Eine Entdeckungsreise in die Welt des Unendlichen: Die Grundlagen der Mathematik von der Antike bis in die Neuzeit

Das Buch nimmt die Leserschaft mit auf eine Entdeckungsreise in die Welt des Unendlichen. Es wird aufgezeigt, wie das Unendliche von der Antike bis in die Neuzeit immer wieder Quell der Inspiration war, um die Mathematik auf feste Grundlagen zu stellen. Von der Entdeckung der irrationalen Zahlen in der Antike führt das Buch über Dedekinds Konstruktion der reellen Zahlen sowie Cantors und Zermelos Mengenlehre bis zum Banach-Tarski-Paradoxon und Conways spielerischer Konstruktion der surreellen Zahlen. Die Entdeckung, dass sich nicht jedes Verhältnis von zwei Streckenlängen als Verhältnis ganzer Zahlen ausdrücken lässt, hat gezeigt, dass sich nicht jede reelle Zahl durch einen endlichen Term ausdrücken lässt, sondern dass es dazu etwas Unendliches braucht. Solch eine Darstellung wurde aber erst zwei Jahrtausende später durch Dedekind gefunden. Kurze Zeit nach Dedekinds Konstruktion der reellen Zahlen hat Cantor eine Theorie entwickelt, die Mengenlehre, in der mit verschiedenen Unendlichkeiten gerechnet werden kann. Diese Theorie wurde später von Zermelo auf ein axiomatisches Fundament gestellt, auf dem die moderne Mathematik aufgebaut ist. Die Reise wird immer wieder aufgelockert durch zahlreiche Beispiele und Übungsaufgaben, welche dabei helfen, den Text zu verstehen. Die Voraussetzungen sind so gewählt, dass das Buch bereits für Studierende mit geringen Vorkenntnissen zugänglich ist. Entstanden im Rahmen einer Vorlesung fürs Lehramt, richtet sich dieses Buch ganz besonders auch an Lehramtsstudierende. Vorwort Inhaltsverzeichnis Kapitel 1 Unendlichkeit in der Antike 1.1 Der Satz von Euklid 1.2 Achilles und die Schildkröte 1.3 Irrationalität 1.4 Der Euklid’sche Algorithmus Kapitel 2 Konstruktion der reellen Zahlen 2.1 Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen 2.2 Dedekind’sche Schnitte 2.3 Das Intervallschachtelungsprinzip Kapitel 3 Irrationalität und Transzendenz 3.1 Irrationalität von e und π 3.2 Darstellung von Irrationalzahlen durch Kettenbrüche 3.3 Algebraische und transzendente Zahlen 3.4 Liouville’sche Zahlen 3.5 Transzendenz von e Kapitel 4 Unendliche Mengen 4.1 Das Hotel Hilbert 4.2 Abzählen endlicher Mengen 4.3 Das erste Diagonalargument 4.4 Der Calkin-Wilf-Baum 4.5 Das zweite Diagonalargument 4.6 Die Cantor-Menge Kapitel 5 Gleichmächtigkeit 5.1 Vergleichen von Mächtigkeiten 5.2 Der Satz von Cantor-Bernstein Kapitel 6 Kardinalitäten und Wohlordnungen 6.1 Der Satz von Cantor 6.2 Kardinalitäten 6.3 Kardinale Arithmetik 6.4 Wohlordnungen 6.5 Kardinalitäten wohlgeordneter Mengen Kapitel 7 Das Auswahlaxiom 7.1 Das Auswahlaxiom und erste Anwendungen 7.2 Das Lemma von König 7.3 Anwendungen in der Unterhaltungsmathematik Kapitel 8 Das Banach-Tarski-Paradoxon 8.1 Zerlegungsgleichheit 8.2 Das Hausdorff-Paradoxon 8.3 Das Banach-Tarski Paradoxon Kapitel 9 Axiome der Mengenlehre 9.1 Axiome der Mengenlehre Kapitel 10 Ordinalzahlen 10.1 Axiomatische Konstruktion der Ordinalzahlen 10.2 Transfinite Rekursion und Induktion 10.3 Der Wohlordnungssatz 10.4 Ordnungstypen von Wohlordnungen 10.5 Die Cantor-Normalform 10.6 Der Satz von Goodstein Kapitel 11 Kardinalzahlen 11.1 Kardinalitäten als Ordinalzahlen 11.2 Kardinalzahlarithmetik 11.3 Der Satz von Kőnig 11.4 Die Kontinuumshypothese 11.5 Große Kardinalzahlen Kapitel 12 Modelle der Mengenlehre 12.1 Ein kurzer Exkurs in die Modelltheorie 12.2 Die kumulative Hierarchie 12.3 Zur Existenz eines Modells von ZFC 12.4 Die erblich endlichen Mengen 12.5 Modelle der Mengenlehre mit Atomen Kapitel 13 Permutationsmodelle 13.1 Konstruktion von Permutationsmodellen 13.2 Ein Modell der Mengenlehre ohne Auswahlaxiom Kapitel 14 Der Satz von Ramsey 14.1 Der Satz von Ramsey 14.2 Folgerungen und Anwendungen des Satzes von Ramsey 14.3 Verallgemeinerungen des Satzes von Ramsey Kapitel 15 Spiele und Gewinnstrategien 15.1 Endliche Spiele 15.2 Unendliche Spiele 15.3 Determiniertheit offener Mengen 15.4 Existenz nicht-determinierter Spiele Kapitel 16 Determiniertheit unendlicher Spiele 16.1 Das Axiom der Determiniertheit 16.2 Die Perfekte-Teilmengen-Eigenschaft 16.3 Das Lebesgue’sche Maß 16.4 Zur Messbarkeit von Mengen reeller Zahlen 16.5 Die Baire-Eigenschaft Kapitel 17 Die surreellen Zahlen 17.1 Kombinatorische Spiele 17.2 Eine Ordnung und eine Gruppenstruktur auf G 17.3 Hackenbush 17.4 Die surreellen Zahlen 17.5 Surreelle Zahlen mit Geburtstag ω 17.6 S ist ein geordneter Körper 17.7 Nochmals Hackenbush 17.8 Werte von Hackenbushspielen Literaturverzeichnis Stichwortverzeichnis Personen