Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung: Eine Einführung mit historischen Bemerkungen (Masterclass) (German Edition)

Dieses Lehrbuch bringt in einem stufenweisen Aufbau, ausgehend von der Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen, über die Perronsche Methode zur Lösung des Dirichletproblems für die Laplacegleichung und den Kelloggschen Satz über das Randverhalten von Lösungen der Poissongleichung, eine Darstellung der klassischen Theorie linearer elliptischer Differentialgleichungen 2. Ordnung. Der Zusammenhang mit schwachen Lösungen solcher Gleichungen wird hergestellt. Hervorzuheben sind zahlreiche neue und vereinfachte Beweise, so für die Symmetrie und die Abschätzung der Greenschen Funktion und ihrer Ableitungen. Der sparsame und effiziente Einsatz von Hilfsmitteln ermöglicht den Studierenden das Eindringen in dieses Gebiet bereits ab dem 2. Studienjahr. Die Beschreibung von Beweisvarianten erleichtert es dem Dozenten, für Vorlesung oder Seminar eine Auswahl zu treffen. Eine Besonderheit dieses Buches bilden die vielen historischen Bezüge und Literaturverweise, die auch dem Fachmann manches Neue bieten werden. Front Matter....Pages i-x Einleitung mit Bemerkungen zur historischen Entwicklung....Pages 1-17 Die Laplacegleichung....Pages 19-57 Das Dirichletproblem für harmonische Funktionen....Pages 59-101 Die Poissongleichung – Δ u = f ....Pages 103-164 Die Greensche Funktion für die Kugel mit Anwendungen....Pages 165-205 Die Fredholmsche Alternative für das Dirichletproblem....Pages 207-231 Der Kelloggsche Satz....Pages 233-261 Die globale A-Priori-Abschätzung von Schauder und ihre Anwendung auf lineare und quasilineare Dirichletprobleme....Pages 263-279 Innere Abschätzungen und innere Regularität....Pages 281-298 Schwache Lösungen....Pages 299-341 Back Matter....Pages 1-56 Ausgehend von der Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen über die Perronsche Methode zur Lösung des Dirichletproblems für die Laplace-Gleichung sowie den Kelloggschen Satz über das Randverhalten von Lösungen der Poisson-Gleichung stellen die Autoren stufenweise die klassische Theorie linearer elliptischer Differentialgleichungen 2. Ordnung dar. Dabei präsentieren sie neue Beweise, so für die Symmetrie und die Abschätzung der Greenschen Funktion. Eine Besonderheit dieses Buches sind ferner die vielen historischen Bezüge und Literaturverweise.