Einführung in die Kategorientheorie: Mit ausführlichen Erklärungen und zahlreichen Beispielen, 2te

Die Kategorientheorie deckt die innere Architektur der Mathematik auf. Dabei werden die strukturellen Gemeinsamkeiten zwischen mathematischen Disziplinen und ihren spezifischen Konstruktionen herausgearbeitet. Dieses Buch gibt eine systematische Einführung in die Grundbegriffe der Kategorientheorie. Zahlreiche ausführliche Erklärungstexte sowie die große Menge an Beispielen helfen beim Einstieg in diese verhältnismäßig abstrakte Theorie. Es werden viele konkrete Anwendungen besprochen, welche die Nützlichkeit der Kategorientheorie im mathematischen Alltag belegen. Jedes Kapitel wird mit einem motivierenden Text eingeleitet und mit einer großen Aufgabensammlung abgeschlossen. An Vorwissen muss der Leser lediglich ein paar Grundbegriffe des Mathematik-Studiums mitbringen. Die vorliegende zweite vollständig durchgesehene Auflage ist um ausführliche Lösungen zu ausgewählten Aufgaben ergänzt. Vorwort 5 Vorwort zur zweiten Auflage 7 Inhaltsverzeichnis 8 1. Einleitung 11 1.1 Was ist Kategorientheorie? 11 1.2 Zu diesem Buch 12 1.3 Beispiele für kategorielle Konzepte 13 1.4 Aufbau des Buches 16 2. Kategorien 18 2.1 Motivation 18 2.2 Der Begriff der Kategorie 20 2.3 Isomorphismen 30 2.4 Kommutative Diagramme 35 2.5 Initiale und finale Objekte 41 2.6 Konstruktionen mit Kategorien 44 2.7 Aufgaben 52 3. Funktoren und ihre Morphismen 58 3.1 Motivation 58 3.2 Der Begriff des Funktors 60 3.3 Isomorphismen von Kategorien 67 3.4 Morphismen von Funktoren 70 3.5 Die Kategorie der Funktoren 77 3.6 Äquivalenzen von Kategorien 81 3.7 Aufgaben 87 4. Exkurs: Algebraische Strukturen 92 4.1 Typen von Strukturen 92 4.2 Unterstrukturen 97 4.3 Quotientenstrukturen 98 4.4 Freie Strukturen 101 4.5 Aufgaben 107 5. Universelle Eigenschaften 112 5.1 Motivation 112 5.2 Darstellbare Funktoren 113 5.3 Exkurs über Tensorprodukte 121 5.4 Anwendungen des Yoneda-Lemmas 126 5.5 Verallgemeinerte Elemente 134 5.6 Aufgaben 136 6. Limites und Kolimites 141 6.1 Motivation 141 6.2 Einführung in Limites 143 6.3 Einführung in Kolimites 152 6.4 Konstruktion von Limites 158 6.5 Konstruktion von Kolimites 164 6.6 Vertauschen von Limites 175 6.7 Mono- und Epimorphismen 183 6.8 Freyds Kriterium für Darstellbarkeit 190 6.9 Aufgaben 194 7. Adjunktionen 198 7.1 Motivation 198 7.2 Der Begriff der Adjunktion 199 7.3 Der Zusammenhang zu Limites 205 7.4 Vergissfunktoren und freie Funktoren 211 7.5 Fixpunkte und Galois-Verbindungen 215 7.6 Reflektive Unterkategorien 220 7.7 Aufgaben 223 8. Monoidale Kategorien 228 8.1 Überblick 228 8.2 Gruppenobjekte 228 8.3 Der Begriff der monoidalen Kategorie 238 8.4 Monoidale Funktoren 245 8.5 Der Kohärenzsatz 250 8.6 Monoidobjekte 257 8.7 Symmetrisch monoidale Kategorien 263 8.8 Kommutative Monoidobjekte 268 8.9 Angereicherte Kategorien 270 8.10 Aufgaben 274 9. Kovervollständigung 278 9.1 Überblick 278 9.2 Koenden 279 9.3 Enden 287 9.4 Kovervollständigung 289 9.5 Kan-Erweiterungen 296 9.6 Aufgaben 302 10. Lösungen zu ausgewählten Aufgaben 308 Aufgaben zu Kapitel 2 308 Aufgaben zu Kapitel 3 309 Aufgaben zu Kapitel 4 314 Aufgaben zu Kapitel 5 315 Aufgaben zu Kapitel 6 317 Aufgaben zu Kapitel 7 320 Aufgaben zu Kapitel 8 322 Aufgaben zu Kapitel 9 327 Erratum 330 Anhang Überblick zu universellen Eigenschaften 331 Literaturverzeichnis 334 Symbolverzeichnis 340 Index 344 Die Kategorientheorie deckt die innere Architektur der Mathematik auf. Dabei werden die strukturellen Gemeinsamkeiten zwischen mathematischen Disziplinen und ihren spezifischen Konstruktionen herausgearbeitet. Dieses Buch gibt eine systematische Einführung in die Grundbegriffe der Kategorientheorie. Zahlreiche ausführliche Erklärungstexte sowie die große Menge an Beispielen helfen beim Einstieg in diese verhältnismäßig abstrakte Theorie. Es werden viele konkrete Anwendungen besprochen, welche die Nützlichkeit der Kategorientheorie im mathematischen Alltag belegen. Jedes Kapitel wird mit einem motivierenden Text eingeleitet und mit einer großen Aufgabensammlung abgeschlossen. An Vorwissen muss der Leser lediglich ein paar Grundbegriffe des Mathematik-Studiums mitbringen. Die vorliegende zweite vollständig durchgesehene Auflage ist um ausführliche Lösungen zu ausgewählten Aufgaben ergänzt. Der Autor Dr. Martin Brandenburg arbeitet an der Schnittstelle zwischen Algebraischer Geometrie und Kategorientheorie Front Matter....Pages i-x Einleitung....Pages 1-7 Kategorien....Pages 9-48 Funktoren und ihre Morphismen....Pages 49-82 Exkurs: Algebraische Strukturen....Pages 83-102 Universelle Eigenschaften....Pages 103-131 Limites und Kolimites....Pages 133-189 Adjunktionen....Pages 191-220 Monoidale Kategorien....Pages 221-270 Kovervollständigung....Pages 271-300 Lösungen zu ausgewählten Aufgaben....Pages 301-322 Back Matter....Pages 323-343