Encyclopaedie der mathematischen Wissenschaften und Anwendungen. Analysis Band 2, Teil 3, Heft 1

BAND TITELBLATT VERZEICHNIS_INHALT Berichtigungen zu Band II. C. Nachträge. 1. Algebraische Analysis. Von ALFRED PRINGSHEIM in München und GEORG FABER in Karlsruhe, jetzt in München. (Abgeschlossen im November 1908.) Einleitung: Historisches 1. Potenzreihen. Der Konvergenzkreis 2. Verhalten von Potenzreihen auf dem Konvergenzkreise 3. Weitere Fundamentaleigenschaften von Potenzreihen 4. Rationale Funktionen und rekurrente Reihen 5. Der allgemeine binomische Satz 6. Die Exponentialreihe 7. Der natürliche Logarithmus und die allgemeine Potenz 8. Die logarithmische Reihe 9. Die Berechnung der Logarithmen 10. Die Funktionen sin x und cos x 11. Die zyklometrischen Funktionen 12. Unendliche Produkte für sin x und cos x 13. Partialbruchreihen für tg x, cot a x, cosec x, sec x 14. Potenzreihen für tg x, cot x, eosec x, sec x, lg ..., Ig cos a x 15. Die hypergeometrische Reihe 2. Numerische und graphische Quadratur und Integration gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen. Von C. RUNGE in Göttingen und FR. A. WILLERS in Charlottenburg. (Abgeschlossen im Februar 1915.) I. Numerische und graphische Quadratur. 1. Allgemeines 2. Methoden, die gegebene Abszissen verwenden a) Allgemeines b) Formeln von Newton-Cotes c) Formeln von Mac Laurin 3. Methode von Gauß a) Bestimmung der Abszissen b) Die Koeffizienten c) Fehlerabschätzung 4. Spezielle Fälle der Gaußschen Formel a) ... (x)=1 b) ... (x) = (1 Â? x)...(1 +x) c) ... d) ...p(x) = ... e) ...7 f) ... (x) = yx (x Â? cc)(x Â? ß) g) ...(x) = .... h) ...(x) = ... 6. Verallgemeinerung der Methode von Gauß a) Formeln von August b) Verallgemeinerung von Christoffel c) Mehrfache Integrale 6. Methode von Massau 7. Methoden, bei denen die Koeffizienten gegeben sind a) Allgemeines b) g > (x) ist eine gerade Funktion c) y (x) ist eine ungerade Funktion 8. Formeln, die durch Kombination entstehen 9. Die Eulersche Formel 10. Formeln der Differenzenrechnung 11. Annäherung durch mehrere Parabeln 12. Methoden der graphischen Quadratur a) Allgemeines b) Bestimmung der mittleren Ordinaten und Abszissen c) Einzeichnung der Integralkurve . . d) Erweiterungen und Ergänzungen e) Einige Anwendungen der graphischen Quadratur 13. Kubatur a) Kubatur durch einfache Quadratur b) Allgemeine Betrachtungen c) Bestimmte Begrenzungen d) Zerlegung in Teilgebiete e) Graphische Methoden 14. Differentiation a) Die numerische Differentiation b) Graphische Differentiation II. Numerische und graphische Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen. 15. Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen a) Methode von E. Czuber b) Methode der Isokimen c) Methode der Krümmungsradien 16. Eine Reihe mehr rechnerischer Methoden a) Ältere Methoden b) Methode von Runge-Heun-Kutta c) Methoden der Differenzenrechnung 17. Asymptotische Integration 18. Methode der sukzessiven Approximation a) Graphische Methode b) Numerische Methoden c) Methoden der Himmelsmechanik III. Graphische und numerische Integration partieller Differentialgleichungen. 19. Partielle Differentialgleichungen mit reeller Charakteristik a) Lineare Differentialgleichung b) Differentialgleichungen zweiter Ordnung c) System zweier simultanen linearen Differentialgleichungen 20. Zur Integration der partiellen Differentialgleichungen mit imaginären Charakteristiken a) Methoden, die alle Randbedingungen approximieren b) Methoden, die eine Randbedingung streng erfüllen und das Integrationsnetz durch endliche Stücke approximieren c) Eine Methode, die alle Randbedingungen streng erfüllt und durch endliche Stücke approximiert d) Methoden, die die Randbedingungen streng erfüllen und das Netz infinitesimal approximieren 21. Numerische Integration partieller Differentialgleichungen a) Übertragung der Methoden von Runge-Heun-Kutta b) Eine andere Methode ersetzt die Differentialgleichung durch eine Differenzengleichung c) Methode von Rayleigh-Ritz 22. Experimentelle Methoden 3. Neuere Entwicklung der Potentialtheorie. Konforme Abbildung. Von L. LICHTENSTEIN in Berlin, jetzt in Leipzig. (Abgeschlossen im Mai 1918.) I. Definitionen und Bezeichnungen. 1. Allgemeines über zwei- und dreidimensionale Gebiete 2. Spezielle Klassen ebener und räumlicher Gebiete 3. Ortsfunktionen 4. Allgemeines über unendlich vielblättrige schlichtartige Gebiete II. Allgemeine Sätze der Potentialtheorie. 5. Definition der Potentialfunktion 6. Potential einer einfachen Belegung 7. Potential einer Doppelbelegung 8. Logarithmisches Potential einer ebenen Flächenbelegung. Potential einer Volumladung 9. Newtonsches Potential einer einfachen Linienbelegung 10. Greensche Formeln. Allgemeine Eigenschaften der Potentialfunktionen 11. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen III. Besondere Methoden für einzelne Klassen zwei- und dreidimensionaler Gebiete. Spezielle Theorie der konformen Abbildung. 12. Die erste und die zweite Randwertaufgabe. Problemstellung und Unitätssätze 13. Explizite Lösung der ersten Randwertaufgabe für die Kreisfläche und den Kugelkörper a) Die Poissonschen Integrale b) Entwicklungssatz. Folgerungen 14. Kreisringfläche. Entwicklungssatz. Folgerungen 15. Positive Potentialfunktionen 16. Die Sätze von A. Harnack 17. Methode des arithmetischen Mittels a) Allgemeine Ansätze und Resultate von C. Neumann und G. Robin b) Die grundlegende Wendung durch H. Poincare c) Weiterführung der Poincareschen Methoden d) Zurückführung auf eine lineare Integralgleichung 18. Verhalten der Lösung des ersten Randwertproblems am Rande des Definitionsgebietes 19. Lösung des ersten Randwertproblems als Potential einer einfachen Belegung 20. Stetig gekrümmte Gebiete. Greensche Funktion. Greensche Formel 21. Stetig gekrümmte Gebiete. Greensche Punktionen zweiter Art 22. Konforme Abbildung einfach zusammenhängender Gebiete der Klasse B in ... auf ein Kreisgebiet 23. Gebiete der Klasse D in ... . Konforme Abbildung 24. Kombinatorische Methoden a) Alternierendes Verfahren. Drei Grund typen von Aufgaben b) Ebene Gebiete der Klasse E und M. Das erste Randwertproblem c) Gebiete der Klasse E und M in ... . Konforme Abbildung auf analytische Gebiete. Das zweite Randwertproblem d) Lösungen mit vorgeschriebenen Periodizitätsmoduln e) Zweidimensionale Gebiete auf einer Fläche im Räume. Konforme Abbildung auf ebene Gebiete f) Gebiete in ... . Existenzsätze der Riemannschen Theorie g) Weitere Anwendung des alternierenden Verfahrens h) Strömungspotential. Abbildung auf ein Schlitzgebiet i) Gemischte Randbedingungen j) Weitere kombinatorische Methoden 25. Kreispolygonflächen. Polyeder 26. Konvexe Gebiete. Rundungsschranke. Bedingungen für die Schlichtheit einer Abbildung 27. Konforme Abbildung mehrfach zusammenhängender Gebiete 28. Das dritte Randwertproblem 29. Weitere Randwertaufgaben 30. Die Poissonsche Differentialgleichung 31. Einzelbetrachtang besonderer Gebiete 32. Wirkliche Bestimmung der Lösung von Randwertaufgaben. Besondere Ansätze 33. Lösung in Abhängigkeit von der Begrenzung IV. Umfassende Methoden. Allgemeine Theorie der konformen Abbildung. 34. Leitgedanken. Heuristisches 35. H. A. Schwarz, Zur Theorie der Abbildung 36. Ergebnisse von A. Harnack. Methode de balayage von H. Poincaré 37. H. Poincaré, Sur un theoreme de la theorie generale des fonctions 38. Einfach zusammenhängende schlichte Gebiete. Greensche Funktion. Konforme Abbildung auf ein Kreisgebiet 39. Auflösung des ersten Randwertproblems in der Ebene 40. Einfach zusammenhängende Gebiete der allgemeinsten Natur a) H. Poincaré, Sur l'uniformisation des fonctions analytiques b) P. Koebe, Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven 41. Zweidimensionale schlichtartige Gebiete der allgemeinsten Natur 42. Das Strömungspotential 43. Das iterierende Verfahren von P. Koebe 44. Konforme Abbildung eines p-fach zusammenhängenden Gebietes in ... auf ein Vollkreisgebiet 45. Variationsmethoden a) Allgemeines b) Die ersten Arbeiten von D. Hubert c) Auflösung des ersten Randwertproblems in der Ebene und im Räume d) Strömungspotential. Der Hilbertsche Ansatz. Konforme Abbildung auf ein Schlitzgebiet 46. Kontinuitätsmethode im Gebiete der konformen Abbildung 47. Funktionentheoretische Richtung 48. Abbildung des Randes a) Besondere Klassen schlichter Gebiete b) Allgemeine Theorie 49. Variable Gebiete 4. Neuere Untersuchungen über Funktionen von komplexen Variablen. Von LUDWIG BIEBERBACH in Frankfurt a. M., jetzt in Berlin. (Abgeschlossen am 1. Dezember 1920.) Grundlagen der Theorie. 1. Definition des analytischen Charakters einer Punktion 2. Der Fundamentalsatz der Funktionentheorie 3. Die Integralformel 4. Erweiterungen 5. Begriff der analytischen Funktion 6. Kiemannsche Mannigfaltigkeiten 7. Uniformisierung 8. Begriff der singulären Stelle 9 Begriff der Umgebung einer singulären Stelle 10. Eindeutige isolierte Singularitäten 11. Mehrdeutige isolierte Singularitäten 12. Der Monodromiesatz 13. Verteilung der Singularitäten bei eindeutigen Funktionen Der Picardsche Satz. 14. Der Picardsche Satz 15. "Elementare" Methoden 16. Der Landausche Satz 17. Verallgemeinerungen 18. Der Schottkysche Satz 19. Erweiterungen Weiteres über das Verhalten in der Nähe wesentlich singulärer Stellen. 20. Grundbegriffe 21. Geradlinige Annäherung an singuläre Stellen 22. Sätze von W. Groß 23. Werteverteilung in Winkelräumen 24. Ränderzuordnung bei konformer Abbildung 25. Der Fatousche Satz Ganze transzendente Funktionen. 26. Weierstraß 27. Laguerre 28. Poincare. Hadamard. Borel 29. Grundbegriffe 30. Ordnung und Koeffizienten 31. Ordnung und Grenzexponent 32. Ausnahmefälle 33. Bestimmung des Geschlechtes aus den Koeffizienten 34. Das Geschlecht von Summe und Ableitung 36. Funktionen unendlicher Ordnung und Funktionen der Ordnung Null 36. Beziehungen zwischen dem Maximalbetrag einer ganzen Funktion und dem Betrag des größten Gliedes ihrer Potenzreihenentwicklung Analytische Fortsetzung. 37. Die erste Methode Mittag-Lefflers 38. Methode der konformen Abbildung 39. Modifikation der Methode durch Painleve 40. Der Hauptstern als Konvergenzstern 41. Zurückführung auf die Summation der geometrischen Reihe 42. Integraldarstellungen 43. Eine neue Methode Mittag-Lefflers 44. Verallgemeinerungen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten eines Fnnktionselementes und den Singularitäten der durch dasselbe definierten Funktion. 45. Die Singularitäten auf dem Konvergenzkreis 46. Der Hadamardsche Multiplikationssatz 47. Der Satz von Leau 48. Sätze von Lindelöf 49. Eekurrierende Reihen 50. Untersuchungen von Darboux 51. Die Lage der Pole Die Potenzreihen an der Konvergenzgrenze. 52. Der Abelsche Grenzwertsatz 53. Die Hölderschen und die Cesäroschen Mittel 54. Weitere Summationsmethoden 55. Beziehungen zwischen den verschiedenen Summationsmethoden 56. Das Wachstum der Funktion bei Annäherung der Variablen an die Konvergenzgrenze Reihen analytischer Funktionen. 57. Eigenschaften der Summen konvergenter Reihen von analytischen Funktionen 58. Der Vitalische Satz 59. Weiteres über Reihen analytischer Funktionen Funktionenfamilien. 60. Die Taylorkoeffizienten beschränkter Funktionen 61. Jensens Verallgemeinerung des Schwarzsehen Lemmas 62. Die Funktionen M(r), ...(r), ...(r) 63. Schwankungen 64. Schlichte Familien 65. Familien, die schlicht und beschränkt zugleich sind 66. Konvexe Familien Arithmetische Eigenschaften analytischer Funktionen. 67. Arithmetische Eigenschaften analytischer Funktionen Analytische Funktionen von mehreren komplexen Yariabeln. 68. Definition des analytischen Charakters einer Funktion 69. Die Konvergenz der Potenzreihen in zwei komplexen Veränderlichen 70. Die singulären Stellen der analytischen Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen 71. Meromorphe Funktionen 72. Implizite Funktionen 73. Analytische Abbildungen 5. Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen. Von K. HENSEL in Marburg a. L. (Abgeschlossen im März 1921.) I. Der Körper K(z) der rationalen Funktionen von z. 1. Untersuchung der rationalen Funktionen von z für eine Stelle dieser Variablen 2. Der Körper K(p) aller zur Stelle ... gehörigen Potenzreihen und der Unterkörper K(p) der zu p gehörigen konvergenten Potenzreihen 3. Untersuchung der rationalen Funktionen von z für alle Stellen der ganzen Kugelfläche. Die rationalen Divisoren II. Der Körper K(u, z) der algebraischen Funktionen einer Variablen. 4. Allgemeine Sätze über die algebraischen Funktionen 5. Untersuchung der Funktionen des Körpers K(u, z) in der Umgebung einer Stelle p der unabhängigen Variablen 6. Die Grundgleichung ist für den Bereich K(p) irreduktibel 7. Allgemeiner Fall: Die Grundgleichung zerfällt innerhalb K(p) in mehrere irreduktible Faktoren 8. Die dem Körper K(u, z) zugeordnete Eiern an nsche Kugelfläche kz 9. Direkte Berechnung der zu einer Stelle p gehörigen Wurzelzyklen. Das zu p gehörige Diagramm 10. Untersuchung der algebraischen Funktionen des Körpers für alle Stellen der Riemannschen Kugelfläche .... Die algebraischen Divisoren 10 a. Die arithmetischen Begründungen des Punktbegriffes 11. Untersuchung der Funktionen des Körpers K(u, z) in bezug auf ihre Teilbarkeit durch einen beliebigen Divisor 12. Die algebraischen Systeme und ihre Elementarteiler 13. Die eindeutigen Transformationen des Körpers K(u, z) in den ihm gleichen K(y, x) bei beliebiger Annahme der unabhängigen Variablen x 14. Die Einteilung der algebraischen Divisoren in Klassen 15. Die Divisorenscharen und ihre Invarianten 16. Die ganzen Divisoren einer Klasse Q III. Die zu dem Körper K (y, x) gehörigen Abelschen Integrale. 17. Die Abelschen Integrale 18. Die Differentiale der Elemente des Körpers K und die zugehörigen Divisoren 19. Die Differentialklasse W 20. Die Fundamentalaufgabe in der Theorie der Abelschen Integrale. Der Riemann-Rochsche Satz 21. Die Elementarintegrale erster, zweiter und dritter Gattung 22. Spezialisierung für die Integrale mit rationalem Integranden IV. Die zum Körper K (y, x) gehörigen algebraischen Kurven. 23. Die ebenen algebraischen Kurven und ihre singulären Punkte 24. Der zur Kurve ... gehörige Divisor der Doppelpunkte 25. Auflösung der Singularitäten einer Kurve 26. Die zu einer Gleichung F(x, y) gehörigen Funktionenringe 27. Darstellung der zum Körper K gehörigen Kurven durch homogene Koordinaten 28. Die Differentialteiler einer Divisorenschar und ihre Anwendung in der Geometrie. Die Plückerschen Formeln 29. Theorie der algebraischen Raumkurven V. Die Klassen algebraischer Gebilde. 30. Die Hauptkurve eines Körpers und ihre Weierstraßpunkte 31. Die Normalgleichungen und die Moduln der algebraischen Körper 32. Die Normalgleichungen und die Moduln der allgemeinen Körper vom Geschlecht p VI. Algebraische Relationen zwischen Abelschen Integralen. 33. Algebraische Normierung der Fundamentalintegrale erster und zweiter Gattung 34. Die Integrale dritter Gattung und der Satz von der Vertauschung von Parameter und Argument 35. Einteilung aller Wege auf einer Riemannschen Fläche in Klassen 36. Die Fundamentalsysteme von Periodenwegen für eine Riemannsche Fläche 37. Die Periodenrelationen der Integrale erster und zweiter Gattung 38. Die Beziehungen zwischen den verschiedenen Fundamentalsytemen von Periodenwegen 39. Die Perioden der Integrale zweiter und dritter Gattung als Funktionen ihrer Unstetigkeitspunkte 40. Die Primfunktionen. Zerlegung der Funktionen des Körpers in Primfunktionen 41. Das Abelsche Theorem als Additionsprinzip der Integrale 42. Die aus dem Abelschen Theorem folgenden Eeduktionsprobleme 43. Das Umkehrproblem für die Abelschen Integrale VII. (Anhang.) Arithmetische Theorie der algebraischen Zahlen. 44. Der Körper k(1) der rationalen Zahlen und der Körper K (p) der p-adi-schen Zahlen 45. Die algebraischen Zahlkörper und die ihnen isomorphen rationalen Kongruenzkörper 46. Untersuchung der rationalen Kongruenzkörper für den Bereich einer Primzahl p. Ihre Eeduktion auf die p-adischen Kongruenzkörper 47. Die p-adischen Kongruenzkörper und die ihnen isomorphen Körper K(ß) der sr-adischen algebraischen Zahlen 48. Der zu einer vorgelegten Gleichung F(x) = 0 zugehörige Galoissche n-adische Zahlkörper 6. Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen zweier unabhängigen Veränderlichen. Von HEINRICH W. E. JUNG in Halle a. S. (Abgeschlossen im April 1921.) I. Einleitung. II. Der Körper der algebraischen Funktionen zweier Veränderlichen. 1. Die Darstellung der Funktionen des Körpers in der Umgebung einer Kurve 2. Die Darstellung der Funktionen des Körpers in der Umgebung einer Stelle 3. Die Stellen des Körpers K(x, y, z) III. Primteiler und Divisoren. 4. Die Primteiler erster Stufe 5. Die Einteilung der Primteiler erster Stufe in zwei Arten 6. Die Primteiler zweiter Stufe 7. Divisoren, Divisorenklassen 8. Grad und Geschlecht einer Klasse 9. Birationale Transformation 10. Fundamentalsysteme für die Vielfachen eines Divisors IV. Die Zeuthen-Segresche Invariante und das numerische Geschlecht. 11. Die Fläche F 12. Die Zeuthen-Segresche Invariante 13. Das numerische oder arithmetische Geschlecht pa von F