Einführung in die Struktur- und Darstellungstheorie der klassischen Gruppen

Eine gleichermaßen aktuelle wie zusammenfassende Darstellung der wichtigsten Methoden zur Untersuchung der klassischen Gruppen fehlte bislang in deutschsprachigen Lehrbüchern. Indem der Autor die klassischen Gruppen sowohl aus algebraisch-geometrischer Sicht, wie auch mit Lieschen (infinitesimalen) Methoden studiert, schließt er diese Lücke. Die von Grund auf behandelte Darstellungstheorie mündet im algebraischen Teil in der Brauer-Weylschen Methode der Zerlegung von Tensorpotenzen durch Youngsche Symmetrieoperatoren in irreduzible Teilräume. Auf der Ebene der Lie-Algebren wird die Klassifikation der irreduziblen Darstellungen durch höchste Gewichte durchgeführt. Besonderer Wert liegt auf einer ausführlichen Erläuterung des Zusammenspiels der Gruppen und ihrer Lie-Algebren, die das Kernstück der Lieschen Theorie ausmachen. In dieser Hinsicht dient das Buch auch als Einführung in die Theorie der Lie-Gruppen; zur Parametrisierung wird dabei ausschließlich die Matrix-Exponentialabbildung verwandt, wodurch ganz auf den aufwendigen Apparat der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten verzichtet werden kann. Eine Fülle von Beispielen und Übungsaufgaben dienen zur Vertiefung des Gelernten. Inhaltlich schließt der Text unmittelbar an die Grundvorlesungen über Analysis und Lineare Algebra an. Cover page Inhaltsverzeichnis Kapitel I. Die klassischen Gruppen § 1 Grundlagen der allgemeinen Gruppentheorie 1. Grundbegriffe 2. Beispiele und Erganzungen 3. Operationen von Gruppen auf Mengen 4. Beispiele und Erganzungen § 2 Die allgemeine und die spezielle lineare Gruppe 1. Die Algebra Mat(n,K) 2. Die Gruppen GL(n,K) und SL(n,K) 3. Die gewohnliche Operation von GL(n,K) 4. Jordan-Chevalley-Zerlegung in GL(n,K) 5. Erzeugung von SL(n,K) durch Elementarmatrizen 6. Kommutatorgruppe von GL(n.K) und SL(n,K) 7. Zentrum von GL(n,K) und SL(n,K), projektive Gruppen 8. Normalteiler in SL(2,K) 9. Zusammenhang 10. Quaternionen, die Gruppen GL(n,H) und SL(n,H) § 3 Symmetrische Bilinearformen und Hermitesche Formen 1. Hermitesche Formen und Matrizen 2. Isometrien Hermitescher Raume 3. Orthogonalitat, Normalformen 4. Euklidische und unitäre Räume 5. Isometriegruppen Hermitescher Raume § 4 Orthogonale und unitare Gruppen 1. Die Gruppen SO(p,q), SO(n,C) und SU(p,q) 2. Beispiele: Die Gruppen O(2), O(1,1), SO(3) und SU(2) 3. Konjugationsklassen, maximale Tori, Weyl-Gruppen 4. Anwendung: Zentrum von U(n), SU(n) und SO(n) 5. Normalteiler in SU(2) 6. Spiegelungen, Transitivitiit von O(V,h) auf Spharen 7. Erzeugung von O(V,h) durch Spiegelungen 8. Erzeugung von U(V,h) durch Quasi-Spiegelungen 9. Zusammenhang von SO(V,h) und U(V,h) 10. Bewegungsgruppe des R^n , Galilei-Gruppe 11. Iwasawa-Zerlegung 12. Polar- und Cartan-Zerlegung 13. Lorentz-Gruppe und Minkowski-Raum 14. Isomorphien der Lorentz-Gruppe 15. Beschreibung von O(4) und O(3) durch Quaternionen 16. Hermitesche Formen auf H^n und die Gruppen U(p,q) § 5 Symplektische Gruppen 1. Grundbegriffe 2. Zerlegung in hyperbolische Ebenen, Normalformensatz 3. Die symplektische Gruppe Sp(2n,K) 4. Anwendung: Hamiltonsche Gleichungen und ihre Invarianten 5. Erzeugung von Sp(V,s) durch Transvektionen, die Inklusion Sp(2n,K) in SL(2n,K), Zusammenhang 6. Die Gruppe Sp(2n) 7. Konjugationsklassen, maximaIer Torus und Weyl-Gruppe von Sp(2n) 8. Eine anti-Hermitesche Form auf H^n und die Gruppe U(n,H) 9. Zusammenstellung der klassischen Gruppen Kapitel II. Abgeschlossene Untergruppen von GL(n,K) § 1 Die Matrix-Exponentialabbildung 0. Mat(n,K) als metrischer Raum 1. Konvergenz und lokale Umkehrbarkeit der Exponentialabbildung 2. Rechenregeln 3. Einparametergruppen 4. Die Gleichung exp X exp Y = exp h(X, Y) § 2 Lineare Gruppen und ihre Lie-Algebren 1. Definition, Beispiele 2. Die Lie-Algebren der klassischen Gruppen 3. Die Exponentialabbildung für einige klassische Gruppen 4. Lineare Gruppen 5. Die Lie-Algebren linearer Gruppen 6. Die Exponentialabbildung einer linearen Gruppe 7. Die von exp(LG) erzeugte Untergruppe von G, Zusammenhang 8. LG als Tangentialraum 9. Die Lie-Algebren der Poincare- und Galilei-Gruppe § 3 Homomorphismen linearer Gruppen und ihrer Lie-Algebren 1. Die Gleichung f o exp = exp o Lf 2. Funktorielle Eigenschaften 3. Maximal-kompakte Untergruppen 4. Lokale Isomorphie 5. Einfacher Zusammenhang und universelle Uberlagerungsgruppe Kapitel III. Darstellungen der klassischen Gruppen § 1 Grundlagen der allgemeinen Darstellungstheorie von Gruppen 1. Grundlegende Begriffe und Beispiele 2. Reduzibilitat, direkte Summen 3. Unitäre Darstellungen 4. Kontragrediente und konjugiert-komplexe Darstellung 5. Morphismen, Lemma von Schur 6. Tensorprodukte 7. Isotypische Zerlegung 8. Die Algebra End(V) und ihre Darstellungen 9. Gruppen mit invarianter Mittelbildung, Charaktere 10. Invariante Bilinear- und Sesquilinearformen § 2 Darstellungstheorie der klassischen Gruppen 1. Darstellungen der symmetrischen Gruppen Sk 2. Der Sk-Modul V®k und die Darstellungen seiner Endormorphismen-Algebra 3. Der GL{V)-Modul V®k, Darstellungen von GL{n,C) und SL{n,C) 4. Darstellungen von O(n,C) und Sp(n,C) 5. Darstellungen von SO(n,C) 6. Darstellungen der reellen klassischen Gruppen Kapitel IV. Halbeinfache komplexe Lie-Algebren § 1 Von der Darstellungstheorie linearer Gruppen zur Darstellungstheorie von Lie-Algebren 1. Die Ableitung der Darstellung einer linearen Gruppe 2. Beispiel: Die adjungierte Darstellung. 3. Komplexifizierung von Lie-Algebren und Darstellungen 4. Vollstandige Reduzibilitat der klassischen Gruppen und Algebren § 2 Halbeinfache Lie-Algebren 1. Die Killing-Form 2. Wurzelraumzerlegung 3. Wurzelraum-Zerlegung von sl(n,C), so(n,C) und sp(n,C) § 3 Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren 1. Zerlegung in Gewichtsraume 2. Die irreduziblen Darstellungen von sl(n,C), so(n,C) und sp(n,C) Literatur Symbolverzeichnis Sachverzeichnis Eine gleichermassen aktuelle wie zusammenfassende Darstellung der wichtigsten Methoden zur Untersuchung der klassischen Gruppen fehlte bislang in deutschsprachigen Lehrbuchern. Auf der Ebene der Lie-Algebren wird die Klassifikation der irreduziblen Darstellungen durch hoechste Gewichte durchgefuhrt.