche mit Gliedern beliebigen Vorzeichens 51. Periodische Kettenbrüche 52. Transformation unendlicher Kettenbrüche 53. Umformung einer unendlichen Reihe in ein äquivalenten Ketteubruch 54. Anderweitige Kettenbruchentwicklungen unendlicher Reihen 65. Kettenbrüche für Potenzreihen und Potenzreihenquotienten 56. Beziehungen zwischen unendlichen Kettenbrüchen und Produkten 57. Aufsteigende Kettenbrüche 58. Unendliche Determinanten. Historisches 59. Haupteigenschaften unendlicher Determinanten 4. Theorie der gemeinen und höheren komplexen Grössen. Von E. STUDY in Greifswald (jetzt Bonn). (Abgeschlossen im Nov. 1898.) 1. Imaginäre Grössen im 17. und 18. Jahrhundert 2. Rechnen mit Grössenpaaren 3. Gemeine komplexe Grossen 4. Absoluter Betrag, Amplitude, Logarithmus 5. Darstellung der komplexen Grossen durch Punkte einer Ebene 6. Darstellung gewisser Transformationsgruppen mit Hilfe gewöhnlicher komplexer Grossen 7. Allgemeiner Begriff eines Systems komplexer Grössen 8. Typen, Gestalten, Eeduzibilität 9. Systeme mit zwei, drei und vier Einheiten 10. Spezielle Systeme mit n2 Einheiten. Bilineare Formen 11. Spezielle Systeme mit kommutativer Multiplikation 12. Komplexe Grossen und Transformationsgruppen 13. Klassifikation der Systeme komplexer Grossen 14. Ansätze zu einer Funktionentheorie und Zahlentheorie der Systeme höherer komplexer Grossen 5. Mengenlehre. Von A. SCHÖNFLIES in Göttingen (jetzt Königsberg i. Pr.). (Abgeschlossen im Nov. 1898.) 1. Häufungsstellen von Punktmengen und deren Ableitungen 2. Der Abzählbarkeitsbegriff und das Kontinuum 3. Cantor's erste Einführung der transfiniten Zahlen 4. Transtinite Mengen. Die Mächtigkeit oder Kardinalzahl 5. Die Ordnungstypen 6. Die wohlgeordneten Mengen und ihre Abschnitte 7. Die Ordnungszahlen und die Zahlklasse Z(...0) 8. Mengen höherer Mächtigkeit 9. Die allgemeinen Rechnungsgesetze der Ordnungszahlen 10. Die Normalform der Ordnungszahlen und die ...-Zahlen 11. Allgemeine Definitionen und Formeln für Punktmengen 12. Allgemeine Lehrsätze über Punktmengen 13. Die abgeschlossenen und perfekten Mengen 14. Zerlegung einer Menge in separierte und homogene Bestandteile 15. Der Inhalt von Punktmengen 16. Das Kontinuum 17. Infinitärkalkül. Die Unendlich (U) der Funktionen 18. Das Axiom des Archimedes und die Stetigkeit 19. Die allgemeinsten Grössenklassen 6. Endliche diskrete Gruppen. Von H. BURKHARDT in Zürich. (Abgeschlossen im Nov. 1898.) 1. Pemutationen und Substitutionen 2. Ordnung einer Substitution 3. Cykeln 4. Analytische Darstellung von Substitutionen 5. Substitutionsgruppen 6. Transitivität, Primitivität 7. Symmetrische und alternierende Gruppe 8. Mögliche Ordnungszahlen von Gruppen 9. Mehrfach transitive Gruppen 10. Lineare homogene Gruppe 11. Gruppe der Modulargleichung 13. Aufzählungen von Gruppen der niedrigsten Grade 12. Andere Untergruppen der linearen homogenen Gruppe 14. Isomorphismus 15. Allgemeiner Gruppenbegriff 16. Normalteiler 17. Kompositionsreihe 18. Isomorphismen einer Gruppe mit sich selbst 19. Erzeugende Operationen. Geometrische Bilder von Gruppen 20. Abel'sche Gruppen 21. Die Sylow'schen Sätze 22. Einfache Gruppen 23. Auflösbare Gruppen 24. Gruppendeterminante B. Algebra. 1 a. Rationale Funktionen einer Veränderlichen; ihre Nullstellen. Von E. NETTO in Giessen. (Abgeschlossen im Mai 1899.) 1. Definitionen 2. Konstantenzählung. Interpolationsproblem. Partialbrüche 3. Interpolations- und Ausgleichungs-Rechnung 4. Differenzenrechnung 5. Wurzeln und ihre Multiplizität. Nullstellen 6. Ableitung und Stetigkeit 7. Fundamentaltheorem der Algebra 8. Zerlegung in Faktoren 9. Rationalitätsbereich 10. Reduktibilität. Irreduktibilität 11. Teilbarkeitseigenschaften 12. Grösster gemeinsamer Teiler 13. Irreduktible Funktionen 14. Trennung vielfacher Wurzeln 15. Algebraische Kongruenzen 16. Resultantendarstellung 17. Bedingungen für gemeinsame Teiler 18. Eigenschaften der Resultanten 19. Berechnung der Resultanten 20. Diskrimmante 21. Eigenschaften der Diskrimmante 22. Diskriminantenfläche 23. Funktionen mit reellen Nullstellen. Realitätsverhältnisse 24. Hinweise auf angrenzende Gebiete 1 b. Rationale Funktionen mehrerer Veränderlichen. Von E. NETTO in Giessen. (Abgeschlossen im Juli 1899) 1. Definitionen 2. Wurzeln. Â? Identisches Verschwinden 3. Potenzentwicklung gewisser rationaler Funktionen 4. Mehrfache Wurzeln. Â? Unendlich grosse Wurzeln 5. Reduktibilität und Irreduktibilität 6. Elimination. Â? Bézout'sche Methode 7. Poisson'sche Methode. Â? Eliminante 8. Cayley'sche und Sylvester'sche Methode 9. Kronecker sehe Methode. Â? Stufenzahl 10. Minding'sche Regel. Â? Labatie's Theorem 11. Vielfache und unendfiche Wurzeln eines Gleichungssystems 12. Auflösung linearer Gleichungen. Â? Spezielle Eliminationsprobleme 13. Eigenschaften der Eliminante 14. Resultante und ihre Eigenschaften 15. Reduzierte Resultante 16. Reduktibilität und Teilbarkeit von Gleichungssystemen 17. Diskriminante eines Gleichungssystems 18 Diskriminante einer Gleichung 19. Unabhängigkeit von Funktionen 20. Unabhängigkeit von Gleichungen 21. Funktionaldeterminante 22. Hesse'sche Determinante 23. Jacobi's Erweiterung einer Euler'sehen Formel 24. Wurzelrelationen eines Gleichungssystems. Â? Interpolation 25. Charakteristik eines Funktionenssystems 26. Modul- oder Divisorensysteme 27. Weitere Hinweise 1 c. Algebraische Gebilde. Arithmetische Theorie algebraischer Grossen. Von G. LANDSBERG in Heidelberg. (Abgeschlossen im Aug. 1899.) 1. Aufgabe der arithmetischen Theorie der algebraischen Grossen 2. Körper oder Rationalitätsbereiche 3. Ganze Grossen eines Rationalitätsbereiches; Irreduktibilität 4. Konjugierte Körper; Diskriminanten 5. Beziehungen zur Galois'schen Theorie der Gleichungen 6. Fundamentalsysteme 7. Arten oder Spezies 8. Zerlegung der ganzen Grossen in Primdivisoren oder Primideale 9. Darstellung der Primdivisoren durch Association enthaltender Gattungen oder durch Association transzendenter Funktionen 10. Die Fundamentalgleichung 11. Ausführung der arithmetischen Theorie im Einzelnen 12. Zusammenhang mit der Theorie der Modulsysteme und algebraischen Gebilde 13. Elementare Eigenschaften der Modulsysteme 14. Der Stufenbegriff. Primmodulsysteme 15. Zerlegung in Primmodulsysteme. Diskriminante eines Modulsystemes 16. Anwendungen der Modulsysteme. Komplexe Zahlen mit mehreren Einheiten 17. Dedekind's Theorie der Moduln 18. Sätze von Hubert 19. Verallgemeinerung des Teilbarkeits- und Äquivalenzbegriffes 20. Fundamentalsatz von Noether 21. Modulsysteme zweiter Stufe; ihre Normalformen 22. Darstellung algebraischer Gebilde durch rationale Parameter; Satz von Lüroth 23. Transformation algebraischer Gebilde 2. Invariantentheorie. Von W. FR. MEYER in Königsberg i. Pr. (Abgeschlossen im Sept. 1899.) 1. Keime der Theorie 2. Entwicklung des Invariantenbegriffes 3. Äquivalenz von quadratischen und bilinearen Formen und Formenscharen 4. Äquivalenz von Formen höherer als der zweiten Ordnung 5. Automorphe Formen. Invarianten endlicher Gruppen 6. Formenverwandtschaft. Endlichkeit 7. Associierte Formen und typische Darstellung 8. Syzygien 9. Abzählende Eichtung 10. Kanonisierung 11. Umkehrfragen. Irrationale Formen 12. Invariantive Prozesse. Symbolik und graphische Darstellung 13. Aronhold's Prozess. Polaren 14. Überschiebungs- und ß-Prozess. Normierung einer linearen Differentialgleichung 15. Substitution einseitiger Ableitungen 16. Substitution homogener Ableitungen 17. Reihenentwicklungen 18. Differentialgleichungen der Komitanten 19. Erweiterungen. Höhere Transformationen 20 Die erweiterte projektive Gruppe. Reciprokanten und Differentialinvarianten 21. Projektive Invarianten der Krümmungstheorie 22. Differentialformen und Differentialparameter der Flächenthorie 23. Besondere Gruppen und Formen. Seminvarianten 24. Kombinanten und Apolarität 25. Resultanten und Diskriminanten 26. Realitätsfragen 27. Weitere spezielle Formen und Gruppen 3 a. Separation und Approximation der Wurzeln. Von C. RUNGE in Hannover. (Abgeschlossen im Sept. 1899.) 1. Einleitung 2. Separation der Wurzeln. Grenzen für die Wurzeln 3. Die Differenzengleichung 4. Descartes' Zeichenregel und Budan-Fourier's Satz 5. Der Stürmische Satz 6. Cauchy's Integral 7. Charakteristiken-Theorie 8. Die quadratischen Formen im Zusammenhang mit dem Sturm'schen Satz B366 9. Numerisches Beispiel für die Separation 10. Approximation der Wurzeln. Das Newton'sche Verfahren 11. Allgemeinere Verfahren 12. Horner's Schema 13. Bernoulli's Verfahren 14. Graeffe's Verfahren 15. Die Approximation für den Fall mehrerer Veränderlichen 3 b. Rationale Funktionen der Wurzeln; symmetrische und Affektfunktionen. Von K. TH. VAHLEN in Königsberg i. Pr. (Abgeschlossen im Sept. 1899.) 1. Symmetrische Funktionen einer Grössenreihe; Definition, Hauptsatz, Bezeichnung; Anzahlen 2. Formeln und Verfahren von Gramer, Newton, Girard, Waring, Faà di Bruno 3. Reduktion einer Funktion nach Waring u. Gauss, nach Cauchy u. Kronecker 4. Das Cauchy'sche Verfahren und seine Verallgemeinerung durch Transon 5. Erzeugende Funktionen von Borchardt und Kronecker 6. Fundamentalsysteme 7. Sätze über Grad und Gewicht; Klassifikationen 8. Partielle Differentialgleichungen und Differentialoperatoren 9. Tabellen; tabellarische Gesetze. Das Cayley-Betti'sche Symmetriegegetz und seine Verallgemeinerung durch Mac Mahon 10. Mac Mahon's neue Theorie der symmetrischen Funktionen 11. Beziehungen zur Zahlentheorie 12. Spezielle symmetrische Funktionen 13. Symmetrische Funktionen von Wurzeldifferenzen; Seminvarianten 14. Zweiwertige und alternierende Funktionen 15. Mehrwertige Affektfunktionen. Gruppe 16. Allgemeine Sätze von Lagrange, Galois, Jordan 17. Mögliche Wertezahlen 18. Herstellung von Affektfunktionen, Kirkman's Problem 19. Aufzählungen 20. Rationalwerden von Affektfunktionen; Affekt einer Gleichung 21. Cyklische, cykloidische, metacyklische Funktionen 22. Durch Wurzeln auflösbare Gleichungen. Durch Quadratwurzeln auf lösbare Gleichungen 23. Gleichungen 7ten Grades, deren 30-wertige Affektfunktionen rational sind 24. Funktionen von mehreren Variabeinreihen, Wurzeln von Gleichungssystemen. Berechnung symmetrischer Funktionen nach Poisson, v. Escherich 25. Symmetrische Funktionen von Reihen von Variabein, die von einander unabhängig sind. Sätze, Formeln, Verfahren von Mertens, Waring, Schläfli, Mac Mahon, Junker 26. Relationen zwischen den elementar-symmetrischen Funktionen: Brill und Junker 27. Allgemeinere Funktionen 3 c, d. Gralois'sche Theorie mit Anwendungen. Von O. HÖLDER in Leipzig. (Abgeschlossen im Okt. 1899.) 1. Einleitung 2. Definition der Gruppe einer Gleichung 3. Weitere Eigenschaften der Gruppe 4. Wirkliche Herstellung der Gruppe 5. Monodromiegruppe 6. Transitivität und Primitivität 7. Adjunktion einer natürlichen Irrationalität 8. Cyklische Gleichungen 9. Reine Gleichungen 10. Zerlegung des Gleichungsproblems durch Resolventenbildung 11. Adjunktion einer accessorischen Irrationalität 12. Adjunktion eines Radikals 13. Begriff der Auflösung 14. Kriterium der Auflösbarkeit 15. Behandlung nicht auflösbarer Gleichungen 16. Allgemeine Gleichungen 17. Gleichungen der ersten vier Grade 18. Nichtauflösbarkeit der allgemeinen Gleichungen höherer Grade 19. Gleichungen mit regulärer Gruppe 20. Gleichungen mit kommutativer (permutabler) Gruppe 21. Abel'sche Gleichungen 22. Kreisteilungsgleichungen 23. Teilungs- und Transformationsgleichungen der elliptischen Funktionen 24. Reduktion von Gleichungen auf Normalformen 25. Irreducible Gleichungen von Primzahlgrad 26. Sylow'sche Gleichungen 27. Casus irreducibilis der kubischen Gleichung 28. Konstruktion mit Zirkel und Lineal 29. Geometrische Gleichungen 3 e. Gleichungssysteme. (Siehe B 1 b. und B 3 b.). 3 f. Endliche Gruppen linearer Substitutionen. Von A. WIMAN in Lund. (Abgeschlossen im Dez. 1899.) 1. Periodische Substitutionen 2. Endliche binäre Gruppen 3. Erweiterungen 4. Algebraisch integrierbare lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung 5. Endliche tern'äre Gruppen 6. Algebraisch integrierbare lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung 7. Gruppen aus den regulären Körpern in höheren Räumen 8. Invariante definite Hermite'sche Formen 9. Erste Auflösung der Gleichungen 5. Grades 10. Lösung durch Vermittlung der Jacobi'schen Gleichungen 6. Grades 11. Satz betreffend die Möglichkeit von Resolventen mit nur einem Parameter 12. Lösung durch die Ikosaederirrationalität 13. Zurückführung der Gleichungen 5. Grades auf ein ternäres Formenproblem 14. Auflösung durch elliptische Transformationsgrössen und hypergeometrische Funktionen 15. Die allgemeinen algebraischen Formenprobleme 16. Gleichungen 7. Grades mit einer Gruppe von 168 Substitutionen 17. Kollineationsgruppen der elliptischen Normalkurven 18. Gruppen aus der elliptischen Transformationstheorie 19. Mit den Gleichungen 6. u. 7. Grades isomorphe quaternäre Formenprobleme 20. Reduktion der allgemeinen Gleichungen 6. Grades auf ein ternäres Formenproblem 21. Satz über die allgemeinen Gleichungen höheren Grades 22. Quaternäre Gruppe von 11520 Kollineationen 23. Quaternäre und quinäre Gruppen aus der Dreiteilung der hyperelliptischen Funktionen 24. Gruppen von eindeutigen Transformationen einer algebraischen Kurve in sich 25. Endliche Gruppen von birationalen Transformationen 26 Erweiterung auf unendliche diskontinuierliche Gruppen