Ditopos ou Une approche axiomatique de Cat. Deuxième partie

Ce texte, comme son titre l'indique, fait suite à une première partie [2], où l'on montrait que dans la 2-catégorie Cat, associée à un univers U, l'ordre P_c(C) sur les sous-catégories d'une catégorie C classifie les liaisons cartésiennes de but C, id est les couples de foncteurs de Cat, de même source, de but respectivement une catégorie quelconque A et C, tels que F soit une cofibration et le crochet [F,G] un monomorphisme cartésien de la cofibration F vers la projection de A × C vers A. Ces liaisons cartésiennes semblaient devoir jouer le même rôle que les relations dans Ens et permettre d'adopter vis à vis de certaines 2-catégories un point de vue analogue à celui des topos. Le résultat essentiel de cette première partie était qu'une telle propriété (classification des liaisons cartésiennes) pour une 2-catégorie (qui est appelée alors proditopos) entraînait l'existence d'un co-adjoint à l'inclusion de la sous-catégorie des objets discret qui devient ainsi un topos. Il semble cependant qu'on ne puisse aller très loin dans cette analogie, à partir de cette seule propriété. On développe donc ici, à partir du chapitre III et de façon à pouvoir être lu indépendamment de la première partie, deux remarques qui nous permettent de faire aboutir raisonnablement le point de vue initial. Ce texte, comme son titre l'indique, fait suite à une première partie [2], où l'on montrait que dans la 2-catégorie Cat, associée à un univers U, l'ordre P_c(C) sur les sous- catégories d'une catégorie C classifie les liaisons cartésiennes de mais C, id est les couples de foncteursde Cat, de même source, de mais respectivement une catégorie quelconque ? et C, tels que F soit une cofibration et le crochet [F,G] un monomorphisme cartésien de la cofibration F vers la projection de ? × C vers ?. Ces liaisons cartésiennes semblaient devoir jouer le même rôle que les relations dans Ens et permettre d'adopter vis à vis de certaines 2-catégories un point de vue analogique à celui des topos. Le résultat essentiel de cette première partie était qu'une telle propriété (classification des liaisons cartésiennes) pour une 2-catégorie (qui est appelée alors proditopos) entraînait l'existence d'un co-adjoint à l'inclusion de la sous-catégorie des objets discrets qui deviennent ainsi un topos.Il semble cependant qu'on ne puisse aller très loin dans cette analogie, à partir de cette seule propriété. On développe donc ici, à partir du chapitre III et de façon à pouvoir être lu indépendamment de la première partie, deux remarques qui nous permettent de faire raisonnablement le point de vue initial. Couverture Introduction Chapitre II (suite) Appendice au chapitre II Chapitre III : Une première propriété formelle de Cat Chapitre IV : Une seconde propriété formelle de Cat Chapitre V : Étude de Cat(E) lorsque E est un topos Bibliographie