Elementare Lineare Algebra: Linearisieren und Koordinatisieren (Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II) (German Edition)

Das vorliegende Lehrbuch führt Sie – anknüpfend an Inhalte des Mathematikunterrichts der Sekundarstufen I und II – auf verständliche Weise in grundlegende Inhalte und Arbeitsweisen der Linearen Algebra ein. Besonderer Wert wird auf Veranschaulichungen der behandelten mathematischen Begriffe und Verfahren gelegt. Zentrale Begriffe werden anhand von Beispielen entwickelt und danach verallgemeinert, sodass Sie ausgehend von Vertrautem Abstraktionen schrittweise vornehmen können. Rechnerische Verfahren können Sie auf herkömmliche Weise oder mithilfe des Computers nachvollziehen. Das Buch versetzt Sie in die Lage, das freie Computeralgebrasystem Maxima für Inhalte der Linearen Algebra zu nutzen. Auf der Internetseite zu diesem Buch finden Sie Lösungen der gestellten Aufgaben, interaktive Illustrationen sowie Dateien, mit denen Sie Maxima sofort für Berechnungen und Visualisierungen einsetzen können. Das Buch richtet sich an: Studierende des Lehramts Mathematik für die Sekundarstufe I, die damit von einem "höheren Standpunkt" auf die Schulalgebra schauen, Studierende für das gymnasiale Lehramt, die einen "sanften" Übergang von der Analytischen Geometrie in der Schule zu den Vorlesungen in Linearer Algebra vollziehen möchten, Mathematiklehrkräfte der Sekundarstufe II, die vielfältige Anregungen erhalten, um in ihrem Unterricht der Analytischen Geometrie fundamentale Ideen der Linearen Algebra lebendig werden zu lassen. Cover......Page 1 Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II......Page 3 Elementare Lineare Algebra......Page 4 ISBN 9783827424129......Page 5 Vorwort......Page 6 Inhaltsverzeichnis......Page 8 1 Lineare Gleichungssysteme......Page 13 1.1.1 L ̈osungsmengen linearer Gleichungen mit zwei Variablen......Page 14 1.1.2 L ̈osungsmengen linearer Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen......Page 17 1.1.3 L ̈osungsverfahren f ̈ur lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen......Page 20 1.1.4 Sachsituationen, die auf LGS mit zwei Variablen f ̈uhren......Page 24 1.1.5 Aufgaben zu Abschnitt 1.1......Page 25 1.2.1 L ̈osungsmengen linearer Gleichungen und Gleichungssysteme mit drei Variablen......Page 27 1.2.2 Der Gauß-Algorithmus......Page 34 1.2.3 Aufgaben zu Abschnitt 1.2......Page 40 1.3.1 Der Gauß-Algorithmus in Matrixschreibweise......Page 41 1.3.2 R ̈ange der einfachen und erweiterten Koeffizientenmatrix......Page 44 1.3.3 Ein L ̈osbarkeitskriterium f ̈ur lineare Gleichungssysteme......Page 46 1.3.4 Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme......Page 49 1.3.5 Aufgaben zu Abschnitt 1.3......Page 51 1.4 Anwendungen linearer Gleichungssysteme......Page 52 1.4.1 Aufgaben zu Abschnitt 1.4......Page 55 1.5 L ̈osen linearer Gleichungssysteme mithilfe des Computers......Page 56 2 Koordinatengeometrie......Page 61 2.1.1 Koordinatengleichungen von Geraden......Page 62 2.1.2 Winkel zwischen Geraden in der Ebene......Page 65 2.1.3 Aufgaben zu Abschnitt 2.1......Page 66 2.2.1 Abst ̈ande von Punkten in der Ebene und im Raum......Page 67 2.2.2 Kreise......Page 70 2.2.3 Lagebeziehungen von Kreisen und Geraden......Page 73 2.2.4 Aufgaben zu Abschnitt 2.2......Page 77 2.3.1 Kugelgleichungen......Page 79 2.3.2 Kegel......Page 81 2.3.3 Aufgaben zu Abschnitt 2.3......Page 83 2.4.1 Ortsdefinitionen von Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln......Page 84 2.4.2 Gleichungen von Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln......Page 88 2.4.3 Tangenten an Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln......Page 93 2.4.4 Aufgaben zu Abschnitt 2.4......Page 94 3 Vektoren......Page 97 3.1.1 Kr ̈afte, Geschwindigkeiten und Verschiebungen......Page 98 3.1.2 Pfeilklassen......Page 101 3.1.3 Addition und skalare Multiplikation von Pfeilklassen......Page 103 3.1.4 Aufgaben zu Abschnitt 3.1......Page 111 3.2.1 St ̈ucklisten, Farben......Page 112 3.2.2......Page 115 3.2.3 Aufgaben zu Abschnitt 3.2......Page 117 3.3.1 Pfeilklassen im Koordinatensystem......Page 118 3.3.2 Die Isomorphie zwischen der Menge der Pfeilklassen der Ebene bzw. des Raumes und......Page 121 3.3.3 Vektoren......Page 122 3.3.4 Aufgaben zu Abschnitt 3.3......Page 124 3.4.1 Linearkombinationen......Page 125 3.4.2 Kollineare und komplanare Vektoren......Page 128 3.4.3 Anwendungen von Linearkombinationen in der Geometrie......Page 130 3.4.4 Aufgaben zu Abschnitt 3.4......Page 133 3.5.1 Arithmetische Einf ̈uhrung des Skalarprodukts......Page 134 3.5.2 Geometrische Deutung des Skalarprodukts......Page 136 3.5.3 Anwendungen des Skalarprodukts in der Geometrie und der Physik......Page 142 3.5.4 Aufgaben zu Abschnitt 3.5......Page 143 3.6.1 Das Vektorprodukt......Page 145 3.6.2 Das Spatprodukt – Berechnung von Volumina......Page 148 3.7 Vektorrechnung und -darstellung mithilfe eines Computeralgebrasystems......Page 149 4 Vektorielle Raumgeometrie......Page 151 4.1.1 Beschreibung von Geraden durch Parametergleichungen......Page 152 4.1.2 Parameterund Koordinatengleichungen bzw. LGS......Page 154 4.1.3 Lagebeziehungen und Schnittpunkte von Geraden......Page 156 4.1.4 Parameterdarstellungen als Funktionen, Beschreibung von Bewegungen......Page 158 4.1.5 Exkurs: Parameterdarstellungen einiger Kurven......Page 159 4.1.6 Aufgaben zu Abschnitt 4.1......Page 161 4.2.1 Parameterund Koordinatengleichungen von Ebenen......Page 163 4.2.2 Lagebeziehungen und Schnittpunkte von Geraden und Ebenen sowie von Ebenen und Ebenen......Page 164 4.2.3 Aufgaben zu Abschnitt 4.2......Page 167 4.3.1 Normalengleichungen von Geraden und Ebenen......Page 168 4.3.2 Schnittwinkel zwischen Geraden und Ebenen......Page 171 4.3.3 Die Hessesche Normalform von Geradenund Ebenengleichungen; Abstandsberechnungen......Page 173 4.3.4 Aufgaben zu Abschnitt 4.3......Page 177 5 Vektorräume......Page 179 5.1.1 Definition des Begriffs Vektorraum......Page 180 5.1.2 Beispiele f ̈ur Vektorr ̈aume......Page 181 5.1.3 Aufgaben zu Abschnitt 5.1......Page 183 5.2.1 Definition, Unterraumkriterium und Beispiele......Page 184 5.2.2 Der Durchschnitt und die Summe zweier Unterr ̈aume......Page 188 5.2.3 Aufgaben zu Abschnitt 5.2......Page 189 5.3.1 Lineare H ̈ullen von Vektormengen......Page 190 5.3.2 Erzeugendensysteme......Page 191 5.3.3 Lineare Abh ̈angigkeit und Unabh ̈angigkeit......Page 194 5.3.4 Aufgaben zu Abschnitt 5.3......Page 198 5.4.1 Der Begriff der Basis......Page 199 5.4.2 Koordinaten von Vektoren bez ̈uglich Basen......Page 200 5.4.3 Weitere Beispiele f ̈ur Basen......Page 201 5.4.4 S ̈atze ̈uber Basen von Vektorr ̈aumen......Page 203 5.4.5 Der Begriff der Dimension......Page 209 5.4.6 Die Dimensionsformel f ̈ur lineare Unterr ̈aume......Page 211 5.4.7 Aufgaben zu Abschnitt 5.4......Page 213 5.5.1 Der Begriff des affinen Raumes......Page 215 5.5.2 Koordinatensysteme......Page 217 5.5.3 Affine Unterr ̈aume und ihre Lagebeziehungen......Page 222 5.5.4 Anwendung auf die Theorie der linearen Gleichungssysteme......Page 226 5.5.5 Aufgaben zu Abschnitt 5.5......Page 230 5.6.1 Positiv definite symmetrische Bilinearformen – verallgemeinerte Skalarprodukte......Page 231 5.6.2 Betr ̈age von Vektoren, Orthogonalit ̈at und Winkel......Page 234 5.6.3 Orthonormalbasen und kartesische Koordinatensysteme......Page 236 5.6.4 Aufgaben zu Abschnitt 5.6......Page 238 6 Matrizen......Page 239 6.1.1 Zeilenund Spaltenvektoren, transponierte Matrizen......Page 240 6.1.2 Zeilenrang und Spaltenrang einer Matrix......Page 241 6.1.3 Aufgaben zu Abschnitt 6.1......Page 246 6.2.1 Einf ̈uhrungsbeispiel: Materialverflechtung......Page 247 6.2.2 Matrizenmultiplikation – Definition und Rechenregeln......Page 250 6.2.3 Anwendungsbeispiele zur Matrizenmultiplikation......Page 253 6.2.4 Inverse Matrizen......Page 257 6.2.5 Aufgaben zu Abschnitt 6.2......Page 261 6.3 Ein Ausblick auf Determinanten......Page 263 6.3.1 Aufgaben zu Abschnitt 6.3......Page 267 6.4 Matrizenrechnung mithilfe des Computers......Page 268 7 Lineare und affine Abbildungen......Page 269 7.1.1 Der Begriff ” Abbildung“, Eigenschaften von Abbildungen......Page 270 7.1.2 Koordinatenbeschreibungen geometrischer Abbildungen......Page 271 7.1.3 Aufgaben zu Abschnitt 7.1......Page 275 7.2.1 Definition und einige Beispiele......Page 276 7.2.2 Einige Eigenschaften linearer Abbildungen......Page 279 7.2.3 Matrizielle Darstellung linearer Abbildungen......Page 282 7.2.4 Nacheinanderausf ̈uhrung linearer Abbildungen......Page 285 7.2.5 Isomorphismen......Page 286 7.2.6 Aufgaben zu Abschnitt 7.2......Page 289 7.3.1 Definition und Beispiele......Page 291 7.3.2 Einige Eigenschaften affiner Abbildungen......Page 296 7.3.3 Aufgaben zu Abschnitt 7.3......Page 298 7.4.1 Isometrien......Page 299 7.4.2 Kongruenzabbildungen......Page 304 7.4.3 ̈Ahnlichkeitsabbildungen......Page 306 7.4.4 Aufgaben zu Abschnitt 7.4......Page 308 Literaturverzeichnis......Page 309 Index......Page 310