Die Zweidimensionale Laplace-Transformation : Eine Einführung in Ihre Anwendung zur Lösung von Randwertproblemen Nebst Tabellen von Korrespondenzen

Verweise auf die Korrespondenzen von allgemeinen Operationen und speziellen Funktionen im li. Teil des vorliegenden Buches werden mit «A. (Nr.)» bzw. «B. (Nr.)» gegeben. 1 ) Die beiden letztgenannten Verfasocrnamen sind beim Erscheinen des Buches im Jahre I 947 infolge der damaligen Verhältnisse in Deutschland weggelassen worden. ') Zu diesem Paragraphen vgL AMERIO {siehe das Literaturverzeichnis am Schluß) sowie VoELKER, und für den Fall, daß die Integrale im Stieltjesschen Sinn verstanden werden, BERNSTEIN, Einführung in die Theorie der \3'-Transformation Der Grund, weshalb der für das eindimensionale Laplace-Integral gültige Satz sich nicht ohne weiteres auf das zweidimensionale übertragen läßt, ist leicht einzusehen: Der Beweis jenes Satzes (LT S.16, HB S. 35) beruht darauf, daß aus 00 der Konvergenz von J e-s,t F(t) dt die Beschränktheitder Abschnitte oder Partialintegrale o T J e-s,t F(t) dt 0 für alle T ;:?:o 0 folgt. Für ein Doppelintegral aber gilt das Entsprechende nicht: 0000 Wenn J J e-u,x-v,y F(x,y) dx dy konvergiert, so brauchen die Abschnitte 0 0 X y J J e-u,x-u,y F(x,y) dx dy 0 0 nicht für alle X ;:?:o 0 , Y ;:?:o 0 beschränkt zu sein, wie das obige Beispiel mit u 0 = v 0 = 0 zeigt. Zwar sind die Abschnitte für X ;:?:o 2, Y ;:?:o 2 beschränkt, aber z. B. für X ;:?:o 0 , Y ~ 1 nicht. Will man den Satz für das ß 2 -Integral retten, so bleibt nichts anderes übrig, als die Beschränktheit der Abschnitte als zusätzliche Voraussetzung einzuführen. Ein Doppelintegral, das konvergiert und dessen sämtliche Abschnitte absolut genommen unter derselben Schranke liegen, heißt beschränkt konvergent. Die Voraussetzung der beschränkten Konvergenz ist von selbst erfüllt, wenn das Doppelintegral absolut konvergiert. Denn dann ist X Y oooo J J e-u,x-v,y F(x,y) dx dy ~ J J I e-u,x-v,y F(x,y) I dx dy . 0 0 0 0 In diesem Fall ist die Aussage, daß aus der Konvergenz von ß=,,v, {F} die von ß~, v {F} für 9tu ;:?:o 9tu 0 , 9{v ;:?:o 9{v 0 folgt 1 ), eine Selbstverständlichkeit, denn es ist XY oooo J J le-ux-vy F(x,y) I dx dy ~ J J le-u,x-v,y F(x,y) I dx dy 0 0 0 0 für 9{ u ;:?:o 9t u0 , 9t v ;:?:o 9{ v 0 , also konvergiert 0000 0000 J J le-ux-vy F(x,y) I dx dy und erst recht J J e-ux-vy F(x,y) dx dy . 0 0 0 0 Da wir sowieso mit der einfachen Konvergenz nicht auskommen, sondern eine zusätzliche Voraussetzung einführen müssen, ist es am bequemsten, wenn 1 ) Man beachte das zu dem Zeichen> hinzutretende Gleichheitszeichen, das bei beschränkter Konvergenz wegfallen würde. Die grundlegenden Eigenschaften der 2'-Transformation 29 die beiden Konvergenzgebiete übereinstimmen müssen. Denn für reelle u, v ist dann Konvergenz und absolute Konvergenz dasselbe, so daß aus der Konvergenz des iterierten Integrals die des Doppelintegrals folgt 1 ). Aus der Möglichkeit, eine 1! 2 -Transformation durch zwei i!-Transformationen zu gewinnen, folgt sofort (siehe LT S. 34, HB S. 72): Eindeutigkeitssatz: Haben rwei Funktionen F 1 (x,y) und F 2 (x,y) dieselbe ß 2 -Transformierte, so stimmen sie fast überall überein. Insbesondere haben sie an allen Stetigkeitsstellen gleiche Werte. § 4. Die Holamorphie der 1! 2 -Transformierten Die eindimensionale i!-Transformierte f(s) = i!{F{t)} ist in jedem inneren Punkt s ihrer Konvergenzhalbebene und erst recht ihrer Halbebene absoluter Konvergenz holomorph, d. h. im komplexen Sinn differenzierbar, und zwar ist (LT S. 43; HB S. 144): f'(s) = -i!{tF} . War i!{F} ins absolut konvergent, so gilt dasselbe für i!{tF}. Dennß {F} ist, weil s ein innerer Punkt der Halbebene absoluter Konvergenz war, für ein hinreichend kleines positives c5 auch in s -c5 absolut konvergent: 00 00 Jle-