Дифференциальные и разностные уравнения: какие явления они описывают и как их решать: учебное пособие по специальности "Прикладная математика" для студентов естественно-научных специальностей

Титульный лист Выходные данные Оглавление Предисловие Глава 1. Самые простые дифференциальные уравнения 1.1. Интеграл и дифференциальное уравнение 1.2. Ламинарное течение жидкости в трубе и безразмерное число Рейнольдса 1.3. Сердце и другие насосы. Безразмерное число Уомерсли 1.4. Течения с переменной вязкостью 1.5. Турбулентность и измерения Глава 2. Эволюционные дифференциальные уравнения 2.1. Векторное поле, эволюционное уравнение и задача Коши 2.2. Распад изотопа и экспонента 2.3. Возможная неединственность (ветвление) решения задачи Коши 2.4. Банковский процент, начисляемый непрерывно и дискретно 2.5. Модель Мальтуса 2.6. Классификация дифференциальных уравнений и систем 2.7. Стационарные точки и их устойчивость по Ляпунову 2.8. Устойчивость произвольных решений 2.9. Движение небесных тел и разностная схема Эйлера 2.10. Движение небесных тел и законы сохранения (первые интегралы) модели 2.11. Уравнения, не разрешенные относительно производной 2.12. Стационарные (неподвижные) точки при дискретном времени и их устойчивость 2.13. Групповое свойство автономных систем Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения и принцип суперпозиции 3.1. Линейный дифференциальный оператор и линейная система 3.2. Комплексные линейные дифференциальные уравнения и системы 3.3. Подпространство решений однородного уравнения и плоскость — неоднородного 3.4. Системы и уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен 3.5. Случай кратных характеристических корней и устойчивость начала координат 3.6. Уравнение Эйлера. Как иногда можно сделать коэффициенты дифференциального уравнения постоянными? 3.7. Крутильные колебания вала с дисками и двойные маятники 3.8. Эволюция подпространств 3.9. Фундаментальная система решений, вронскиан и эволюция объема — формула Лиувилля–Остроградского 3.10. Простейшие неоднородные уравнения 3.11. Инерция измерительного прибора 3.12. Решение неоднородных уравнений — матрица Вронского и метод вариации постоянных 3.13. Измерительный прибор с переменной инерцией и закон охлаждения Ньютона 3.14. Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами, когда форсинг — квазимногочлен 3.15. Периодические коэффициенты. Преобразование монодромии и устойчивость нулевого решения. Мультипликаторы Глава 4. Модели войн 4.1. Модель Ланкастера 4.2. Война двух орд. Фазовые портреты 4.3. Модификации модели Ланкастера Глава 5. Устойчивость стационарных точек — классификация 5.1. Классификация линейных векторных полей (матриц Якоби) для 2-го порядка 5.2. Устойчивость стационарных точек нелинейных систем — теорема Ляпунова 5.3. Устойчивость для систем большего порядка 5.4. Стабилизация стационарной точки и возмущение спектра матрицы 5.5. Структурная устойчивость и общее положение 5.6. Понятие коразмерности поверхностей 5.7. Устойчивость неподвижных и периодических точек систем с дискретным временем Глава 6. Метод разделения переменных и рост живых организмов 6.1. Метод разделения переменных и серебряные часы Лейбница 6.2. Что считать решением дифференциального уравнения 6.3. Уравнение фон Берталанфи и асимптотическая устойчивость стационарной точки 6.4. Уравнение Гомперца 6.5. Виктория-регия — ограничения модели Глава 7. Рост популяций 7.1. Рост популяции — конечно-разностная модель Фибоначчи 7.2. Модель Лесли динамики распределения по возрастам. Теоремы Перрона и Фробениуса 7.3. Логистическое уравнение. Жесткая и мягкая модели лова 7.4. Модель Басса рекламной кампании Глава 8. Скорость химических реакций 8.1. Что влияет на скорость реакций 8.2. Первый интеграл и понижение порядка системы дифференциальных уравнений 8.3. Разностный метод Эйлера приближенного решения задачи Коши Глава 9. Полезные замены переменных, затопленная струя и охота 9.1. Простейшие замены в дифференциальных уравнениях 9.2. Сведение дифференциального уравнения Бернулли к линейному и задача о затопленной струе 9.3. Уравнения, в которых можно заменой понизить порядок. Линия погони и уравнения вида d^2u/dt^2 + Z(du/dt)^2 + f(u) = 0 9.4. Понижение порядка линейного уравнения при условии, что одно нетривиальное его решение уже известно 9.5. Можно ли аналитически решить уравнение Риккати? 9.6. Приведение линейного дифференциального уравнения к самосопряженной форме и разностная аппроксимация линейного дифференциального уравнения 9.7. Компактные разностные схемы 9.8. Однородные уравнения и полярные координаты Глава 10. Дифференциальные и разностные операторы — операторы в бесконечномерном пространстве 10.1. Спектр дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами 10.2. Какие собственные функции считать допустимыми 10.3. Спектр дифференциальных операторов с переменными коэффициентами 10.4. Конечно-разностные линейные операторы 10.5. Нелинейные разностные уравнения: дискретная динамика Ферхюльста и удвоение цикла 10.6. Неявная схема для дискретной динамики Ферхюльста Глава 11. Эволюция вероятностей и марковские цепи 11.1. Марковские цепи и матрицы перехода 11.2. Спектр матрицы перехода 11.3. Конечно-разностные уравнения и оценка спектра 11.4. Марковские цепи с непрерывным временем Глава 12. Модель экономики Солоу 12.1. Население, капитал и производство 12.2. Свойства решений модели Солоу 12.3. Случай функций Кобба–Дугласа 12.4. Учет прожиточного минимума в динамике численности Глава 13. Кто как летает: камни, ракеты, электроны 13.1. Полет пушечного ядра 13.2. Полет ракеты 13.3. Циклоида: полет заряженной частицы в электромагнитном поле и перемещение точки на колесе 13.4. Движение заряженной частицы в быстроосциллирующем электромагнитном поле. Сила Миллера Глава 14. Почему и как давление убывает с высотой 14.1. Уравнения для воздуха 14.2. Барометрическая формула 14.3. Закон Архимеда и кораблестроение Глава 15. Зачем канат обматывают вокруг столба 15.1. Формула Эйлера для силы трения каната, перекинутого через бревно 15.2. Балки с некруглым сечением, кривые в R^2 и их кривизна 15.3. Кривые в пространстве 15.4. Канат на заданной поверхности Глава 16. Миг удара 16.1. Сколько времени длится удар 16.2. Задача Герца 16.3. Свойства гамма-функции Эйлера Глава 17. Уравнения, описывающие колебания 17.1. Гармонические колебания 17.2. Нелинейные колебания 17.3. Модель Лотки–Вольтерра 17.4. Матрица Гессе и лемма Морса для стационарных (критических) точек гладкой функции 17.5. Период малых колебаний популяций в модели Лотки–Вольтерра 17.6. Модифицированная модель Лотки–Вольтерра 17.7. Динамика опухолевых клеток 17.8. Гармонический форсинг и возможность резонанса Глава 18. Приближенные решения дифференциальных уравнений в виде отрезка ряда Ньютона–Тейлора 18.1. Последовательное уточнение решения 18.2. Сходимость рядов Ньютона–Тейлора 18.3. Аппроксимация решения рациональной функцией 18.4. Асимптотика решения дифференциального уравнения с особенностью. Дробные степени 18.5. Решения уравнений Бесселя 18.6. Ряд Ньютона–Тейлора может расходиться везде. Пример Коши 18.7. Комплексные дифференциальные уравнения и голоморфность Глава 19. Сжимающие отображения: метод Пикара–Линделёфа и метод Ньютона 19.1. Неограниченные линейные операторы 19.2. Интегральное уравнение Вольтерра и метод Пикара–Линделёфа 19.3. Теорема Пикара–Линделёфа о существовании и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений и систем 19.4. Оценка отклонений решения задачи Коши при изменении правой части уравнения 19.5. Сжимающие отображения и неподвижная точка. Метод Ньютона 19.6. Сжимающие отображения и неподвижная точка в пространстве функций. Метод Пикара–Линделёфа Глава 20. Что мы хотим знать о решении? Корректность и уравнения в вариациях 20.1. Зависимость решения дифференциального уравнения от параметра и уравнения в вариациях 20.2. Определение параметра задачи 20.3. Эволюция фазового объема в нелинейных системах 20.4. Гамильтоновы системы 20.5. Предельные циклы, отображение Пуанкаре и теорема Понтрягина 20.6. Реакция типа Белоусова–Жаботинского и предельный цикл 20.7. Бифуркация Пуанкаре–Андронова–Хопфа рождения цикла Глава 21. Разностные аппроксимации линейных дифференциальных уравнений и аппроксимации Паде 21.1. Методы разностной аппроксимации производных 21.2. Компактные схемы разностной аппроксимации 21.3. Дифференцирование функций с «шумом» 21.4. Схемы Эйлера и Кранка–Николсон разностной аппроксимации дифференциального уравнения 21.5. Классификация разностных аппроксимаций и аппроксимация Паде 21.6. Многослойные схемы и аппроксимация Паде–Эрмита Глава 22. Разностное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 22.1. Погрешность и порядок аппроксимации 22.2. Погрешность построения начальных условий для многослойной схемы 22.3. Схемы Рунге–Кутты 22.4. Устойчивость и сходимость Глава 23. Движение планет и других шариков 23.1. Движение по желобу и форма изохроны 23.2. Брахистохрона и рефракция 23.3. Трамплины 23.4. Движение по склону 23.5. Движение в поле центральной силы 23.6. Случай Якоби, ряд Фурье и условие разрешимости 23.7. Эффективная потенциальная энергия. Апогей и перигей Глава 24. Градиентные системы и системы с трением 24.1. Минимизация функции методом тяжелого шарика 24.2. Жесткие задачи 24.3. Минимизация методом градиентного спуска и градиентные системы дифференциальных уравнений 24.4. Аттракторы систем дифференциальных уравнений 24.5. Нелинейное трение 24.6. Гармонический форсинг и переменный электрический ток 24.7. Длинные электрические цепи и конечно-разностные уравнения 24.8. Нелинейные электрические цепи Глава 25. Системы с разрывной правой частью — режимы с переключением 25.1. Грузик на пружине с трением о поверхность 25.2. Аттрактор системы 25.3. Оптимальное распределение ресурса между производственными отраслями — простейшая модель Глава 26. Уравнения с особенностями 26.1. Особая точка линейного дифференциального уравнения 26.2. Теория Фробениуса 26.3. Особая точка линейных уравнений на бесконечности и гипергеометрическая функция 26.4. Преобразование Лиувилля. Можно ли сделать коэффициенты почти постоянными? Глава 27. Сращивание асимптотик 27.1. Двухточечные и многоточечные интерполяции и аппроксимации 27.2. Двухточечная рациональная аппроксимация при b = ∞. Аппроксимация функции Планка 27.3. Двухточечная рациональная аппроксимация решения дифференциального уравнения 27.4. Сращивание разных асимптотик на ±∞. Сигмоиды Список литературы Предметный указатель