Энциклопедия элементарной математики. Книга 4. Геометрия

Титульный лист ......Page 1 Редакция ......Page 2 Оглавление ......Page 3 От редакции ......Page 7 1.1. Понятия геометрии как результат абстракции ......Page 9 1.2. Зарождение геометрии в древнем мире ......Page 11 2.1. Евклид и его предшественники ......Page 12 2.2. «Постулаты» Евклида ......Page 15 2.3. Непрерывность у Евклида и его предшественников ......Page 16 2.4. Движения ......Page 17 3.1. Создание неевклидовой геометрии ......Page 18 3.2. Аксиоматический метод в математике ......Page 19 4.1. Модели евклидовой плоскости ......Page 21 4.2. Аксиоматические системы в алгебре ......Page 27 5.1. Непротиворечивость аксиоматики ......Page 28 5.2. Полнота системы аксиом ......Page 30 6.2. Аксиомы принадлежности ......Page 32 6.3. Аксиомы порядка ......Page 34 6.4. Аксиомы движения ......Page 36 6.5. Аксиомы непрерывности ......Page 37 6.6. Аксиома параллельности ......Page 40 7.1. Арифметическая модель геометрии Евклида ......Page 41 7.2. Непротиворечивость и полнота аксиоматики евклидовой плоскости ......Page 43 8.1. Независимость системы аксиом ......Page 44 8.2. О независимости аксиоматики евклидовой геометрии ......Page 45 8.3. Заключение ......Page 46 Литература ......Page 47 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (И. М. Яглом, Л. С. Атанасян) ......Page 49 1.1. Геометрические отображения ......Page 50 1.2. Геометрические преобразования ......Page 52 1.3. Некоторые типы геометрических преобразований ......Page 60 2.1. Некоторые примеры ......Page 63 2.2. Применение симметрии ......Page 66 2.3. Использование геометрических преобразований для «симметризации» чертежа ......Page 68 3.1. Запись геометрических отображений в координатах ......Page 72 3.2. Аналитические методы изучения преобразований ......Page 74 3.3. Линейные преобразования ......Page 75 3.4. Комплексные координаты точек круговой плоскости ......Page 77 3.5. Бирациональные преобразования ......Page 79 4.1. Определение произведения отображений; примеры ......Page 80 4.2. Некоторые общие свойства произведения преобразований ......Page 85 4.3. Произведения движений; классификация движений ......Page 86 4.4. Применения ......Page 89 4.5. Дальнейшие примеры произведения преобразований ......Page 92 5.1. Определение обратного преобразования ......Page 96 5.2. Инволюции ......Page 97 6.1. Предмет геометрии ......Page 98 6.2. Геометрия и группы преобразований ......Page 101 6.3. Различные геометрии. Аффинная геометрия ......Page 102 6.4. Группы преобразований в физике ......Page 108 7.1. Гомология ......Page 110 7.2. Проективная плоскость ......Page 112 7.3. Применения гомологии к решению задач ......Page 114 7.5. Координаты в проективной плоскости ......Page 117 7.6. Бирациональные преобразования проективной плоскости ......Page 119 8.1. Примеры неточечных преобразований ......Page 121 8.2. Неточечные преобразования в геометрии окружностей ......Page 124 8.3. Полярное отображение. Принцип двойственности в проективной геометрии ......Page 128 8.4. Подерное преобразование ......Page 134 8.5. Группы неточечных преобразований ......Page 136 9.1. Введение ......Page 140 9.2. Принцип перенесения, отвечающий сжатию к прямой ......Page 141 9.3. Принцип перенесения, отвечающий инверсии ......Page 143 9.4. Принцип перенесения, отвечающий полярному отображению ......Page 146 9.5. Принцип перенесения и модели геометрических систем ......Page 156 Литература ......Page 157 ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙ (Н. М. Бескин, В. Г. Болтянский, Г. Г. Маслова, Н. Ф. Четверухин, И. М. Яглом) ......Page 159 1.2. Инструменты для практического осуществления геометрических построений ......Page 160 1.3. Точность построения ......Page 164 2.1. Построения линейкой, циркулем, чертежным треугольником и транспортиром ......Page 167 2.2. Построения с помощью одного циркуля (построения Мора—Маскерони) ......Page 168 2.3. Построения с помощью одной линейки (построения Понселе—Штейнера) ......Page 171 2.4. О построениях с помощью иных наборов инструментов ......Page 175 3.1. Построения с помощью линейки ограниченной длины ......Page 177 3.2. Построение на ограниченном куске плоскости ......Page 179 4.1. Метод расчленения условий задачи (метод «геометрических мест») ......Page 182 4.2. Общая схема решения задачи на построение ......Page 184 4 3. Алгебраический метод ......Page 185 5.1. Общие замечания ......Page 189 5.2. Примеры ......Page 190 6.1. Точные и приближенные решения задач на построение ......Page 193 6.2. Задачи на спрямление дуг окружности ......Page 194 6.3. Графоаналитический метод и метод последовательных приближений ......Page 197 7.1. Система постулатов для построений на плоскости ......Page 200 7.2. Система постулатов для «воображаемых построений» в пространстве ......Page 201 7.3. Пример ......Page 202 Литература ......Page 203 Введение ......Page 205 1.1. Постановка задачи ......Page 206 1.2. Построения циркулем и линейкой ......Page 208 2.1. Основная лемма ......Page 210 2.2. Выводы ......Page 215 2.3. Алгебраические рассмотрения ......Page 216 2.4. Случай многочленов третьей степени ......Page 218 2.5. Теорема Гаусса ......Page 219 3.1. Удвоение куба ......Page 220 3.2. Трисекция угла ......Page 221 3.3. Построение треугольника по его биссектрисам ......Page 223 3.4. Построение правильных многоугольников ......Page 225 3.5. Квадратура круга ......Page 226 Литература ......Page 227 МЕТОДЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ (Н. М. Бескин) ......Page 228 1.2. Циклография ......Page 229 1.3. Метод Федорова ......Page 230 1.4. Основные требования к методам изображения ......Page 231 1.5. Неоднозначность обратного отображения ......Page 232 1.6. Проекционные методы изображения ......Page 233 2.1. Свойства параллельной проекции ......Page 234 2.2. Метод параллельной проекции на одну плоскость ......Page 236 2.3. Жесткие и свободные изображения ......Page 238 2.4. Изображение плоских фигур ......Page 240 2.5. Примеры ......Page 244 3.1. Теорема Польке—Шварца ......Page 247 3.2. Полные и неполные изображения ......Page 252 3.3. Понятие о параллельной аксонометрии ......Page 255 3.4. Условные изображения ......Page 258 3.5. Примеры построения аксонометрических изображений ......Page 259 3.6. Общие методы построения аксонометрических изображений ......Page 261 3.7. Аксонометризация чертежа ......Page 266 3.8. Ортогональная (прямоугольная) аксонометрия ......Page 271 4.2. Сущность метода Монжа ......Page 275 5.1. Свойства центральной проекции ......Page 277 5.2. Проективные координаты ......Page 279 5.3. Использование проективных координат для построения изображений ......Page 281 5.4. Понятие о центральной аксонометрии ......Page 282 6.2. Примеры ......Page 288 Литература ......Page 289 ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ (В. Г. Болтянский, И. М. Яглом) ......Page 291 1.1. Параллельный перенос ......Page 292 1.2. Вектор ......Page 293 1.3. Откладывание вектора от точки ......Page 294 1.4. Векторы и направленные отрезки ......Page 296 2.1. Сложение векторов ......Page 298 2.2. Противоположные векторы, нулевой вектор ......Page 300 2.3. Свойства суммы векторов ......Page 301 2.4. Вычитание векторов ......Page 304 2.5. Умножение вектора на число ......Page 305 2.6. Свойства произведения вектора на число ......Page 307 2.7. «Арифметика фигур» ......Page 308 2.8. Деление отрезка в данном отношении ......Page 310 2.9. Координаты вектора ......Page 312 2.10. Линейная зависимость векторов ......Page 314 2.11. Примеры ......Page 315 3.1. Проекция вектора на ось ......Page 319 3.2. Свойства проекций ......Page 320 3.3. Связь проекций с координатами ......Page 321 3.4. Связь с тригонометрическими функциями ......Page 322 3.5. Примеры ......Page 324 3.6. Определение и свойства скалярного произведения ......Page 328 3.7. Примеры и задачи ......Page 331 3.8. Единственность скалярного произведения ......Page 336 4.1. Ориентированные площади и косое произведение векторов ......Page 338 4.2. Аналогия между косым и скалярным произведениями ......Page 342 4.3. Дальнейшие свойства косого произведения ......Page 343 4.4. Примеры и задачи ......Page 345 4.5. Вопрос о единственности косого произведения ......Page 349 5.1. Ориентированные объемы и тройное произведение ......Page 351 5.2. Векторное произведение и его связь с тройным произведением ......Page 353 5.3. Свойства векторного и тройного произведений ......Page 355 5.4. Двойное векторное произведение ......Page 360 5.5. Примеры ......Page 361 5.6. Вопрос о единственности тройного и векторного произведений ......Page 364 6.1. Выражение сторон и углов сферического треугольника с помощью векторов ......Page 366 6.2. Сферические теоремы косинусов и синусов ......Page 368 7.1. Аксиоматическое определение векторного пространства ......Page 369 7.2. Арифметическая модель векторного пространства ......Page 370 7.3. Полнота аксиоматики векторного пространства ......Page 371 7.4. Аксиоматика элементарной геометрии ......Page 375 7.5. Некоторые типы многомерных пространств ......Page 377 Литература ......Page 380 ОКРУЖНОСТИ (И. М. Яглом) ......Page 448 Введение ......Page 449 1.1. Направленные отрезки и углы ......Page 450 1.2. Разные определения окружности; касание окружностей ......Page 451 2.1. Степень точки относительно окружности ......Page 454 2.2. Радикальная ось двух окружностей ......Page 455 2.3. Радикальный центр трех окружностей ......Page 459 3.1. Пучок окружностей ......Page 461 3.2. Связка окружностей ......Page 466 4.1. Определение инверсии ......Page 468 4.2. Свойства инверсии ......Page 471 4.3. Теорема Паскаля ......Page 475 5.1. Круговая плоскость ......Page 476 5.3. Понятие о круговой геометрии ......Page 478 6.1. Аналогия между свойствами точек и прямых ......Page 479 6.2. Дальнейшее расширение понятия окружности ......Page 480 6.3. Касательное расстояние двух окружностей ......Page 482 7.1. Степень прямой относительно окружности ......Page 485 7.2. Центр подобия двух окружностей ......Page 487 7.3. Ось подобия трех окружностей ......Page 489 8.1. Ряд окружностей ......Page 490 8.2. Сеть окружностей ......Page 492 9.1. Определение осевой инверсии ......Page 495 9.2. Вырожденная инверсия и особая инверсия ......Page 496 9.3. Свойства осевой инверсии ......Page 498 9.4. Теорема Брианшона ......Page 502 10.1. Осевые круговые преобразования ......Page 504 10.2. Понятие об осевой круговой геометрии ......Page 507 11.1. Плоскость как множество линейных элементов ......Page 508 11.2. Новое определение окружности ......Page 509 12.1. Касательные круговые преобразования ......Page 510 12.2. Задача Аполлония ......Page 513 12.3. Понятие о касательной геометрии окружностей ......Page 515 Литература ......Page 516 1.1. Происхождение сферической геометрии ......Page 518 1.2. Точки, большие окружности, малые окружности ......Page 519 1.3. Движение сферы ......Page 522 1.4. Предмет сферической геометрии ......Page 524 1.5. Принцип двойственности ......Page 526 1.6. Углы на сфере ......Page 527 2.2. Полярные треугольники ......Page 530 2.3. Равенство сферических треугольников ......Page 532 2.4. Большая окружность как кратчайшая ......Page 534 2.5. Площадь сферического треугольника ......Page 536 3.1. Окружности и углы на сфере ......Page 539 3.2. Геодезическая кривизна малой окружности ......Page 541 3.3. Формула Гаусса—Бонне ......Page 543 4.1. Сферическая теорема косинусов ......Page 545 4.2. Сферическая теорема синусов ......Page 547 4.3. Формулы пяти элементов ......Page 549 4.4. Двойственная теорема косинусов ......Page 551 4.5. Формулы котангенсов ......Page 552 4.6. Случай прямоугольного сферического треугольника ......Page 553 4.7. Решение сферических треугольников ......Page 555 Литература ......Page 557 Именной указатель ......Page 558 Предметный указатель ......Page 560 Выходные данные ......Page 568 Обложка ......Page 569