Encyclopaedie der mathematischen Wissenschaften und Anwendungen. Analysis Band 2, Teil 1, Heft 2

BAND TITELBLATT VERZEICHNIS_INHALT A. Analysis der reellen Größen (Fortsetzung). 10. Theorie der Kugelfunktionen und der verwandten Funktionen, insbesondere der Lamé'schen und Besselschen (Theorie spezieller durch lineare Differentialgleichungen definierter Funktionen). Von A. WANGERIN I. Definition der allgemeinen Kugelfunktionen. 1. Definition der allgemeinen Kugelfunktionen mit zwei Veränderlichen II. Die einfachen Kugelfunktionen Pn. 2. Die einfachen Kugelfunktionen Pn einer Veränderlichen und ihre Differentialgleichung 3. Verschiedene Reihen für Pn 4. Darstellung von Pn als Differentialquotient; Wurzeln von Pn = 0 5. Darstellung von Pn durch bestimmte Integrale 6. Integralsätze, Entwicklung ganzer Potenzen nach Kugelfunktionen, Rekursionsformeln 7. Verschiedene Ausgangspunkte der Theorie, Tafeln III. Zugeordnete Kugelfunktionen. 8. Zugeordnete Kugelfunktionen; ihre Differentialgleichung, verschiedene Darstellungen 9. Integralsätze der Zugeordneten 10. F. Neumanns Definition dieser Funktionen IV. Darstellung der allgemeinen Kugelfunktion. 11. Darstellung der allgemeinen Kugelfunktion durch Zugeordnete 12. Darstellung von Yn bei Maxwell und Thomson und Tait 13. Das Additionstheorem der einfachen Kugelfunktionen 14. Integralsätze der allgemeinen Kugelfunktionen 15. Entwicklung einer Funktion zweier Variabein nach Kugelfunktionen 16. Beweis für die Gültigkeit der Entwicklung nach Dini und Heine 17. Andere Beweise 18. F. Neumanns Entwicklung nach Kugelfunktionen auf Grund gegebener Beobachtungen V. Kugelfunktionen zweiter Art. 19. Die Kugelfunktion zweiter Art Qn 20. Das F. Neumannsche Integral für Qn 21. Entwicklung von Qn nach steigenden Potenzen 22. Integraldarstellung von Qn 23. Zusammenhang zwischen Kugelfunktionen und Kettenbrüchen 24. Zugeordnete Funktionen der zweiten Art 25. Zugeordnete, deren Nebenindex den Hauptindex übersteigt VI. Erweiterungen. 26. Kugelfunktionen, deren Index eine beliebige Zahl ist 27. Eingfunktionen 28. Mehlers Kegelfunktionen 29. Adjungierte Kugelfunktionen 30 Entwicklung einer Funktion nach Kugelfunktionen 31. Funktionen, die aus der Entwicklung von (1 Â? 2 ... X + ... 2)-v entstehen 32. Fall, in dem v ein Vielfaches von 1/2 ist. Kugelfunktionen höherer Ordnung VII. Lamé'sche Funktion. 33. Definition. Lamé'sche Differentialgleichung 34. Darstellung der vier Klassen von Lamé'schen Funktionen erster Art 35. Die zugeordneten Kugelfunktionen als Grenzfälle der Lamé'schen Funktionen. Additionstheorern 36. Wurzeln der Gleichung E(...) = 0 37. Entwicklung einer Funktion nach Lamé'schen Produkten 38. Die Lamé'schen Funktionen zweiter Art 39. Hinweis auf Hermites Untersuchungen betreffs der Lamé'schen Gleichung 40. Lamé'sche Funktionen höherer Ordnung 41. Erweiterung des Begriffs der Lamé'schen Funktionen 42. Die Lamé'schen Funktionen mit mehr als drei singulären Punkten im Endlichen 43. Funktionen des elliptischen Kegels VIII. Zylinderfunktionen oder Besselsche Funktionen. 44. Differentialgleichung. Reihen und Integrale für die Funktionen erster Art 45. Besselsche Funktionen zweiter Art 46. Ableitung dieser Funktionen aus denen erster Art durch einen Grenzübergang 47. Die Zylinderfunktionen als Grenzen der Kugelfunktionen 48. Integraldarstellungen der Funktionen zweiter Art 49. Semikonvergente Reihen 50. Rekurrente Relationen 51. Zusammenhang mit Kettenbrüchen 52. Wurzeln der Gleichung Jv(z) = 0 53. Additionstheorem der Funktionen erster und zweiter Art 54. C. Neumanns Funktion On 55. Entwicklung einer analytischen Funktion nach Besselschen Funktionen 56. Hinweis auf andere Reihen sowie auf Entwicklungen nach Quadraten und Produkten der Zylinderfunktionen 57. Die für die Aufgaben der Physik erforderlichen Entwicklungen 58. Die Reihe von Schlömilch 59. C. Neumanns Integraldarstellung einer Funktion mittelst Besselscher Funktionen 60. Bestimmte Integrale mit Besselschen Funktionen 61. Tafeln der Besselschen Funktionen IX. Funktionen des elliptischen und parabolischen Zylinders. 62. Funktionen des elliptischen Zylinders 63. Funktionen des parabolischen Zylinders 11. Funktionaloperationen und -gleichungen. Von S. PINCHERLE in Bologna. (Abgeschlossen im Dezember 1905.) Funktionaloperationen. 1. Definition der Funktionalrechnung 2. Die Funktionalrechnung von Leibniz bis Lagrange 3. Untersuchungen über das Rechnen mit Symbolen bis auf Servois 4. Prinzip des Rechnens mit Symbolen 5. Elemente des Operationskalküls 6. Einfache distributive Operationen 7. Ableitungen (Differentialquotienten) zu beliebigem Index 8. Die Generalisationsrechnung von Oltramare 9. Anwendungen des Rechnens mit Symbolen 10. Anwendungen auf Differentialgleichungen 11. Anwendungen auf Formen- und Zahlentheorie 12. Vektorielle Interpretation in einem Räume von n Dimensionen 13. Interpretation in einem Räume von unendlich vielen Dimensionen 14. Darstellung einer distributiven Operation durch eine Reihe 15. Darstellung einer Operation durch ein bestimmtem Integral 16. Die Transformation von Laplace 17. Andere distributive Operationen 18. Nicht-distributive Operationen 19. Funktionen von Linien Funktionalgleichungen. 20. Allgemeines über Funktionalgleichungen 21. Die Gleichung von Babbage und ihre Anwendungen 22. Gleichungen von Abel und Schröder 23. Iterationsrechnung 24. Anwendung der Iterationsrechnung auf die Gleichung von Abel 25. Andere Anwendungen der Funktionen von Koenigs 26. Analytische Iteration 27. Verschiedene Funktionalgleichungen. Verallgemeinerung der Periodi-zität. Transzendentale Transzendenz 28. Integralgleichungen erster Art (Umkehrung der bestimmten Integrale); Allgemeines 29. Umkehrung bestimmter Integrale mit festen Grenzen 30. Umkehrung bestimmter Integrale mit veränderlichen Grenzen 31. Integralgleichungen zweiter Art 32. Symbolische Gleichungen 12. Trigonometrische Reihen und Integrale (bis etwa 1850). Von H. BURKHARDT + (in München). (Abgeschlossen im Mai 1914.) Theorie der trigonometrischen Reihen und Integrale. I. Entwicklung analytischer Funktionen in trigonometrische Reihen. 1. Erster Ausgangspunkt: Rekurrierende Reihen 2. Zweiter Ausgangspunkt: Autfassung von Reihen, die nach Potenzen einer komplexen Variabein fortschreiten, als Entwicklungen nach den Kosinus und Sinus der Vielfachen des Arcus dieser Variabein 3. Dritter Ausgangspunkt: Umsetzung von Reihen, die nach Potenzen von cos x fortschreiten, in solche, die nach den Kosinus der Vielfachen von x geordnet sind 4. Divergente trigonometrische Reihen 5. Entwicklung der Potenzen von cos x und sin x nach den Kosinus und Sinus der Vielfachen von x 6. Anhang zu Nr. 5 7. Trigonometrische Entwicklung rationaler ganzer Funktionen. Die Bernoullischen Funktionen 8. Mit iterierten Integralen rationaler Funktionen zusammenhängende Entwicklungen 9. Entwicklung der Potenzen der wahren Distanz zweier Punkte nach den Kosinus der Vielfachen der scheinbaren Distanz 10. Anhang zu Nr. 9 11. Entwicklungen der Sphärik 12. Entwicklungen aus der Theorie der elliptischen Bewegung 13. Entwicklung von trigonometrischen und von Exponentialfunktionen 14. Andere spezielle Reihenentwicklungen 15. Darstellung der Koeffizienten trigonometrischer Reihen durch unendliche Reihen 16. Darstellung der Koeffizienten trigonometrischer Reihen durch bestimmte Integrale 17. Reihen, die Kosinusglieder und Sinusglieder nebeneinander enthalten 18. Entwicklungen nach den Funktionen der ungeraden Vielfachen des Arguments 19. Umkehrung trigonometrischer Reihen 20. Verwandlung schlecht konvergierender trigonometrischer Reihen in besser konvergierende 21. Restglied einer trigonometrischen Reihe 22. Multiplikation trigonometrischer Reihen . . 23. Der Parsevalsche Satz 24. Eindeutige Bestimmtheit der Entwicklung II. Entwicklung willkürlicher Funktionen in trigonometrische Reihen. 25. Die Hauptschwingungen eines Massensystems 26. Der Streit um das Problem der Saitenschwingungen 27. Fourier und seine Zeitgenossen 28. Exkurs betr. die Entwicklung des Begriffs einer willkürlichen Funktion 29. Exkurs betr. die Vertauschung der Reihenfolge von Grenzübergängen 30. Exkurs betr. die Diskussion über die den Zeichen cos ..., sin ... beizulegende Bedeutung 31. Ältere mißglückte Beweisversuche 32. Grenzübergang von den Interpolationsformeln her 33. Der Deflerssche Beweisansatz . . 34. Der Poissonsche Beweisansatz 35. Exkurs betr. die Entwicklungsgeschichte von Cauchys Residuentheorie 36. Der Cauchysche Beweisansatz aus der Residuentheorie 37. Der Dirichletsche Beweis 38. Beweis der Konvergenz durch partielle Integration in den Ausdrücken der Koeffizienten 39. Benutzung des zweiten Mittelwertsatzes der Integralrechnung durch O. Bonnet 40. Integral des Quadrats des beim Abbrechen einer trigonometrischen Entwicklung übrig bleibenden Fehlers 41. Differentiation und Integration trigonometrischer Reihen 42. Verhalten der Reihe an Sprungstellen der zu entwickelnden Funktion III. Unharmonische trigonometrische Reihen. 43. Erste Beispiele solcher Reihen 44. Die Realität der Wurzeln der determinierenden Gleichungen 45. Beweise der Möglichkeit solcher Entwicklungen IV. Mehrfache trigonometrische Reihen. 46. Mehrfache trigonometrische Reihen 47. Rechneu mit mehrfachen trigonometrischen Reihen 48. Mehrfache unharmonische trigonometrische Reihen 49. Das Verfahren von Liouville 50. Die Entwicklung der Störungsfunktion in der Theorie der Planetenbewegung 51. Entwicklung der Wärmemenge, die ein Teil der Erdoberfläche von der Sonne erhält, nach trigonometrischen Funktionen der Zeit V. Das Fouriersche Integral. 52. Übergang von der trigonometrischen Reihe zum Fourierschen Integral 53. Die komplexe Form des Fourierschen Integrals 54. Die Auffassung der Integralrelation als Grenzgleichung 55. Andere Modifikationen der Integralrelation 56. Andere Versuche, den Fourierschen Integralsatz zu beweisen 57. Umgestaltungen der Fourierschen Integralformel 58. Das Fouriersche Integral für den Fall von Unstetigkeiten der darzustellenden Funktion 59. Paare reziproker Funktionen 60. Unharmonische Form des trigonometrischen Integrals 61. Differentiation und Integration trigonometrischer Integrale 62. Mehrfache trigonometrische Integrale 63. Das mehrfache Fouriersche Integral als Grenzformel 64. Paare reziproker Funktionen von mehreren Variabeln 65. Die sogenannte Poissonsche Hilfsformel 66. Eine Hilfsformel von Cauchy Anwendungen der trigonometrischen Reihen und Integrale. VI. Integration partieller Differentialgleichungen mit zwei unabhängigen Veränderlichen. 67. Integration partieller Differentialgleichungen durch Reihen, die nach den sukzessiven Ableitungen willkürlicher Funktionen fortschreiten 68. Allgemeines über Integration durch Reihen von Elementarlösungen 69. Ausgezeichnete Lösungen und Eigenfunktionen 70. Integration partieller Differentialgleichungen durch bestimmte Integrale, von den in Nr. 67 besprochenen Reihenentwicklungen aus 71. Integration partieller Differentialgleichungen durch bestimmte Integrale: Integration des Produkts der Elementarlösung mit einer willkürlichen Funktion ihres Parameters nach diesem 72. Integration partieller Differentialgleichungen durch bestimmte Integrale, in Übertragung der bei gewöhnlichen Differentialgleichungen angewendeten Methoden 73. Integration partieller Differentialgleichungen durch bestimmte Integrale, vermöge der Darstellung der numerischen Koeffizienten ihrer Reihenentwicklungen durch solche Integrale 74. Übergang von der Lösung durch eine trigonometrische Reihe zur Lösung durch ein bestimmtes Integral 75. Diskussion über den Grad der Allgemeinheit der so erhaltenen Lösungen . 76. Ableitung der Hauptlösung aus der Lösung durch ein bestimmtes Integral 77. Ableitung der Lösung durch ein bestimmtes Integral aus der Hauptlösung 78. Anpassung der Lösung durch ein bestimmtes Integral an gegebene Anfangsbedingungen 79. Integration durch trigonometrische Integrale 80. Ableitung der Hauptlösung einer partiellen Differentialgleichung aus der Darstellung ihrer allgemeinen Lösung durch ein Fouriersches Integral 81. Übergang von der Lösung durch ein trigonometrisches Integral zur Lösung durch ein einfaches Integral 82. Übergang von der Lösung durch ein trigonometrisches Integral zu der von Integralzeichen freien Form der Lösung 83. Darstellung der Integrale durch die Formeln der Residuentheorie 84. Rückkehr von der Lösung durch Integrale zur Lösung durch trigonometrische Reihen 85. Ableitung des "Endverlaufs" aus den Reihenentwicklungen 86. Ableitung des "EndVerlaufs" aus der Integraldarstellung 87. Die mit einer partiellen Differentialgleichung verträglichen Unstetigkeiten 88 Variable Koeffizienten in den Grenzbedingungen 89. Mit der Zeit variable Grenzflächen 90. Sinn der Lösung für dem angenommenen Anfangszustand vorangehende Zeiträume VII. Integration partieller Differentialgleichungen mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen. 91. Integration durch trigonometrische Reihen 92. Integration von Differentialgleichungen mit n + 1 unabhängigen Veränderlichen durch n-fache bestimmte Integrale 93. Integration durch mehrfache Fouriersche Integrale 94. Reduktion mehrfacher Fourierscher Integrale 95. Darstellung der Integrale durch die Formeln der Residuentheorie 96. Reduktion der Integration eines Systems partieller Differentialgleichungen auf die einer resultierenden Gleichung 97. Ableitung des Endverlaufs aus der Integraldarstellung 98. Das Spiegelungsprinzip 99. Die mathematische Formulierung des Huyghensschen Prinzips VIII. Sonstige Anwendungen. 100. Ermittelung des Wertes bestimmter Integrale auf Grund der Darstellung der Koeffizienten trigonometrischer Reihen 101. Ermittelung des Wertes bestimmter Integrale mit Hilfe der Fourier-schen Integralformel 102. Darstellung der Wurzeln von Gleichungen durch Integrale 103. Analytische Darstellung des reellen und des imaginären Bestandteils einer Funktion komplexen Arguments vermittelst ihrer Werte für reelle Argumente 104. Diskontinuitätsfaktoren 105. Restglied der Euler-Maclaurinschen Summenformel 106. Umformung von Reihen 107. Transformation der Thetafunktionen 108. Differentiation zu beliebigem Index 109. Funktionen großer Zahlen 110. Auflösung von Integralgleichungen 111. Integration von Gleichungen mit gemischten Differenzen 112. Gaußsche Summen 113. Sukzessive Evoluten ebener Kurven Register zu Band II, Teil I Berichtigungen