Encyclopaedie der mathematischen Wissenschaften und Anwendungen. Analysis Band 2, Teil 2

BAND TITELBLATT VERZEICHNIS_INHALT B. Analysis der komplexen Größen. 1. Allgemeine Theorie der analytischen Funktionen a) einer und b) mehrerer komplexen Größen. Von W. F. OSGOOD in Cambridge, Mass. Einleitende Bemerkungen I. Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Größe. 1. Die Bereiche T, B, T 2. Funktionen eines komplexen Arguments; analytische Funktionen 3. Der Cauchysche Integralsatz; das Residuum 4. Die Cauchysche Integralformel; isolierte singuläre Punkte 5. Die konforme Abbildung im Kleinen 6. Gleichmäßige Konvergenz 7. Die Cauchy-Taylorsche Reihe nebst Anwendungen 8. Der Punkt z = ... 9. Der Laurentsche Satz; die rationalen Funktionen 10. Mehrdeutige Funktionen; Schleifenwege 11. Die Riemannsche Fläche; das Verhalten einer mehrdeutigen Funktion im Kleinen 12. Fortsetzung; algebraische Funktionen 13. Die analytische Fortsetzung; endgültige Definition der analytischen Funktion; das analytische Gebilde 14. Geometrische Deutung durch ebene und Raumkurven 15. Die Lagrange'sche Reihe 16. Funktionalgleichungen 17. Bestimmte und Schleifenintegrale 18. Die Umkehrfunktion und die konforme Abbildung im Großen II. Die geometrische Fnnktlonentheorie. 19. Riemanns neue Grundlagen für die Funktionentheorie 20. Das Prinzip der Symmetrie; analytische Fortsetzung 21. Die konforme Abbildung analytisch begrenzter Bereiche auf den Kreis; geradlinige und Kreisbogenpolygone 22. Die Riemannsche Fläche als definierendes Element; algebraischer Fall 23. Die konforme Abbildung mehrfach zusammenhängender Bereiche aufeinander; algebraischer Fall 24. Funktionen mit Transformationen in sich; periodische Funktionen 25. Der Fundamentalbereich; zunächst der Bereich ...; die Ecken 26. Fortsetzung; Funktionen auf ... Definition des Fundamentalbereiches 27. Der algebraische Fall; symmetrische Riemannsche Flächen 28. Parameterdarstellung durch eine uniformisierende Variable 29. Der Picardsche Satz III. Untersuchung der analytischen Funktionen mittels ihrer Darstellung durch unendliche Reihen und Produkte. 30. Weierstraß 31. Der Weierstraßsche Satz 32. Der Mittag-Lefflersche Satz 33. Verallgemeinerung der Sätze von Nr. 31 und 32 34. Punktionen mit vorgegebenem Definitionsbereich 35. Auf dem Konvergenz kreis gelegene singuläre Punkte, insbesondere Pole, und die Koeffizienten der Potenzreihe 36. Die Nullpunkte einer analytischen Funktion, insbesondere einer ganzen Funktion 37. Die Stärke des Unendlichwerdens einer ganzen Funktion, die Koeffizienten der Taylorsehen Reihe und die Höhe der Funktion 38. Annäherungöformeln; Reihenentwickelungen nach Polynomen 39. Kettenbruchentwickelungen IV. Analytische Funktionen mehrerer komplexen Größen. 40. Die Bereiche (T), (B), (T'); analytische Funktionen 41. Der Cauchysche Integralsatz; das Residuum 42. Die Cauchysche Integralformel; singuläre Punkte 43. Gleichmäßige Konvergenz; die Cauchy-Taylorsche Reihe 44. Implizite Funktionen 45. Der Weierstraßsche Satz und die Teilbarkeit im Kleinen. 46. Die Parameterdaratellung im Kleinen; implizite Funktionen 47. Das analytische Gebilde 48. Einige Sätze über das Verhalten im Großen 49. Homogene Variable 2. Algebraische Funktionen und ihre Integrale. Von W. WIRTINGER in Innsbruck, jetzt in Wien. A. Allgemeines. 1. Definition 2. Die algebraische Funktion in der Umgebung einer einzelnen Stelle 3. Das algebraische Gebilde 4. Die Riemannsche Fläche 5. Zusammenhang und Geschlecht der Riemannschen Fläche 6. Zerschneidung der Riemannschen Fläche; Querschnitte 7. Spezialfälle und Normalfonnen 8. Funktionen am algebraischen Gebilde und der Riemannschen Fläche 9. Der Körper der rationalen Funktionen, Transformation des Gebildes und die Riemannsche Klasse. Erhaltung von p 10. Bedeutung des Klassenbegriffes . 11. Die Integrale der algebraischen Funktionen; ihre Perioden 12. Riemanns Problemstellung 13. Verallgemeinerung der Riemannschen Fläche 14. Die allgemeinsten Riemannschen Mannigfaltigkeiten 16. Potentiale und Funktionen auf der allgemeinen Riemannschen Fläche 16. Die drei Gattungen von Integralen 17. Relationen zwischen den Perioden 18. Die transzendent normierten Integrale 19. Darstellung der Funktionen der Fläche durch die Integrale der drei Gattungen B. Besondere Darstellungen und Funktionen. 20. Darstellung der Integranden als rationale Funktionen von x, y 21. Fortsetzung. Homogene Variable. Die Formen 22. Definition des Geschlechtes auf Grund der Formen 23. Die Theorie von Weierstraß 24. Die Fälle p = 0, 1 25. Äquivalente Systeme von Stellen, Scharen von Stellen und Funktionen 26. Die algebraischen Kurven im Eaume von q Dimensionen 27. Die Darstellung der algebraischen Funktionen an der Baumkurve 28. Die Normalkurve der ... 29. Spezialfunktionen und Spezialscharen 30. Normalformen 31. Die Moduln einer Klasse von algebraischen Gebilden 32. Vertauschung von Parameter und Argument 33. Integrale zweiter Gattung, Normalkombinationen 34. Fortsetzung, die Weierstraßschen Periodenrelationen 36. Die Reduktion der allgemeinsten algebraischen Integrale 36. Die Integration durch algebraische Funktionen und Logarithmen 37. Kleine kanonische Kurven 38. Primfunktionen und Primformen 39. Fortsetzung 40. Wurzelfunktionen und -formen. Multiplikative Funktionen und Formen C. Das Abelsche Theorem. 41. Das Abelsche Theorem 42. Das Abelsche Theorem für die drei Gattungen des Integrals; spätere Beweise 43. Die Differentialgleichungen des Abelschen Theorems 44. Die Umkehrung des Abelschen Theorems und die Erweiterung der Umkehrung 45. Anwendungen und Erweiterungen des Abelschen Theorems D. Ergänzungen. 46. Die Abelschen Reduktionstheoreme 47. Das Problem der Transformation der Abelschen Integrale 48. Spezielle Reduktionsuntersuchungen 49. Binomische Integrale 50. Hyperelliptische Integrale E. Korrespondenz und singuläre Gebilde. 51. Korrespondenzen auf dem algebraischen Gebilde 52. Die allgemeine Korrespondenztheorie von Hurwitz und die singulären Gebilde 53. Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich 54. Symmetrie und Realität F. Mehrere Variable. 55. Algebraische Funktionen mehrerer Variablen 66. Die Geschlechtszahlen der Fläche 67. Untersuchungen nach transzendenter Richtung 3. Elliptische Funktionen. Mit Benutzung von Vorarbeiten und Ausarbeitungen der Herren J. HARKNESS in Montreal, Canada, und W. WIRTINGER in Wien von R. FRICKE in Braunschweig. I. Ältere Theorie der elliptischen Integrale. 1. Definition und erstes Auftreten der elliptischen Integrale 2. Eulers Entdeckung der Additionstheoreme 3. Beziehungen zwischen Euler und Lagrange 4. A. M. Legrendres Bedeutung für die Theorie der elliptischen Funktionen 5. Legendres Normalintegrale 6. Legendres Gestalt der Additionstheoreme 7. Die Landensche Transformation und die numerische Berechnung der Integrale bei Legendre 8. Die vollständigen Integrale und die Legendresche Relation. Differential-gleichungen und Reihen 9. Die Vertauschung von Parameter und Argument bei Legendre 10. Reduktion höherer Integrale auf elliptische und Transformation dritter Ordnung II. Die elliptischen Funktionen bei Abel, Jacobi und Gauß. 11. Die Umkehrung des Integrals erster Gattung und die doppelte Periodizität bei Abel 12. Die Multiplikation und die allgemeine Teilung der elliptischen Funktionen bei Abel 13. Die spezielle Teilung der elliptischen Funktionen bei Abel 14. Abels allgemeine Formeln für die Multiplikation der elliptischen Funktionen 15. Unendliche Doppelreihen und Doppelprodukte für die elliptischen Funktionen 16. Abels einfach unendliche Reihen und Produkte für die elliptischen Funktionen 17. Abels Transformation der elliptischen Funktionen 18. Abels Entdeckung der komplexen Multiplikation 19. Die weiteren Untersuchungen Abels. Das allgemeine Transformationsproblem 20. Jacobis erste Arbeiten 21. Die einführenden Abschnitte der "Fundamenta nova" 22. Jacobis Behandlung der Transformationstheorie auf Grund der Umkehrfunktion 23. Die supplementären Transformationen und die Multiplikation 24. Die Differentialgleichung der Modulargleichung. Die arithmetischen Relationen zwischen K und K' sowie A und A' 25. Jacobis Darstellung der elliptischen Funktionen als Quotienten einfach unendlicher Produkte 26. Die Integrale zweiter und dritter Gattung bei Jacobi 27. Jacobis Thetafunktionen 28. Die Integrale zweiter und dritter Gattung ausgedrückt durch die Thetafunktion 29. Die elliptischen Funktionen selbst ausgedrückt durch die Funktionen O, -H 30. Die fundamentalen Eigenschaften der Funktionen H (u) und O(u) 31. Die Reihenentwicklungen von O(u) und H (u) 32. Die Theorie der elliptischen Funktionen aus den Eigenschaften der Thetareihen abgeleitet 33. Der Zusammenhang zwischen q und k2 34. Gauß' Entwicklungen über das arithmetisch-geometrische Mittel 35. Gauß' Entwicklungen über die lemniskatische Funktion 36. Die allgemeinen elliptischen Funktionen bei Gauß 37. Multiplikation, Division und Transformation der elliptischen Funktionen bei Gauß III. Die elliptischen Funktionen in der Zeit zwischen Abel und Riemann. 38. Das Periodenparallelogramm und die eindeutigen doppeltperiodischen Funktionen 39. Fortbildung der algebraischen Grundlage unter Cauchys Einfluß 40. Hermites erste Arbeiten über elliptische Funktionen 41. Hermites Normalform des elliptischen Integrals erster Gattung 42. Spätere Arbeiten Hermites über doppeltperiodische Funktionen 43. Hermites Arbeiten über die Transformationstheorie 44. Arbeiten Jacobis und seiner Schüler 45. Untersuchungen von Eisenstein IV. Grundlagen der Theorie der elliptischen Funktionen nach neueren Anschauungen. 46. Zweiblättrige Riemannsche Flächen mit vier Verzweigungspunkten; Verzweigungsform 47. Normalgestalten der Verzweigungsform 48. Die algebraischen Funktionen und Integrale der F2 49. Gestalten der Normalintegrale 50 Abbildung der Fläche F2 durch das Integral erster Gattung 51. Die Funktionen der Fläche F2 in Abhl;ngigkeit von u betrachtet 52. Analytische Darstellungen für ?(u) ?(u) und ?(u) 53. Allgemeinste Zerschneidung der Fläche F, und lineare Transformation der Perioden 54. Independente Erklärung doppeltperiodischer Funktionen. Gruppentheoretische Auffassung 55. Die Weierstraß sehe Funktion ?(u) 56. Darstellung der doppeltperiodischen Funktionen durch G(U), ?(U) usw. 57. Darstellung des Integrals dritter Gattung durch die 6-Funktion 58. Die elliptischen Funktionen, betrachtet als Funktionen von drei Argumenten 59. Die Differentialgleichungen der Perioden 60. Kleins Prinzip der Stuf enteilung 61. Die Wurzelfunktionen y 3 38. Weitere Folgerung aus der Riemannschen Thetaformel V. Die allgemeinen Thetafunktionen mit rtel Charakteristiken. 39. Die Funktionen ...[E]r ((v)) 40. Periodencharakteristiken (...)r 41. Thetacharakteristiken [...]r 42. Relationen zwischen den Funktionen ... [E]r((v)) 43. Verallgemeinerung der Riemannsehen Thetaformel 44. Auftreten der Funktionen ...[E]r((v)) bei nicht ganzzahliger linearer Transformation der Thetafunktionen 45. Die Krazer-Prymsche Fundamentalformel für die Theorie der Thetafunktionen mit rationalen Charakteristiken VI. Bas Jacobische Umkehrproblem bei Riemann, Clebsch und Gordau und in den Vorlesungen von Weierstraß. 46. Riemann 47. Clebsch und Gordan 48. Weierstraß (Vorlesungen) VII. Die Abelschen Transzendenten 2. und 3. Gattung. Wurzelfunktionen und Wurzelformen. Lösungen des Umkehrproblems. 49. Die Abelschen Transzendenten 2. und 3. Gattung 50. Eigenschaften der Funktionen Z...((w)) und P...((w)) 51. Darstellung der Abelschen Transzendenten 3. und 2. Gattung durch Thetafunktionen 52. Lösung des Umkehrproblems 53. Darstellung eines einzelnen Integrals 3. und 2. Gattung durch Thetafunktionen 54. Thetaquotienten und Funktionen der Klasse 55. Zweite Form für die Lösung des Umkehrproblems 56. Thetaquotienten und Wurzelfunktionen; deren Zuordnung zu den Pe-riodencharakteristiken 57. Thetafunktionen und Wurzelformen; deren Zuordnung zu den Thetacharakteristiken 58. Die Ausnahmefälle 59. Algebraische Darstellung eines Quotienten von Thetafunktionen, deren Argumente Summen von je p + 1 Integralen sind 60. Invariante Darstellung 61. Algebraische Darstellung eines Thetaquotienten, dessen Argumente Summen von je n (2p Â? 2) Integralen sind 62. Noethers Lösung des Umkehrproblems 63. Symmetrische Riemann sehe Flächen. Realitätsverhältnisse der g... 64. Kleins Theorie der Abelschen Funktionen 65. Die Prymschen Funktionen VIII. Der Fall p = 2. 66. Charakteristikentheorie 67. Thetarelationen 68. Die Kummersche Fläche 69. Die Weddlesche Fläche 70. Thetanullwerte 71. Übergang von den Thetafunktionen zum algebraischen Gebilde 72. Anwendungen 73. Das Borchardtsche arithmetisch-geometrische Mittel aus vier Elementen IX. Der hyperelliptisehe Fall. 74. Das Verschwinden der hyperelliptischen Thetafuuktionen 75. Zuordnung der Wurzelfunktionen zu den Periodencharakteristiken 76. Zuordnung der Wurzelformen zu den Thetacharakteristiken 77. Darstellung von Thetaquotienten durch Wurzelfunktionen 78. Fortsetzung 79. Lösung des Jacobischen Umkehrproblems 80. Additionstheorem der hyperelliptischen Thetalunktionen 81. Verallgemeinerung der Rosenhainschen Differentialformeln 82. Anwendungen 83. Bestimmung von d log ...((0)) durch die Klassenmodulen im allgemeinen Falle 84. Integration der erhaltenen Gleichung im hyperelliptischen Fall X. Der Fall p = 3. 85. Charakteristikentheorie 86. Thetarelationen 87. Thetanullwerte 88. Kiemann-Weber 89. Die Wurzelformen zweiter und dritter Dimension 90. Schottky-Frobenius XI. Der Fall p = 4. 91. Noether 92. Schottky XII. Kleine Sigmafunktionen. 93. Vorbemerkung 94. Hyperelliptische 6-Funktionen 95. Funktionen 1. Stufe 96. Funktionen 2. Stufe 97. Die Funktionen X...ß, Y...ß, Z...ß 98. Die Borchardtschen Modulen 99. Auflösung der Gleichung 6. Grades 100. Der besondere Fall p = 3 in Kleins Theorie der Abelschen Funktionen 101. Wirtingers Lösung des Umkehrproblems im Falle p Â? 3 102. Die Wiltheißschen Differentialgleichungen und die Reihenentwicklungen der 6-Funktionen 103. Weitere Differentialgleichungen im Gebiete der Thetafunktionen zweier Variablen XIII. Erweitertes Umkehrproblem und Teilung. 104. Clebsch und Gordans erweitertes Umkehrproblem 105. Zur Geschichte des erweiterten Umkehrproblems 106. Lindemanns Verallgemeinerung des Jacobischen Umkehrproblems 107. Das Teilungsproblem bei Clebsch und Gordan 108. Zurückführung des allgemeinen Teilungsproblems auf das spezielle 109 Reduktion des speziellen Teilungsproblems M = 0 110. Monodromiegruppe der Teilungsgleichung 111. Zweiteilung XIV. Periodische Funktionen mehrerer Veränderlichen. 112. Die allgemeinen 2p-fach periodischen Funktionen von p Veränderlichen 113. Die Riemann-Weierstraßschen Sätze 114. Riemannsche Matrizen 115. Darstellung der allgemeinen 2p-fach periodischen Funktionen durch Thetafunktionen 116. Jacobische Funktionen 117. Die Weierstraßschen mehrdeutigen Umkehrprobleme 118. Die Wirtingerschen Lösungssätze XV. Reduzierbare Abelsche Integrale. 119. Allgemeine Sätze über reduzierbare Integrale 120. Reduktion Abelscher Integrale auf elliptische 121. Der spezielle Fall p = 2 122. Reguläre Riemannsche Flächen 123. Schottkys Symmetralfunktionen 124. Wirtingers Thetafunktionen mit 3p Parametern XVI. Multiplikabilität und Singularität. 125. Die prinzipale Transformation der Thetafunktionen mehrerer Veränderlichen 126. Die singulären Funktionen Humberts 127. Heckes Untersuchungen über 4-fach periodische Funktionen 128. Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen 129. Anwendungen der Thetafunktionen auf die Heckeschen Zetafunktionen 130. Die hyperelliptischen Flächen Nachwort. Register zu Band II, 2. Teil