Einführung in die höhere Analysis: Topologische Räume, Funktionentheorie, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Maß- und Integrationstheorie, Funktionalanalysis ... Literaturverzeichnis. (Springer-Lehrbuch)

Das Buch präsentiert in fünf kompakten Kapiteln - jeweils im Umfang etwa einer halben traditionellen Vorlesung - die wesentlichen Ergebnisse und Methoden der Gebiete mengentheoretische Topologie, Funktionentheorie, gewöhnliche Differentialgleichungen, Maßtheorie und Funktionalanalysis. Das Ziel ist es, in konzentrierter Form und doch leicht nachvollziehbar diejenigen Resultate der genannten Gebiete bereitzustellen, die in allen auf der Analysis aufbauenden Teilen der Mathematik, insbesondere Stochastik und Numerik, relevant sind. Trotz der Konzentration auf die Kernideen bleibt Raum, einige tieferliegende Anwendungen wie den Primzahlsatz, den Brouwerschen Fixpunktsatz oder Sturm-Liouville-Probleme zu diskutieren. Eine detaillierte Beweisführung und diverse Beispiele erleichtern die Lektüre, und am Ende eines jeden Kapitels findet man viele Aufgaben zur Verständniskontrolle sowie zur Vertiefung des Stoffs. Inhaltsverzeichnis......Page 8 I. Topologische Räume......Page 10 I.1 Prolog: Metrische Räume......Page 11 I.2 Grundbegriffe......Page 15 I.3 Stetige Abbildungen......Page 21 I.4 Konvergenz......Page 26 I.5 Kompakte Räume......Page 30 I.6 Zusammenhängende Räume......Page 39 I.7 Existenz stetiger Funktionen, normale Räume......Page 43 I.8 Der Satz von Baire......Page 48 I.9 Aufgaben......Page 56 I.10 Literaturhinweise......Page 62 II. Funktionentheorie......Page 63 II.1 Der Begriff der analytischen Funktion......Page 65 II.2 Der Cauchysche Integralsatz......Page 72 II.3 Die Hauptsätze über analytische Funktionen......Page 85 II.4 Isolierte Singularitäten und Residuenkalkül......Page 101 II.5 Der Primzahlsatz......Page 114 II.6 Aufgaben......Page 128 II.7 Literaturhinweise......Page 136 III. Gewöhnliche Differentialgleichungen......Page 137 III.1 Beispiele und elementare Lösungsmethoden......Page 138 III.2 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf......Page 150 III.3 Abhängigkeit der Lösung von den Daten......Page 159 III.4 Lineare Systeme......Page 161 III.5 Systeme mit konstanten Koeffizienten......Page 166 III.6 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung......Page 175 III.7 Qualitative Theorie nichtlinearer Systeme......Page 185 III.8 Randwertprobleme......Page 202 III.9 Aufgaben......Page 206 III.10 Literaturhinweise......Page 213 IV. Maß- und Integrationstheorie......Page 215 IV.1 σ-Algebren......Page 217 IV.2 Inhalte und Maße......Page 222 IV.3 Konstruktion von Maßen; das Lebesguemaß......Page 227 IV.4 Messbare Funktionen......Page 236 IV.5 Integrierbare Funktionen......Page 240 IV 6 Konvergenzsätze......Page 248 IV.7 Die L[sup(p)]-Räume......Page 254 IV.8 Produktmaße und der Satz von Fubini......Page 261 IV.9 Einige Anwendungen......Page 272 IV.10 Aufgaben......Page 289 IV.11 Literaturhinweise......Page 297 V. Funktionalanalysis......Page 299 V.1 Normierte Räume......Page 300 V.2 Lineare Operatoren......Page 313 V.3 Hilberträume......Page 323 V.4 Orthonormalbasen und Fourierreihen......Page 336 V.5 Der Satz von Hahn-Banach; Reflexivität......Page 348 V.6 Eigenwerttheorie kompakter Operatoren......Page 360 V.7 Sturm-Liouvillesche Eigenwertprobleme......Page 374 V.8 Aufgaben......Page 379 V.9 Literaturhinweise......Page 386 Symbolverzeichnis......Page 387 D......Page 390 G......Page 391 M......Page 392 R......Page 393 T......Page 394 Z......Page 395