Électrostatique et magnétostatique: cours

Public concerné : étudiants de DEUG et de licence, candidats au CAPES et à l'agrégation. Ce livre présente les différents concepts de la théorie des phénomènes électrostatique et magnétostatique qu'il convient de maîtriser à l'issue des trois premières années d'études universitaires en physique. Partant des expériences de Coulomb pour aboutir à une description approfondie des milieux magnétiques, il propose de découvrir progressivement ces phénomènes en s'appuyant tout à la fois sur une approche intuitive et un formalisme rigoureux. Sommaire 3 Chapitre 1 - Un peu d’histoire... 7 Chapitre 2 - Électrostatique dans le vide : loi de Coulomb 11 2.1. Charges électriques et distributions de charges 12 1 Charges électriques et corps électriquement chargés 12 2 Distributions de charges électriques statiques 13 2.2. Forces entre charges électriques statiques 15 1 Force entre deux charges ponctuelles - Loi de Coulomb 15 2 Principe de superposition 18 2.3. Le champ électrostatique dans le vide 19 1 Définition du champ électrostatique 20 2 Expressions du champ électrostatique 20 2.4. Le potentiel électrostatique dans le vide 21 1 Existence d’un potentiel électrostatique 22 2 Définition du potentiel électrostatique 24 3 Le champ électrostatique « dérive » du potentiel électrostatique 25 2.5. Lignes de champ et surfaces équipotentielles 26 2.6. Applications de ces définitions à quelques exemples 28 1 Exemple d’une distribution discrète 28 2 Exemple d’une distribution continue 29 Chapitre 3 - Propriétés du champ électrostatique 33 3.1. Propriétés associées au caractère radial du champ électrostatique 34 1 Circulation du champ électrostatique 34 2 Rotationnel du champ électrostatique 34 3.2. Propriétés associées à la dépendance en 1/r2 de l'intensité du champ électrostatique 35 1 Flux d’un champ électrostatique à travers une surface fermée 35 2 Théorème de Gauss 38 3 Expression locale du théorème de Gauss. Divergence du champ électrostatique 38 3.3. Propriétés de symétrie du champ électrostatique 39 1 Symétries et variables pertinentes 40 2 Symétries et orientations du champ électrostatique 40 3.4. Exemple d’utilisation des propriétés du champ électrostatique 42 1 Continuité de la composante tangentielle du champ électrostatique 42 2 Discontinuité de la composante normale du champ 43 3.5. Calcul du champ électrostatique créé par des distributions de charges de symétrie élevée 44 1 Principe de la méthode 44 2 Calcul du champ électrostatique créé par une distribution à symétrie sphérique chargée uniformément 44 3 Calcul du champ créé par un fil cylindrique infini uniformément chargé 47 4 Champ créé par un plan infini uniformément chargé 48 3.6. Méthode générale 49 Chapitre 4 - Équations de Laplace et de Poisson 51 4.1. Équations de Poisson et de Laplace 52 1 Équation locale du potentiel 52 2 Existence et unicité de la solution de l’équation locale du potentiel 53 4.2. Exemple d’utilisation de l’équation locale 54 1 Calcul du potentiel et du champ créés par une sphère chargée uniformément en volume 54 2 Calcul du champ électrostatique au voisinage de l’axe de révolution d'un disque chargé 57 3 Longueur d’écrantage - Longueur de Debye 59 Complément : Théorème de la valeur moyenne sur une sphère 60 Chapitre 5 - Dipôles et multipôles électriques 63 5.1. Ensemble de deux charges électriques de même grandeur et de signes opposés 64 1 Potentiel électrique créé par le système (+ q,−q) 64 2 Champ électrique créé par le système (+ q,−q) 65 3 Moment dipolaire 67 5.2. Notion de développement multipolaire 68 1 Développement multipolaire du potentiel créé par une distribution discrète de charges 68 2 Développement multipolaire du potentiel créé par une distribution continue de charges 70 5.3. Exemple de distributions multipolaires 71 1 Dipôle moléculaire 71 2 Champ et potentiel créés par deux distributions sphériques de signes contraires, légèrement décalées 72 Chapitre 6 - Conducteurs à l’équilibre 75 6.1. Définition d’un conducteur 76 6.2. Conducteur à l’équilibre 77 1 Un conducteur à l’équilibre est une équipotentielle 77 2 Distribution de charges : charges de surface 77 3 Champ électrique au voisinage d’un conducteur à l’équilibre 78 6.3. Capacité d’un conducteur unique isolé 79 6.4. Phénomènes d’influence 80 1 Charges par influence 80 2 Théorème des éléments correspondants 81 3 Influence totale 82 4 Effet d’écran 82 6.5. Ensemble de conducteurs à l’équilibre 83 1 États d’équilibre d’un système de conducteurs 83 2 Capacité et capacitémutuelle 84 6.6. Condensateurs et groupement de condensateurs 84 1 Définition d’un condensateur 84 2 Groupement de condensateurs 88 6.7. Champ et potentiel à l’extérieur d'un système de conducteurs à l'équilibre 89 1 Problèmes de Dirichlet - Problème de Neumann 89 2 Méthode des « images » 90 Chapitre 7 - Électrostatique dans les milieux isolants 95 7.1. Polarisation de la matière 96 1 Caractéristiques électriques d’un atome 96 2 Caractéristiques électriques d’un système dense d’atomes ou de molécules 99 7.2. Champ électrique, potentiel et charges de polarisation dans les isolants 101 1 Champ électrique et potentiel dans les isolants 101 2 Charges de polarisation 102 7.3. Systèmes présentant une polarisation permanente 104 1 Cas de la plaque infinie 104 2 Cas d’une sphère 107 7.4. Systèmes présentant une polarisation induite : les diélectriques 109 1 Cas de la plaque diélectrique 110 2 Cas de la sphère diélectrique 111 7.5. Le vecteur déplacement D 112 1 Définition du vecteur déplacement 112 2 Propriétés du vecteur déplacement 114 7.6. Capacité et diélectrique 115 Compléments : notion de champ local 117 Chapitre 8 - Énergie électrostatique 121 8.1. Énergie électrostatique d’un système de charges ponctuelles 122 1 Expression de l’énergie en fonction des charges électriques 122 2 Expression de l’énergie en fonction du potentiel électrique 123 8.2. Énergie électrostatique associée à une distribution continue de charges 123 1 Expression de l’énergie électrostatique dans le vide 125 2 En présence de matériaux diélectriques linéaires 125 3 Expression de l’énergie électrostatique en fonction du potentiel 126 4 Énergie de polarisation 126 8.3. Énergie associée à un ensemble de conducteurs d'équilibre 126 1 Cas d’un ensemble de conducteurs à l’équilibre 126 2 Énergie associée à un condensateur 127 8.4. Forces et moments de forces 129 1 Force sur les armatures d’un condensateur 129 2 Moments de forces sur les armatures d’un condensateur 131 3 Force exercée sur unmatériau non conducteur 132 Chapitre 9 - Le champ magnétostatique 137 9.1. Force magnétique entre fils rectilignes infinis 138 9.2. Notion de champ magnétique 140 1 Champ magnétique créé par un fil rectiligne 140 2 Champmagnétique créé par un circuit quelconque Loi de Biot et Savart 142 9.3. Propriétés locales du champ magnétique 146 1 Divergence du champmagnétostatique 147 2 Rotationnel du champ magnétostatique - Théorème d’Ampère 148 3 Loi de continuité du champ magnétique 150 9.4. Exemples de calcul du champ magnétique créé par différentes distributions de courants 151 1 Champ créé par un fil infini parcouru par un courant I 151 2 Champ créé par une spire circulaire de rayon R, parcourue par un courant I 153 3 Champ créé par un solénoïde infini de n spires de rayon R par unité de longueur, parcouru par un courant I 154 Chapitre 10 - Le potentiel vecteur 159 10.1. Potentiel vecteur et champ magnétique 160 1 Définition du potentiel vecteur 160 2 Choix de jauge 160 3 Potentiel vecteur et flux du champ magnétique 161 4 Exemples de potentiels vecteurs associés à un champ magnétique constant 161 10.2. Potentiel vecteur associé à des courants continus 162 1 Définition de A à partir des courants 162 2 Équation locale du potentiel vecteur 164 10.3. Exemples de potentiels vecteurs 165 1 Fil rectiligne parcouru par un courant uniforme 165 2 Champmagnétique créé par une boucle de courant : dipôle magnétique 166 3 Potentiel vecteur associé à un solénoïde 168 Chapitre 11 - L’induction magnétique 173 11.1. Mise en évidence expérimentale de l'induction 174 11.2. Force électromagnétique induite et courant induit 176 1 Force électromotrice et courant induit 176 2 Loi de Lenz 177 11.3. Interprétations de la loi de Faraday 178 11.4. Définition et propriétés locales du champ électrique 181 1 Définition du champ électrique E 181 2 Propriétés locales du champ électrique E 181 3 Équation de jauge 182 11.5. Notion d’inductance 182 1 Inductancemutuelle de deux circuits 182 2 Auto-inductance 184 3 Relation entre inductancemutuelle et auto-inductance - Coefficient de couplage entre des circuits 185 4 Exemples de coefficients d’inductance 185 11.6. Exemples d’applications de phénomènes d'induction 187 1 Principe du générateur de courant alternatif 187 2 Principe du moteur électrique 188 3 Principe d’un transformateur 188 Chapitre 12 - Magnétisme dans la matière 191 12.1. Aimantation de la matière 192 1 Caractéristique magnétique d’un atome 192 2 Caractéristiques magnétiques d’un système dense d’atomes ou de molécules 195 12.2. Champ magnétique et courants d'aimantation dans la matière 199 1 Champ magnétique dans la matière 199 2 Courant d’aimantation 200 12.3. Le champ auxiliaire H 201 1 Définition du champ auxiliaire H 202 2 Susceptibilité magnétique 202 3 Conditions de continuité des champs magnétique et auxiliaire 203 Complément : ferromagnétisme 204 Chapitre 13 - L’énergie magnétique 213 13.1. Énergie magnétique emmagasinée dans une boucle de courant 214 1 Énergie associée à un système de deux circuits 215 2 Énergie associée à un ensemble de circuits 217 13.2. Expression de l’énergie en fonction des champs B et H 218 1 En absence dematériaux magnétiques 218 2 En présence de matériauxmagnétiques 218 3 Contribution des courante ampériens 219 13.3. Expression de l’énergie en fonction des inductances 220 1 En absence dematériaux magnétiques 220 2 En présence de matériauxmagnétiques 221 13.4. Forces et moments de forces 222 1 Expressions de la force et de son moment 223 2 Exemples de calcul de force, de moment et d’énergie magnétiques 225 Chapitre 14 - Applications du magnétisme 229 14.1. Étude de quelques circuits magnétiques 230 1 L’électroaimant 230 2 Notion de réluctance - Loi d’Hopkinson 232 3 Circuits magnétiques en courant alternatif 232 14.2. Les transformateurs 233 1 Transformateur idéal 234 2 Transformateur réel 235 14.3. Les moteurs électriques 236 1 Un moteur élémentaire 236 2 Moteurs à champ tournant 237 Conclusion 243 Annexe A - Éléments d’analyse vectorielle 245 A.1. Les systèmes de coordonnées 245 1 Les coordonnées cartésiennes 245 2 Les coordonnées cylindriques 245 3 Les coordonnées sphériques 246 A.2. Orientation de l’espace 248 1 Trièdre direct 248 2 Surface orientée 248 A.3. Produit de vecteurs 249 1 Produit scalaire de deux vecteurs A et B 249 2 Produit vectoriel de deux vecteurs A et B 249 A.4. Vecteur gradient 250 1 Définition du gradient 250 2 Expression du gradient en coordonnées cartésiennes 250 3 Expression du gradient en coordonnées cylindriques et sphériques 251 4 Expression du gradient en fonction de l’opérateur V 251 A.5. Flux et divergence d’un champ de vecteurs 252 1 Flux d’une grandeur vectorielle à travers une surface 252 2 Définition de la divergence 252 3 Expression de la divergence en coordonnées cartésiennes 253 4 Expression de la divergence en coordonnées cylindriques 254 5 Expression de la divergence en coordonnées sphériques 255 A.6. Circulation et rotationnel d’un champ de vecteurs 257 1 Circulation d’un vecteur 257 2 Définition du rotationnel 257 3 Expression du rotationnel en coordonnées cartésiennes 258 4 Expression du rotationnel en coordonnées cylindriques 259 5 Expression du rotationnel en coordonnées sphériques 261 A.7. Le laplacien 264 A.8. Théorème de Green-Ostrogradsky 264 A.9. Théorème de Stockes 266 A.10. Quelques relations à connaître en algèbre vectorielle 268 A.11. Quelques formules utiles 268 1 Quelques relations entre les fonctions trigonométriques 268 2 Développements en série 269 A.12. Définition de l’angle solide 270 Réponses aux exercices 271 Sommaire......Page 3 Chapitre 1 - Un peu d’histoire.........Page 7 Chapitre 2 - Électrostatique dans le vide : loi de Coulomb......Page 11 1 Charges électriques et corps électriquement chargés......Page 12 2 Distributions de charges électriques statiques......Page 13 1 Force entre deux charges ponctuelles - Loi de Coulomb......Page 15 2 Principe de superposition......Page 18 2.3. Le champ électrostatique dans le vide......Page 19 2 Expressions du champ électrostatique......Page 20 2.4. Le potentiel électrostatique dans le vide......Page 21 1 Existence d’un potentiel électrostatique......Page 22 2 Définition du potentiel électrostatique......Page 24 3 Le champ électrostatique « dérive » du potentiel électrostatique......Page 25 2.5. Lignes de champ et surfaces équipotentielles......Page 26 1 Exemple d’une distribution discrète......Page 28 2 Exemple d’une distribution continue......Page 29 Chapitre 3 - Propriétés du champ électrostatique......Page 33 2 Rotationnel du champ électrostatique......Page 34 1 Flux d’un champ électrostatique à travers une surface fermée......Page 35 3 Expression locale du théorème de Gauss. Divergence du champ électrostatique......Page 38 3.3. Propriétés de symétrie du champ électrostatique......Page 39 2 Symétries et orientations du champ électrostatique......Page 40 1 Continuité de la composante tangentielle du champ électrostatique......Page 42 2 Discontinuité de la composante normale du champ......Page 43 2 Calcul du champ électrostatique créé par une distribution à symétrie sphérique chargée uniformément......Page 44 3 Calcul du champ créé par un fil cylindrique infini uniformément chargé......Page 47 4 Champ créé par un plan infini uniformément chargé......Page 48 3.6. Méthode générale......Page 49 Chapitre 4 - Équations de Laplace et de Poisson......Page 51 1 Équation locale du potentiel......Page 52 2 Existence et unicité de la solution de l’équation locale du potentiel......Page 53 1 Calcul du potentiel et du champ créés par une sphère chargée uniformément en volume......Page 54 2 Calcul du champ électrostatique au voisinage de l’axe de révolution d'un disque chargé......Page 57 3 Longueur d’écrantage - Longueur de Debye......Page 59 Complément : Théorème de la valeur moyenne sur une sphère......Page 60 Chapitre 5 - Dipôles et multipôles électriques......Page 63 1 Potentiel électrique créé par le système (+ q,−q)......Page 64 2 Champ électrique créé par le système (+ q,−q)......Page 65 3 Moment dipolaire......Page 67 1 Développement multipolaire du potentiel créé par une distribution discrète de charges......Page 68 2 Développement multipolaire du potentiel créé par une distribution continue de charges......Page 70 1 Dipôle moléculaire......Page 71 2 Champ et potentiel créés par deux distributions sphériques de signes contraires, légèrement décalées......Page 72 Chapitre 6 - Conducteurs à l’équilibre......Page 75 6.1. Définition d’un conducteur......Page 76 2 Distribution de charges : charges de surface......Page 77 3 Champ électrique au voisinage d’un conducteur à l’équilibre......Page 78 6.3. Capacité d’un conducteur unique isolé......Page 79 1 Charges par influence......Page 80 2 Théorème des éléments correspondants......Page 81 4 Effet d’écran......Page 82 1 États d’équilibre d’un système de conducteurs......Page 83 1 Définition d’un condensateur......Page 84 2 Groupement de condensateurs......Page 88 1 Problèmes de Dirichlet - Problème de Neumann......Page 89 2 Méthode des « images »......Page 90 Chapitre 7 - Électrostatique dans les milieux isolants......Page 95 1 Caractéristiques électriques d’un atome......Page 96 2 Caractéristiques électriques d’un système dense d’atomes ou de molécules......Page 99 1 Champ électrique et potentiel dans les isolants......Page 101 2 Charges de polarisation......Page 102 1 Cas de la plaque infinie......Page 104 2 Cas d’une sphère......Page 107 7.4. Systèmes présentant une polarisation induite : les diélectriques......Page 109 1 Cas de la plaque diélectrique......Page 110 2 Cas de la sphère diélectrique......Page 111 1 Définition du vecteur déplacement......Page 112 2 Propriétés du vecteur déplacement......Page 114 7.6. Capacité et diélectrique......Page 115 Compléments : notion de champ local......Page 117 Chapitre 8 - Énergie électrostatique......Page 121 1 Expression de l’énergie en fonction des charges électriques......Page 122 8.2. Énergie électrostatique associée à une distribution continue de charges......Page 123 2 En présence de matériaux diélectriques linéaires......Page 125 1 Cas d’un ensemble de conducteurs à l’équilibre......Page 126 2 Énergie associée à un condensateur......Page 127 1 Force sur les armatures d’un condensateur......Page 129 2 Moments de forces sur les armatures d’un condensateur......Page 131 3 Force exercée sur unmatériau non conducteur......Page 132 Chapitre 9 - Le champ magnétostatique......Page 137 9.1. Force magnétique entre fils rectilignes infinis......Page 138 1 Champ magnétique créé par un fil rectiligne......Page 140 2 Champmagnétique créé par un circuit quelconque Loi de Biot et Savart......Page 142 9.3. Propriétés locales du champ magnétique......Page 146 1 Divergence du champmagnétostatique......Page 147 2 Rotationnel du champ magnétostatique - Théorème d’Ampère......Page 148 3 Loi de continuité du champ magnétique......Page 150 1 Champ créé par un fil infini parcouru par un courant I......Page 151 2 Champ créé par une spire circulaire de rayon R, parcourue par un courant I......Page 153 3 Champ créé par un solénoïde infini de n spires de rayon R par unité de longueur, parcouru par un courant I......Page 154 Chapitre 10 - Le potentiel vecteur......Page 159 2 Choix de jauge......Page 160 4 Exemples de potentiels vecteurs associés à un champ magnétique constant......Page 161 1 Définition de A à partir des courants......Page 162 2 Équation locale du potentiel vecteur......Page 164 1 Fil rectiligne parcouru par un courant uniforme......Page 165 2 Champmagnétique créé par une boucle de courant : dipôle magnétique......Page 166 3 Potentiel vecteur associé à un solénoïde......Page 168 Chapitre 11 - L’induction magnétique......Page 173 11.1. Mise en évidence expérimentale de l'induction......Page 174 1 Force électromotrice et courant induit......Page 176 2 Loi de Lenz......Page 177 11.3. Interprétations de la loi de Faraday......Page 178 2 Propriétés locales du champ électrique E......Page 181 1 Inductancemutuelle de deux circuits......Page 182 2 Auto-inductance......Page 184 4 Exemples de coefficients d’inductance......Page 185 1 Principe du générateur de courant alternatif......Page 187 3 Principe d’un transformateur......Page 188 Chapitre 12 - Magnétisme dans la matière......Page 191 1 Caractéristique magnétique d’un atome......Page 192 2 Caractéristiques magnétiques d’un système dense d’atomes ou de molécules......Page 195 1 Champ magnétique dans la matière......Page 199 2 Courant d’aimantation......Page 200 12.3. Le champ auxiliaire H......Page 201 2 Susceptibilité magnétique......Page 202 3 Conditions de continuité des champs magnétique et auxiliaire......Page 203 Complément : ferromagnétisme......Page 204 Chapitre 13 - L’énergie magnétique......Page 213 13.1. Énergie magnétique emmagasinée dans une boucle de courant......Page 214 1 Énergie associée à un système de deux circuits......Page 215 2 Énergie associée à un ensemble de circuits......Page 217 2 En présence de matériauxmagnétiques......Page 218 3 Contribution des courante ampériens......Page 219 1 En absence dematériaux magnétiques......Page 220 2 En présence de matériauxmagnétiques......Page 221 13.4. Forces et moments de forces......Page 222 1 Expressions de la force et de son moment......Page 223 2 Exemples de calcul de force, de moment et d’énergie magnétiques......Page 225 Chapitre 14 - Applications du magnétisme......Page 229 1 L’électroaimant......Page 230 3 Circuits magnétiques en courant alternatif......Page 232 14.2. Les transformateurs......Page 233 1 Transformateur idéal......Page 234 2 Transformateur réel......Page 235 1 Un moteur élémentaire......Page 236 2 Moteurs à champ tournant......Page 237 Conclusion......Page 243 2 Les coordonnées cylindriques......Page 245 3 Les coordonnées sphériques......Page 246 2 Surface orientée......Page 248 2 Produit vectoriel de deux vecteurs A et B......Page 249 2 Expression du gradient en coordonnées cartésiennes......Page 250 4 Expression du gradient en fonction de l’opérateur V......Page 251 2 Définition de la divergence......Page 252 3 Expression de la divergence en coordonnées cartésiennes......Page 253 4 Expression de la divergence en coordonnées cylindriques......Page 254 5 Expression de la divergence en coordonnées sphériques......Page 255 2 Définition du rotationnel......Page 257 3 Expression du rotationnel en coordonnées cartésiennes......Page 258 4 Expression du rotationnel en coordonnées cylindriques......Page 259 5 Expression du rotationnel en coordonnées sphériques......Page 261 A.8. Théorème de Green-Ostrogradsky......Page 264 A.9. Théorème de Stockes......Page 266 1 Quelques relations entre les fonctions trigonométriques......Page 268 2 Développements en série......Page 269 A.12. Définition de l’angle solide......Page 270 Réponses aux exercices......Page 271