Einführung In Die Numerische Berechnung Von Finanzderivaten: Computational Finance (springer-lehrbuch) (german Edition)

Das Lehrbuch erklärt numerische Methoden der Finanzmathematik exemplarisch anhand der Berechnung von Optionspreisen. Nach einer Einführung in die Modellierung wird die numerische Simulation der Stochastik dargestellt, mit Zufallszahlen und Monte-Carlo-Verfahren. Es folgt die Numerik zu Black-Scholes-Gleichungen, mit Differenzenverfahren und Finite-Element-Verfahren. Die vorgestellten Algorithmen lassen sich unmittelbar implementieren. Übungsaufgaben, instruktive Abbildungen sowie themenbezogene Anhänge und ergänzendes Material auf der Webseite des Autors runden das Buch ab. Die zweite Auflage ist stark überarbeitet und erheblich umfangreicher: Verwerfungsmethoden und Monte-Carlo-Methoden für Optionen amerikanischen Typs ergänzen die stochastischen Methoden und ein neues Kapitel befasst sich mit der Bewertung von Optionen auf zwei Assets, mit Strafterm-Methoden und höherdimensionalen Bäumen. Vorwort 6 Inhaltsverzeichnis 8 1 Elemente der Finanzmodellierung 12 1.1 Optionen 12 1.1.1 Auszahlungsfunktion 13 1.1.2 Wert und Geometrie der Optionen 16 1.1.3 Parameter und Variable 18 1.1.4 Exotische Optionen 19 1.2 Modell des Finanzmarktes 20 1.2.1 Black-Scholes-Markt 20 1.2.2 Binäres Ein-Perioden-Modell 21 Zusammenfassung 23 1.3 Numerische Methoden 24 1.3.1 Algorithmen 24 1.3.2 Diskretisierung 25 1.3.3 Effizienz 27 1.4 Binomialbäume 29 1.4.1 Diskretes Modell 29 1.4.2 Berechnung der Parameter und des Baums 32 Vorwärtsphase: Initialisierung des Baums 34 1.4.3 Bewertung des Baums 34 Amerikanische Option 35 1.4.4 Konvergenz 37 1.4.5 Griechen 37 1.4.6 Dividenden 38 1.5 Wiener-Prozess 38 1.5.1 Diskretes Modell 40 1.5.2 Stochastisches Integral 41 1.6 Stochastische Differenzialgleichungen 43 1.6.1 Itô-Prozess 43 1.6.2 Geometrische Brownsche Bewegung 44 1.6.3 Risikoneutrale Bewertung 47 1.6.4 Mean Reversion 49 1.6.5 Vektorwertige stochastische Differenzialgleichungen 49 Numerik 51 1.7 Itô-Lemma und Anwendungen 51 1.7.1 Itô-Lemma 51 1.7.2 Folgerungen für geometrische Brownsche Bewegungen 52 1.7.3 Integraldarstellung 55 1.7.4 Anwendung auf Bermuda-Optionen 56 1.8 Anmerkungen 57 1.9 Übungen 59 2 Berechnung von Zufallszahlen 69 2.1 Gleichverteilte Zufallszahlen 70 2.1.1 Linearer Kongruenzgenerator 70 2.1.2 Zufallsvektoren 72 2.1.3 Fibonacci-Generatoren 75 2.2 Zufallsvariable mit anderen Verteilungen 76 2.2.1 Inversion 77 Anwendung 78 2.2.2 Transformation im R1 79 Anwendung 79 Anwendung 80 Versuch zur Normalverteilung 80 2.2.3 Transformation im Rn 81 2.2.4 Verwerfungsmethode 81 2.3 Normalverteilte Zufallsvariable 83 2.3.1 Methode von Box und Muller 83 Anwendung 84 2.3.2 Variante von Marsaglia 84 2.3.3 Ziggurat 85 2.3.4 Korrelierte Zufallsvariable 88 Transformation 89 2.4 Monte-Carlo-Integration 90 2.5 Zahlenfolgen mit niedriger Diskrepanz 92 2.5.1 Diskrepanz 92 2.5.2 Beispiele von Folgen niedriger Diskrepanz 95 2.6 Anmerkungen 97 2.7 Übungen 99 3 Monte-Carlo-Simulation 105 3.1 Approximationsfehler 106 3.2 Stochastische Taylor-Entwicklungen 109 3.3 Beispiele numerischer Methoden 112 3.3.1 Positivität 113 3.3.2 Runge-Kutta-Verfahren 114 3.3.3 Taylor-Schema mit schwacher O(h2)-Konvergenz 115 3.3.4 Höherdimensionale Fälle 116 3.4 Zwischenwerte 117 3.5 Monte-Carlo-Simulation bei europäischen Optionen 117 3.5.1 Grundversion 118 Ausführung der Monte-Carlo-Methode 121 3.5.2 Genauigkeit 121 Statistischer Fehler 122 Verzerrung 122 Beispiele 122 3.5.3 Varianzreduktion 124 Verfahren der Antithese 124 Anwendung auf GBM 125 Vergleichsverfahren (Control variates) 126 3.6 Monte-Carlo-Simulation bei amerikanischen Optionen 128 3.6.1 Stoppzeiten 128 Beispiele für Stoppzeiten 129 3.6.2 Parametrische Methoden 130 3.6.3 Regressionsmethoden 131 Allgemeine Rekursion 132 Aufwand 134 3.7 Anmerkungen 134 3.8 Übungen 136 4 Finite Differenzen für Standardoptionen amerikanischen Typs 141 4.1 Vorbereitungen 141 4.2 Grundlagen von Differenzenverfahren 144 4.2.1 Differenzenapproximationen 144 4.2.2 Das Gitter 145 4.2.3 Explizites Verfahren 147 4.2.4 Stabilität 149 4.2.5 Implizite Methode 152 4.3 Crank-Nicolson-Verfahren 153 4.4 Randbedingungen 156 4.5 Vorzeitiges Ausüben und freie Randwertprobleme 159 4.5.1 Freie Randwertprobleme 159 4.5.2 Ausüben 161 4.5.3 Kontaktbedingung 162 4.5.4 Eigenschaften der Ausübungskurve 163 4.6 Lineare Komplementarität 164 4.6.1 Black-Scholes-Ungleichung 164 4.6.2 Formulierung mit Strafterm 165 4.6.3 Hindernisprobleme 166 4.6.4 Diskretisierung des Hindernisproblems 168 4.6.5 Lineare Komplementarität für amerikanische Put-Optionen 168 4.7 Numerische Realisierung 170 4.7.1 Diskretisierung mit finiten Differenzen 170 4.7.2 Lösbarkeit 172 4.7.3 Numerische Lösung 173 4.8 Genauigkeit 176 4.9 Anmerkungen 179 4.10 Übungen 180 5 Optionen auf zwei Assets und finite Elemente 185 5.1 Zweidimensionale Situation 185 5.1.1 Beispiele für Payoffs 186 5.1.2 Geometrische Brownsche Bewegung 186 5.1.3 Partielle Differenzialgleichungen 187 5.2 Baummethode 188 5.3 Monte-Carlo-Anwendung 193 5.4 Penalty-Methode 195 5.4.1 LCP-Formulierung 196 5.4.2 Formulierung mit Strafterm 197 5.4.3 Diskretisierung 198 5.4.4 Nichtlinearität 200 5.5 Finite Elemente - eine Einführung 201 5.5.1 Beispiel 202 5.5.2 Gewichtete Residuen 203 5.5.3 Ritz-Galerkin-Methoden 204 5.5.4 Beispiel einer Basisfunktion 206 5.5.5 Assembling 207 5.5.6 Spezialfall: Eindimensionale Hutfunktionen 208 5.5.7 Approximationsgüte 208 5.6 Finite Elemente bei Optionen 209 5.6.1 Analytische Vorbereitungen 210 5.6.2 Ritz-Galerkin-Ansatz 210 5.6.3 Randbedingungen 212 5.6.4 Matrizen 215 5.7 Anmerkungen 218 5.8 Übungen 220 Anhänge 225 A1 Finanzderivate und ihr Umfeld 225 A2 Wichtiges aus Wahrscheinlichkeit und Statistik 226 A3 Black-Scholes-Gleichung 230 A4 Methoden der Numerik 232 A5 Stochastisches Integral 237 A6 Nützliche Formeln 239 Literaturverzeichnis 247 Sachverzeichnis 253 Das Lehrbuch erklärt numerische Methoden der Finanzmathematik exemplarisch anhand der Berechnung von Optionspreisen. Nach einer Einführung in die Modellierung wird die numerische Simulation der Stochastik dargestellt, mit Zufallszahlen und Monte-Carlo-Verfahren. Es folgt die Numerik zu Black-Scholes-Gleichungen, mit Differenzenverfahren und Finite-Elemente-Verfahren. Die vorgestellten Algorithmen lassen sich unmittelbar implementieren. Übungsaufgaben, instruktive Abbildungen sowie themenbezogene Anhänge und ergänzendes Material auf der Webseite des Autors runden das Buch ab. Die zweite Auflage ist stark überarbeitet und erheblich umfangreicher: Verwerfungsmethoden und Monte-Carlo-Methoden für Optionen amerikanischen Typs ergänzen die stochastischen Methoden und ein neues Kapitel befasst sich mit der Bewertung von Optionen auf zwei Assets, mit Strafterm-Methoden und höherdimensionalen Bäumen. Der Autor Prof. Dr. Rüdiger Seydel, Mathematisches Institut, Universität zu Köln, Köln Front Matter....Pages i-x Elemente der Finanzmodellierung....Pages 1-57 Berechnung von Zufallszahlen....Pages 59-94 Monte-Carlo-Simulation....Pages 95-130 Finite Differenzen für Standardoptionen amerikanischen Typs....Pages 131-174 Optionen auf zwei Assets und finite Elemente....Pages 175-214 Back Matter....Pages 215-248