Einführung in die Mengenlehre: Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo (Springer-Lehrbuch) (German Edition)

Das Buch, das nun in dritter, korrigierter Auflage vorliegt, behandelt die Basis-Resultate der Mengenlehre aus der Zeit Cantors und Zermelos, was etwa den Zeitraum von 1870 - 1930 abdeckt. Die Ideen dieser Zeit bilden das Herz der Disziplin und haben das heutige Bild der Mathematik entscheidend mit geprägt. Ziel ist, die zentralen Konzepte und Probleme der Mengenlehre - Mächtigkeiten, Kardinalzahlen, Kontinuumsproblem, Wohlordnungen, transfinite Zahlen und transfinite Rekursion, mengentheoretische Untersuchungen von R - in ihrem Wesen begreifbar zu machen. Eine Axiomatik wird in Übereinstimmung mit der historischen Entwicklung erst dann eingeführt, wenn die Theorie bereits weit gediehen ist und nach einem stabilen Fundament verlangt. Schließlich wird die Axiomatik in einen formalen Rahmen eingebettet, was Resultate über die Grenzen des Gebäudes ermöglicht (wie z.B. die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese). Das Buch wendet sich an Studenten und Dozenten der Mathematik, Informatik und Philosophie, an ambitionierte Schüler der Oberstufe, Lehrer und interessierte Laien. Es ist geeignet als Begleitlektüre zu den mathematischen Anfängervorlesungen und zu Vorlesungen über mathematische Logik, sowie zum Selbststudium. Vorausgesetzt wird lediglich eine gewisse Vertautheit mit den natürlichen und den reellen Zahlen. Front Matter....Pages i-xiv Front Matter....Pages 13-13 Mengen....Pages 15-42 Zwischenbetrachtung....Pages 43-47 Abbildungen zwischen Mengen....Pages 48-63 Gröβenvergleiche....Pages 64-80 Der Vergleichbarkeitssatz....Pages 81-90 Unendliche Mengen....Pages 91-108 Abzählbare Mengen....Pages 109-119 Überabzählbare Mengen....Pages 120-129 Mengen der Mächtigkeit der reellen Zahlen....Pages 130-144 Die Mächtigkeit der Potenzmenge....Pages 145-148 Die Kontinuumshypothese....Pages 149-159 Kardinalzahlen und ihre Arithmetik....Pages 160-182 Paradoxien der naiven Mengenlehre....Pages 183-194 Back Matter....Pages 195-199 Front Matter....Pages 201-201 Transfinite Operationen....Pages 203-206 Lineare Punktmengen....Pages 207-221 Wohlordnungen....Pages 222-229 Der Fundamentalsatz über Wohlordnungen....Pages 230-237 Der Wohlordnungssatz....Pages 238-249 Ordinalzahlen....Pages 250-268 Transfinite Induktion und Rekursion....Pages 269-283 Back Matter....Pages 407-413 Front Matter....Pages 201-201 Typen linearer Ordnungen und ihre Arithmetik....Pages 284-305 Große Teilmengen und große Kardinalzahlen....Pages 306-340 Die Ordnungstypen von Q und R....Pages 341-359 Der Satz von Cantor-Bendixson....Pages 360-375 Die Mächtigkeiten abgeschlossener Mengen....Pages 376-400 Die Vielheit aller Ordinalzahlen....Pages 401-406 Back Matter....Pages 407-413 Front Matter....Pages 415-415 Das Axiomensystem ZFC....Pages 417-443 Die Sprache der Mengenlehre....Pages 444-467 Mengen und Klassen....Pages 468-478 Back Matter....Pages 479-481 Back Matter....Pages 1-68 Das Buch behandelt die Basis-Resultate der Mengenlehre aus der Zeit der Mathematiker Georg Cantor und Ernst Zermelo. Die Ideen dieser Zeit (etwa von 1870 bis 1930) haben das heutige Bild der Mathematik entscheidend mitgeprägt. Ziel des Autors ist es, die zentralen Konzepte und Probleme der Mengenlehre wie u. a. Mächtigkeiten, Kardinalzahlen, das Kontinuumsproblem oder mengentheoretische Untersuchungen von R in ihrem Wesen begreifbar zu machen. Das Buch wendet sich an Studierende und Dozenten der Mathematik, Informatik und Philosophie.